Derivace funkce. Velikost populace v čase t 0 je N (t 0 ). Velikost populace v čase t  t 0 je N ( t ). Přírůstek populace za jednotku času je [N(t) – N(t 0 )] / [t – t 0 ]. Blíží-li se t k t 0, pakje přírůstek funkce N v bodě t 0 a značí se a jedná se o (první) derivaci funkce f v bodě t 0. Poznámky.  Jestliže má funkce derivaci v bodě, která je konečná (vlastní), pak v tomto bodě a v okolí bodu je funkce definovaná.  Jestliže má funkce derivaci v bodě, která je konečná (vlastní), pak je v tomto bodě spojitá.  Obrácené tvrzení NEPLATÍ: existují funkce spojité, které nemají derivaci.  Protože je derivace funkce definovaná limitou, lze definovat derivace zleva a zprava pomocí jednostranných limit.  Derivace je opět funkce, o jejíž derivaci lze uvažovat. Tak se definuje 2. 3.,... derivace funkce v bodě.  Pokud derivace v bodě existuje, pak existuje právě 1. Derivace zleva se pak rovná derivaci zprava v tomto bodě.

Význam derivace funkce. Derivace v bodě má význam směrnice tečného vektoru ke křivce v bodě.

Další významy derivace. Derivace některých funkcí.

Operace s derivacemi. Nechť x  D(f)  D(g). Nechť existuje f / (x) a g / (x). Pak  (f ( x )  g ( x )) / = f ( x ) /  g ( x ) /  (f ( x ) g ( x )) / = f ( x ) / g ( x ) + f ( x ) g ( x ) /  Nechť g ( x )  0. Pak (f ( x ) / g ( x )) / = (f ( x ) / g ( x ) - f ( x ) g ( x ) / ) / (g ( x ) 2 ) Derivace složené funkce. Nechť f má vlastní (konečnou) derivaci v bodě x. Nechť g má vlastní derivaci v bodě y = f ( x ). Pak g ( f ( x ) ) / = g / ( y ) f / ( x ) Derivace inverzní funkce. Nechť f je spojitá a prostá na intervalu I  D ( f ). Označím g = f -1. Nechť f ( x ) = y. Jestliže f / ( x )  0, pak g / ( y ) = 1 / f / ( x ).

Příklady. Derivujte funkce. Derivace součtu je rovna součtu derivací. Proto: Jedná se o složenou funkci, D( f ) = R

Částice se pohybuje v čase t podle rovnice y = 3 + cos 2t. Určete okamžitou rychlost a zrychlení částice. Nechť f ( x ) = | x |. Určete f / ( 0 ). Derivace v bodě 0 neexistuje. Nechť f ( x ) = 1 / x. Určete f / ( 0 ). Derivace neexistuje, protože zde není funkce definována. Lze však vypočítat limitu derivace v tomto bodě. Derivace v nekonečnech se definuje limitou derivací:

Nechť f ( x ) = 1 / x 2. Určete f / ( 0 ). Funkce není v bodě definována. Předpokládejme, že velikost populace v čase t je dána vztahem. Dokažte, že platí Předpokládejme, že velikost populace v čase t je dána vztahem, kde N(0) je velikost populace v čase t = 0. Dokažte, že platí

Úlohy k procvičení. Zderivujte. Nechť křivka logistického růstu populace je kde K, r jsou kladné konstanty a N(0) je velikost populace v čase 0. Dokažte, že platí Určete derivaci funkce v bodě x 0

Průběh funkce. Předpokládejme, že velikost populace v čase t  0 lze vyjádřit vztahem Zjistěte průběh velikostí v čase. lokální maximum lokální minimum

Přesněji Nechť existuje interval A  D( f ) a bod a  A, takový, že pro každý bod x  A, x  a platí, že  f ( x ) > f ( a ). Pak f má v a ostré lokální minimum.  f ( x )  f ( a ). Pak f má v a (neostré) lokální minimum.  f ( x ) < f ( a ). Pak f má v a ostré lokální maximum.  f ( x )  f ( a ). Pak f má v a (neostré) lokální maximum. Příklad. A B a b V bodě a má funkce ostré lokální minimum. V bodě b má funkce ostré lokální maximum.

Má-li funkce f v bodě a ostré lokální minimum nebo ostré lokální maximum, má v tomto bodě ostrý lokální extrém. Má-li funkce f v bodě a (neostré) lokální minimum nebo (neostré) lokální maximum, má v tomto bodě (neostrý) lokální extrém. lokální maximum lokální minimum Nechť existuje f / ( a ), a  D(f) vlastní a dále nechť:  f / (a) > 0  existuje interval A  D(f) tak, že f je rostoucí v A-{a}.  f / (a) < 0  existuje interval A  D(f) tak,že f je klesající v A-{a}.  Nechť f má v a lokální extrém. Pak f / ( a) = 0.

Funkce je v bodě 0 rostoucí, avšak nemá v tomto bodě derivaci. Funkce má v bodě 0 derivaci rovnu 0. Nemá v bodě 0 lokální extrém. Funkce je rostoucí ve svém definičním oboru, má však derivaci v bodě 0 rovnu 0. Neboli NEPLATÍ obrácená implikace “rostoucí  f / > 0“.

Funkce má v bodě 0 lokální minimum. Nemá však v bodě 0 derivaci. Nechť a  D ( f ), f / ( a ) existuje. Pak existuje interval A, (a  A) tak že  f je neklesající nebo rostoucí v A  f / ( a )  0 (f / ( a ) > 0).  f je nerostoucí nebo klesající v A  f / ( a )  0 (f / ( a ) < 0). Nechť a  D ( f ). Pak existují intervaly A 1 = (a 1, a), A 2 = (a, a 2 ), tak že  f / ( x )  0, x  A 1 a současně f / ( x )  0, x  A 2  f má v a lokální minimum. (V případě ostrých nerovností je to ostré lokální minimum.)  f / ( x )  0, x  A 1 a současně f / ( x )  0, x  A 2  f má v a lokální maximum. (V případě ostrých nerovností je to ostré lokální maximum.)  f / ( x ) nemění znaménko A 1  A 2 a současně f / ( a ) = 0  f má v a inflexní bod. (Poslední implikaci nelze obrátit – přesně o inflexním bodě dále.)

Příklad. Zjistěte výpočtem průběh velikosti populace v čase t 1.Definiční obor funkce. Pro všechna t  0 je funkce definována. 2.Limity v krajních bodech definičního oboru a v bodech nespojitosti funkce. Funkce je spojitá pro všechna t  0, f ( 0 ) = e Monotonie funkce podle chování 1. derivace. f / ( t ) > 0  t < 2  funkce je rostoucí na (0, 2). f / ( t ) 2  funkce je klesající na (2, +  ). Proto f má v bodě 2 lokální maximum. f ( 2 ) = 12.

Červeně vyznačené čáry už máme spočteny. K přesnějšímu průběhu potřebujeme derivace vyšších řádů.

Nechť a  D( f ). Nechť existuje interval A  D ( f ), že pro každé x  A existuje f / (x ). Druhá derivace f v bodě a se definuje takto: Analogicky se definují derivace řádu vyššího než 2. Nechť a  D( f ). Nechť existuje f // ( a ).  funkce f je konvexní na nějakém intervalu A, a  A  f // ( a )  0.  funkce f je ryze konvexní na nějakém intervalu A, a  A  f // ( a ) > 0.  funkce f je konkávní na nějakém intervalu A, a  A  f // ( a )  0.  funkce f je ryze konkávní na nějakém intervalu A, a  A  f // ( a ) < 0.  jestliže f / ( a ) = 0 a f // ( a ) > 0, pak f má v bodě a lokální minimum.  jestliže f / ( a ) = 0 a f // ( a ) < 0, pak f má v bodě a lokální maximum Nechť a  D( f ). Nechť existuje existuje f // ( a ). Funkce má v bodě a inflexní bod, jestliže f // ( a ) = 0 a znaménko 2.derivace f v levém okolí a se liší od znaménka 2.derivace f v pravém okolí a. (V inflexním bodě dochází ke změně konvexity a konkávity funkce).

Předchozí tvrzení nelze obrátit. Při tom tato funkce má v bodě 0 lokální minimum. konkávní konvexní lokální maximum lokální minimum

Příklad - pokračování. Zjistěte výpočtem průběh velikosti populace v čase t 1.Definiční obor funkce. 2.Limity v krajních bodech definičního oboru a v bodech nespojitosti funkce. 3.Monotonie funkce podle chování 1. derivace derivace O znaménku 2. derivace rozhoduje výraz Inflexní body jsou

PoznámkaČasto se derivace označují takto:  f / ( x ) = d f / d x  f // ( x ) = d 2 f / d x 2  f n ( x ) = d n f / d x n konkávníkonvexní inflexe

Příklad. Vypočítejte průběh funkce 1.Definiční obor funkce. D ( f ) = (- , 0)  (0, +  ) 2.Limity v krajních bodech definičního oboru a v bodech nespojitosti funkce. Funkce není spojitá v bodě 0. Funkce se chová v blízkosti nuly neodlišitelně od funkce 2 / x 2. Funkce 2 / x 2 je v 0 její asymptota. V nekonečnech je asymptotou funkce x / 2. 3.Monotonie funkce podle chování 1. derivace. f / ( x ) > 0  [( x > 0 a x > 2) nebo (x < 0 a x < 2)]  x > 2 nebo x < 0. f / ( x ) < 0  x  (0, 2) v bodě 2 má funkce lokální minimum f (2) = 3/2.

4.Průsečík s osami – pokud lze derivace funkce je konvexní na svém definičním oboru. f ( x )

Poznámka. Nechť A  D ( f ). min { f ( x ), x  A } = min { lokální extrémy, hranice A } Obdobně pro maximum funkce na množině. Příklad. Najděte minimum a maximum funkce na množině. f ( -2 ) = -1, f ( 2 ) = 3, f ( -1 ) = 3, f ( 1 ) = - 1. Maxima funkce se tedy nabývá v bodech -1 nebo 2, minima v bodech -2 nebo 1.

Příklady k procvičení. Vyšetřete průběh funkce