Užití vektorového součinu Název školy Gymnázium Zlín - Lesní čtvrť Číslo projektu CZ.1.07/1.5.00/34.0484 Název projektu Rozvoj žákovských kompetencí pro 21. století Název šablony III/2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT Název DUM Užití vektorového součinu Označení DUM VY_32_INOVACE_02_2_11 Autor RNDr. Jana Sušilová Datum 5.9.2013 Vzdělávací oblast Člověk a příroda Vzdělávací obor Matematika Tematický okruh Analytická geometrie Ročník 4. ročník gymnázia www.zlinskedumy.cz

Užití vektorového součinu

1. Nalezení vektoru kolmého ke dvěma daným vektorům Příklad 1: Najděte všechny vektory, které jsou kolmé k vektorům 𝑢 = 2,3,−1 a 𝑣 = −3,0,2 . Řešení: Spočítáme vektorový součin daných vektorů 𝑢 = 2,3,−1 𝑣 = −3,0,2 𝑢 𝑥 𝑣 = 6,−1,9 Každý vektor rovnoběžný s vektorem 𝑢 𝑥 𝑣 je k oběma daným vektorům kolmý. Řešením je tedy každý nenulový násobek vektorového součinu. 𝑤 = 6𝑘,−𝑘,9𝑘 , 𝑘∈𝑅− 0

Příklad 2: Najděte vektor 𝑤 , který je kolmý k vektorům 𝑢 = −2,0,1 a 𝑣 = 1,2,0 a jehož velikost je 42 . Řešení: 𝑢 = 2,3,−1 𝑣 = −3,0,2 𝑢 𝑥 𝑣 = −2,1,−4 𝑤 = −2𝑘 2 + 𝑘 2 + −4𝑘 2 𝑤 = 4𝑘 2 + 𝑘 2 + 16𝑘 2 42 = 21𝑘 2 𝑘 2 =2 ⟹ 𝑘 = 2 𝑤 = −2𝑘,𝑘,−4𝑘 Řešením jsou dva vektory 𝑤 = −2 2 , 2 ,−4 2 , 𝑤 , = 2 2 ,− 2 ,4 2

𝑺= 𝒂 𝒙 𝒃 2. Výpočet obsahu rovnoběžníku a trojúhelníku Příklad 1: Odvoďte vzorec pro obsah rovnoběžníku ABCD. A B C D ⍺ b Řešení: a 𝑆=𝑎.𝑏.𝑠𝑖𝑛⍺ 𝒃 𝑺= 𝒂 . 𝒃 .𝒔𝒊𝒏⍺ 𝑎 𝑥 𝑏 𝒂 𝑺= 𝒂 𝒙 𝒃

Příklad 2: Spočítejte obsah rovnoběžníku ABCD, jehož strany jsou umístěním vektorů 𝑎 = 3,0,1 , 𝑏 = 4,−1,0 . Řešení: Spočítáme vektorový součin daných vektorů 𝑎 = 3,0,1 𝑏 = 4,−1,0 𝑎 𝑥 𝑏 =(1,4,−3) 𝑆= 𝑎 𝑥 𝑏 𝑆= 1 2 + 4 2 + −3 2 = 1+16+9 𝑆= 26

Příklad 3: Spočítejte obsah trojúhelníku ABC Řešení: A B C c b a a c c b 𝑆= 𝑐 𝑥 𝑏 2 𝑆= 𝑎 𝑥 𝑏 2 b a 𝑆= 𝑎 𝑥 𝑐 2 Trojúhelník doplníme na rovnoběžník.

Příklad 4: Spočítejte obsah trojúhelníku ABC, je-li dáno: 𝐴 −4,−2,1 , 𝐵 2,−1,0 , 𝐶 −2,2,−1 Řešení: Určíme souřadnice vektorů 𝑐 = 𝐴𝐵 a 𝑏 = 𝐴𝐶 a spočítáme jejich vektorový součin. 𝑐 = 6,1,−1 𝑏 = 2,4,−2 𝑐 𝑥 𝑏 = 2,10,22 𝑆= 𝑐 𝑥 𝑏 2 𝑐 𝑥 𝑏 = 2 2 + 10 2 + 22 2 𝑐 𝑥 𝑏 = 4+4.25+4.121 𝑐 𝑥 𝑏 =2. 147 𝑆= 147

𝑉= 𝑎 𝑥 𝑏 . 𝑐 3. Výpočet objemu rovnoběžnostěnu 𝑉= 𝑆 𝑝 .𝑣 𝑆 𝑝 =𝑎.𝑏.𝑠𝑖𝑛⍺ 𝑣=𝑐.𝑐𝑜𝑠𝜑 𝑆 𝑝 = 𝑎 . 𝑏 .𝑠𝑖𝑛⍺ 𝑆 𝑝 = 𝑎 𝑥 𝑏 𝑣= 𝑐 .𝑐𝑜𝑠𝜑 ∝ 𝑉= 𝑎 𝑥 𝑏 . 𝑐 .𝑐𝑜𝑠𝜑 𝑎 𝑥 𝑏 . 𝑐 𝑉= 𝑎 𝑥 𝑏 . 𝑐

Spočítejte objem rovnoběžnostěnu ABCDEFGH, je-li dáno: Příklad 1: Spočítejte objem rovnoběžnostěnu ABCDEFGH, je-li dáno: 𝐴 2,0,0 , 𝐵 2,4,0 , 𝐷 0,0,−1 ,𝐸 1,1,5 Řešení: 𝑎 = 𝐴𝐵 , 𝑎 = 0,4,0 𝑏 = 𝐴𝐷 , 𝑏 = −2,0,−1 𝑐 = 𝐴𝐸 , 𝑐 = −1,1,5 H G E F 𝑎 𝑥 𝑏 = −4,0,8 𝑎 𝑥 𝑏 . 𝑐 =4+0+40=44 D C 𝑉= 𝑎 𝑥 𝑏 . 𝑐 = 44 =44 A B

Příklad 2: Spočítejte objem trojbokého hranolu ABDEFH, který je částí rovnoběžnostěnu ABCDEFGH. Řešení: A B C D E F G H a c b Rovnoběžnostěn lze rozdělit na dva trojboké hranoly, jejichž objemy jsou stejné, proto objem trojbokého hranolu tvoří polovinu objemu celého rovnoběžnostěnu. 𝑉= 𝑎 𝑥 𝑏 . 𝑐 2

Příklad 3: Spočítejte objem čtyřstěnu ABDE, který je částí rovnoběžnostěnu ABCDEFGH. Řešení: A G B F E H D a b c C Trojboký hranol ABDEFH lze rozdělit na tři čtyřstěny, jejichž objemy jsou stejné, proto objem čtyřstěnu ABDE tvoří třetinu objemu trojbokého hranolu ABDEFH a tedy šestinu objemu celého rovnoběžnostěnu. 𝑉= 𝑎 𝑥 𝑏 . 𝑐 6

Příklad 4: Spočítejte objem čtyřstěnu ABCD, je-li dáno: 𝐴 1,−2,0 , 𝐵 −2,0,1 , 𝐶 3,2,1 ,𝐷 2,1,4 Řešení: 𝑎 = 𝐴𝐵 , 𝑎 = −3,2,1 𝑏 = 𝐴𝐶 , 𝑏 = 2,4,1 𝑐 = 𝐴𝐷 , 𝑐 = 1,3,4 𝑉= 𝑎 𝑥 𝑏 . 𝑐 6 𝑉= 51 6 𝑎 𝑥 𝑏 = −2,5,−16 𝑎 𝑥 𝑏 . 𝑐 =−2+15−64 𝑎 𝑥 𝑏 . 𝑐 =−51 𝑎 𝑥 𝑏 . 𝑐 =51

Konec