Název školyIntegrovaná střední škola technická, Vysoké Mýto, Mládežnická 380 Číslo a název projektuCZ.1.07/1.5.00/ Inovace vzdělávacích metod EU - OP VK Číslo a název klíčové aktivityIII/2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT AutorIng. Pavel Novotný Číslo materiáluVY_32_INOVACE_MAT_2S1N_NO_09_16 NázevExponenciální rovnice3 Druh učebního materiáluPrezentace PředmětMatematika Ročník2 (studijní), 1 (nástavbové) Tématický celekFunkce AnotacePoužití substituce pří řešení exponenciálních rovnic na řešených příkladech Metodický pokynMateriál popisuje možnost využití substituční metody u některých typů rovnic (40 min) Klíčová slovaExponenciální rovnice, substituce, mocnina Očekávaný výstupŽáci se naučí využívat substituce při řešení některých typů exponenciálních rovnic Datum vytvoření

EXPONENCIÁLNÍ ROVNICE - SUBSTITUCE V některých případech je vhodné nebo nutné použít při řešení rovnic tzv. substituci. Jedná se hlavně o zadání, ve kterém se mocniny sčítají respektive odčítají. Postup spočívá v tom, že všechny mocniny s neznámou v exponentu přepíšeme do stejného tvaru a x. Pak provedeme náhradu tzv. substituci y = a x. Tedy všude v rovnici místo a x budeme psát y. Tím dostaneme rovnici s neznámou y, kterou vyřešíme. Zjištěnou hodnotu y dosadíme do substituce a vyřešíme neznámou x.

Řešte exponenciální rovnici 4 x x = Použijeme a r + s = a r. a s 4 x + 1 = 4 x x x = substituce: y = 4 x 4y + y = Řešíme rovnici s neznámou y 5y = 20 y = 4 4. Tuto hodnotu y dosadíme do substituce a vypočítáme x 4 = 4 x x = 1

Řešte exponenciální rovnici 6 x = x – 1 1. Použijeme a r - s = a r : a s 6 x - 1 = 6 x = substituce: y = 6 x 3. Řešíme rovnici s neznámou y 6y = y 4. Tuto hodnotu y dosadíme do substituce a vypočítáme x y = y = 180 y = = 6 x 6 2 = 6 x x = 2

Řešte exponenciální rovnici 2 x + 2 x – x – 2 = 896 substituce y = 2 x 4y + 2y + y = 3584 /. 4 7y = 3584 y = = 2 x 2 9 = 2 x x = 9

Řešte exponenciální rovnici 4 x - 2 x = Upravíme 4 x = (2 2 ) x = = 2 2x = (2 x ) 2 2. substituce: y = 2 x 3. Řešíme kvadratickou rovnici s neznámou y 4. Obě tyto hodnoty y dosadíme do substituce a vypočítáme x (2 x ) x = 12 y 2 - y = 12 y 2 - y – 12 = 0 y 1 = 4y 2 = - 1,5 I) 4 = 2 x 2 2 = 2 x x = 2 II) – 1,5 = 2 x tato rovnice nemá řešení, protože 2 x > 0 pro všechna x

Řešte exponenciální rovnici 16 x =12. 4 x - 32 (4 x ) 2 = x - 32 y 2 = 12y - 32 y y + 32 = 0 y 1 = 8y 2 = 4 substituce y = 4 x I) 8 = 4 x 2 3 = (2 2 ) x 2 3 = 2 2x 3 = 2x x = 1,5 II) 4 = 4 x x = 1