Předpokládejme, že velikost populace v čase t  0 lze vyjádřit vztahem Průběh funkce. Předpokládejme, že velikost populace v čase t  0 lze vyjádřit vztahem Zjistěte průběh velikostí v čase. lokální maximum lokální maximum lokální minimum

f ( x ) > f ( a ). Pak f má v a ostré lokální minimum. Přesněji Nechť existuje interval A D( f ) a bod a A, takový, že pro každý bod x A, x  a platí, že f ( x ) > f ( a ). Pak f má v a ostré lokální minimum. f ( x )  f ( a ). Pak f má v a (neostré) lokální minimum. f ( x ) < f ( a ). Pak f má v a ostré lokální maximum. f ( x )  f ( a ). Pak f má v a (neostré) lokální maximum. Příklad. V bodě a má funkce ostré lokální minimum. V bodě b má funkce ostré lokální maximum. b a B A

má v tomto bodě ostrý lokální extrém. Má-li funkce f v bodě a ostré lokální minimum nebo ostré lokální maximum, má v tomto bodě ostrý lokální extrém. Má-li funkce f v bodě a (neostré) lokální minimum nebo (neostré) lokální maximum, má v tomto bodě (neostrý) lokální extrém. Nechť existuje f / ( a ), a D(f) vlastní a dále nechť: f / (a) > 0  existuje interval AD(f) tak, že f je rostoucí v A-{a}. f / (a) < 0  existuje interval AD(f) tak,že f je klesající v A-{a}. Nechť f má v a lokální extrém. Pak f / ( a) = 0. lokální maximum lokální minimum

Funkce je v bodě 0 rostoucí, avšak nemá v tomto bodě derivaci. Funkce má v bodě 0 derivaci rovnu 0. Nemá v bodě 0 lokální extrém.

Funkce má v bodě 0 lokální minimum. Nemá však v bodě 0 derivaci. Nechť a  D ( f ), f / ( a ) existuje. Pak existuje interval A, (a  A) tak že f je neklesající nebo rostoucí v A  f / ( a )  0. f je nerostoucí nebo klesající v A  f / ( a )  0. Nechť a  D ( f ). Pak existují intervaly A 1 = (a1, a), A2 = (a, a2), tak že f / ( x )  0, x  A 1 a současně f / ( x )  0, x  A 2  f má v a lokální minimum. (V případě ostrých nerovností je to ostré lokální minimum.) f / ( x )  0, x  A 1 a současně f / ( x )  0, x  A 2  f má v a lokální maximum. (V případě ostrých nerovností je to ostré lokální maximum.) f / ( x ) nemění znaménko A1A2 a současně f / ( a ) = 0  f má v a inflexní bod. (Poslední implikaci nelze obrátit – přesně o inflexním bodě dále.)

Příklad. Zjistěte výpočtem průběh velikosti populace v čase t Definiční obor funkce. Pro všechna t  0 je funkce definována. Limity v krajních bodech definičního oboru a v bodech nespojitosti funkce. Funkce je spojitá pro všechna t  0, f ( 0 ) = 10 + 2e -1.2 Monotonie funkce podle chování 1. derivace. f / ( t ) > 0  t < 2  funkce je rostoucí na (0, 2). f / ( t ) < 0  t > 2  funkce je klesající na (2, +). Proto f má v bodě 2 lokální maximum. f ( 2 ) = 12.

Červeně vyznačené čáry už máme spočteny. K přesnějšímu průběhu potřebujeme derivace vyšších řádů.

Nechť a  D( f ). Nechť existuje interval A  D ( f ), že pro každé x  A existuje f / (x ). Druhá derivace f v bodě a se definuje takto: Analogicky se definují derivace řádu vyššího než 2. Nechť a  D( f ). Nechť existuje f // ( a ). funkce f je konvexní na nějakém intervalu A, a  A  f // ( a )  0. funkce f je ryze konvexní na nějakém intervalu A, a  A  f // ( a ) > 0. funkce f je konkávní na nějakém intervalu A, a  A  f // ( a )  0. funkce f je ryze konkávní na nějakém intervalu A, a  A  f // ( a ) < 0. jestliže f / ( a ) = 0 a f // ( a ) > 0, pak f má v bodě a lokální minimum. jestliže f / ( a ) = 0 a f // ( a ) < 0, pak f má v bodě a lokální maximum Nechť a  D( f ). Nechť existuje existuje f // ( a ). Funkce má v bodě a inflexní bod, jestliže f // ( a ) = 0 a znaménko 2.derivace f v levém okolí a se liší od znaménka 2.derivace f v pravém okolí a. (V inflexním bodě dochází ke změně konvexity a konkávity funkce).

Předchozí tvrzení nelze obrátit. Při tom tato funkce má v bodě 0 lokální minimum. konvexní lokální maximum lokální minimum konkávní

Příklad - pokračování. Zjistěte výpočtem průběh velikosti populace v čase t Definiční obor funkce. Limity v krajních bodech definičního oboru a v bodech nespojitosti funkce. Monotonie funkce podle chování 1. derivace. 2. derivace O znaménku 2. derivace rozhoduje výraz Inflexní body jsou

inflexe inflexe konvexní konkávní konvexní Poznámka Často se derivace označují takto: f / ( x ) = d f / d x f // ( x ) = d 2 f / d x 2 f n ( x ) = d n f / d x n

Příklad. Vypočítejte průběh funkce Definiční obor funkce. D ( f ) = (- , 0)  (0 , +  ) Limity v krajních bodech definičního oboru a v bodech nespojitosti funkce. Funkce není spojitá v bodě 0. Funkce se chová v blízkosti nuly neodlišitelně od funkce 2 / x 2. Funkce 2 / x 2 je v 0 její asymptota. V nekonečnech je asymptotou funkce x / 2. Monotonie funkce podle chování 1. derivace. f / ( x ) > 0  [( x > 0 a x > 2) nebo (x < 0 a x < 2)]  x > 2 nebo x < 0. f / ( x ) < 0  x (0, 2) v bodě 2 má funkce lokální minimum f (2) = 3/2.

Průsečík s osami – pokud lze. 2. derivace funkce je konvexní na svém definičním oboru. f ( x )

Poznámka. Nechť A  D ( f ). min { f ( x ), x  A } = min { lokální extrémy, hranice A } Obdobně pro maximum funkce na množině. Příklad. Najděte minimum a maximum funkce na množině < -2, 2 >. f ( -2 ) = -1, f ( 2 ) = 3, f ( -1 ) = 3, f ( 1 ) = - 1. Maxima funkce se tedy nabývá v bodech -1 nebo 2, minima v bodech -2 nebo 1.

Příklady k procvičení. Vyšetřete průběh funkce