Fakulta životního prostředí Katedra informatiky a geoinformatiky Matematika II. KIG / 1MAT2 Přednáška 06 Derivace funkce a její vlastnosti jiri.cihlar@ujep.cz

O čem budeme hovořit: Derivace funkce v bodě – opakování Derivace elementárních funkcí Věty o derivaci funkcí vzniklých aritmetickými operacemi a skládáním Derivace inverzních funkcí Využití derivací k výpočtu limit Souvislost derivace a monotonie funkce

Derivace funkce v bodě Opakování

Vypočítejme derivaci funkce f(x) = x2 Připomeňme si definici derivace funkce f(x) : Počítejme tedy derivaci naší funkce:

Co nám přináší znalost derivace? Jak vypočítáme „sklon tečny“ v daném bodě? Jak vypočítáme rovnici tečny v daném bodě? Jak vypočítáme rovnici normály v daném bodě? Tečna a normála.xls

Derivace elementárních funkcí

Derivace funkce f(x) = x n Budeme používat binomickou větu:

Derivace funkce f(x) = e x Funkce e x je definována jako exponenciální funkce f(x) = a x , která má v bodě 0 derivaci rovnu 1.

Derivace funkce f(x) = sin x

Derivace dalších funkcí Podobně bychom mohli podle definice vypočítat: Derivace dalších funkcí můžeme pak počítat podle obecných vět o derivacích.

Věty o derivaci

Základní věty Nechť funkce f(x) a g(x) mají v bodě x vlastní derivace. Pak platí: Pro g(x) ≠ 0 pak platí:

Příklady

Derivace inverzní a složené funkce Nechť je dána funkce Pro funkci k ní inverzní platí, že: Derivace složené funkce se počítá takto:

Příklady

Využití derivací k výpočtu limit

L´Hôpitalovo pravidlo Nechť platí nebo Pak platí Pozor! Neplést si s derivací podílu!

Příklady

Souvislost derivace a monotonie funkce

Nenulová derivace v bodě Podívejme se na názorné příklady: Monotonie funkce v bodě.ggb Věta Je-li derivace funkce f(x) v bodě c kladná, tedy f´(c) > 0, pak je funkce f(x) v bodě c rostoucí. Je-li derivace funkce f(x) v bodě c záporná, tedy f´(c) < 0, pak je funkce f(x) v bodě c klesající. Je-li f´(c) = 0, nelze o monotonii říci nic !!

Co je třeba znát a umět? Rozumět pojmu derivace funkce v bodě, znát derivace elementárních funkcí (i jejich odvození), znát věty o derivacích a umět je aplikovat při výpočtech derivací, umět používat L´Hôpitalovo pravidlo pro výpočet limit, znát vztah polarity vlastní derivace a monotonie funkce v bodě a intervalu.

Děkuji za pozornost