FIIFEI-08 Elektromagnetická indukce II Přechodové jevy http://stein.upce.cz/msfei14.html http://stein.upce.cz/fei/fIIfei_08.ppt 25.2.2007 Doc. Miloš Steinhart, UAFM UPCE EA 06 036, tel. 466 036 029 (026) 02. 12. 2014

Hlavní body Transformátor Energie a hustota energie magnetického pole Přechodové jevy v RLC 02. 12. 2014

Transformátor I Transformátor je zařízení, ve kterém sdílí jedna, dvě nebo více cívek stejný (časově proměnný) magetický tok. Cívka, ke které je připojeno vstupní napětí a která tento tok vytváří, se nazývá primární. Ostatní jsou sekundární. (Existují i autotransformátory s jednou cívkou a odbočkami) Transformátory se užívají hlavně k převodu napětí a proudu nebo přizpůsobení vnitřního odporu (impedančnímu přizpůsobení). 02. 12. 2014

Transformátor II Ilustrujme princip funkce transformátoru na jednoduchém typu se dvěma cívkami, které mají N1 a N2 závitů. Předpokládejme, že sekundární cívkou teče zanedbatelný proud. Vstupní napětí musí být časově proměnné. Každým jedním závitem každé cívky prochází stejný tok a indukuje se v něm elektromotorické napětí U1 : U1 = - d/dt 02. 12. 2014

Transformátor III Připojíme-li k primární cívce napětí U1, bude magnetizace jádra růst do doby, než se indukované elektromotorické napětí vyrovná napětí vstupnímu: U1 = N1U1 Napětí na sekundárním vinutí je také úměrné počtu závitů: U2 = N2U1 02. 12. 2014

Transformátor IV Takže napětí v obou cívkách jsou úměrná počtu jejich závitů : U1/N1 = U2/N2 Obtížnější případ je porozumět funkci transformátoru, když je zatížen a velmi obtížné je navrhnout dobrý transformátor s velkou účinností, která se blíží 100%, což je velice důležité pro přenos energie. 02. 12. 2014

Transformátor V Předpokládejme, že máme transformátor s účinností blízkou 1. Lze ukázat, že proudy cívkami jsou nepřímo úměrné počtu závitů a vnitřní odpory jsou úměrné jejich čtverci. P = I1U1 = I1U2N1/N2 = I2U2 I1N1 = I2N2 R1/N12 = R2/N22 02. 12. 2014

Energie magnetického pole I Indukčnost brání změnám protékajícího proudu. Znamená to, že k dosažení stavu, kdy cívkou protéká určitý proud, bylo potřeba vykonat jistou práci. Tato práce se přemění do potenciální energie magnetického pole. Roste při zvyšování proudu a klesá při jeho snižování. Protéká-li cívkou proud I, který chceme zvětšit, musíme dodat výkon, úměrný změně proudu, které chceme dosáhnout. 02. 12. 2014

Energie magnetického pole II Jinými slovy musíme konat práci určitou rychlostí, abychom byli schopni posunovat náboji proti poli indukovaného elektromotorického napětí : P = IU = ILdI/dt  dW = Pdt = LIdI Abychom našli práci potřebnou k dosažení proudu I, musíme integrovat : W = LI2/2 02. 12. 2014

Hustota energie magnetického pole I Podobně, jako tomu bylo u nabitého kondenzátoru, i zde je energie obsažena v poli, nyní samozřejmě magnetickém. Jeho hustotu lze jednoduše vyjádřit u homogenního pole dlouhého solenoidu : Známe vztahy pro indukčnost L a indukci B L = 0N2S/l B = 0NI/l  I = Bl/0N 02. 12. 2014

Hustota energie magnetického pole II Protože Sl je objem solenoidu, kde lze očekávat soustředěnou většinu energie, můžeme pokládat za hustotu energie magnetického pole. Tento výraz platí obecně v okolí každého bodu i v nehomogenních polích. 02. 12. 2014

RC, RL, LC a RLC obvody Obvody obsahující cívky a kondenzátory dosáhnou po určité změně, např. připojení zdroje rovnovážného stavu až za určitou dobu. Proto je u nich důležité najít chování elektrických veličin v závislosti na čase. Budeme se tedy zabývat “vybíjením nebo nabíjením” kondenzátoru nebo cívky přes odpor. U obvodů LC se setkáme s novým jevem oscilacemi. 02. 12. 2014

Obvod RC I Mějme kondenzátor C nabitý na napětí Uc0 a začněme ho vybíjet v čase t = 0 přes rezistor R. V každém okamžiku je kondenzátor v obvodu zdrojem v tomto obvodu a platí 2. Kirchhoffův (nebo Ohmův) zákon : I(t) = Uc(t)/R To vede na diferenciální rovnici. 02. 12. 2014

Obvod RC II Všechny veličiny Q, U a I exponenciálně klesají s časovou konstantou  = RC. Nyní připojme stejný kondenzátor a rezistor k vnějšímu zdroji s napětím U0. V každém okamžiku platí podle Kirchfoffova zákona: I(t)R + Uc(t) = U0 což vede na poněkud složitější diferenciální rovnici. 02. 12. 2014

Obvod RC III Nyní Q a U rostou exponenciálně do saturace a proud klesá exponenciálně jako v předchozím případě. Časové změny všech veličin lze opět popsat pomocí časové konstanty  = RC. 02. 12. 2014

RL obvod I Obdobná situace nastane zaměníme-li v obvodu kondenzátor C za cívku L. Když proud poroste, bude mít indukované napětí na cívce stejnou orientaci jako napětí na odporu a s použitím druhého Kirchhoffova zákona můžeme psát: RI(t) + LdI/dt = U0 To je diferenciální rovnice podobná rovnici předchozí. 02. 12. 2014

LC obvod I Ke kvalitativně nové situaci dojde, připojíme-li nabitý kondenzátor C k cívce L. Lze očekávat, že se energie bude přelévat z formy elektrické do magnetické a naopak. Dochází k netlumenému periodickému pohybu. 02. 12. 2014

LC obvod II Tento obvod se nazývá LC oscilátor a produkuje elektromagnetické kmity. Opět použijeme 2. Kirchhoffův zákon: L dI/dt – Uc = 0 To vede opět na diferenciální rovnici, ale vyššího řádu. 02. 12. 2014

LC obvod III Co se děje kvalitativně: Na začátku je kondenzátor nabit a snaží se vybíjet přes cívku. Na ní se ale naindukuje napětí rovné napětí na kondenzátoru, čímž cívka brání rychlému nárustu proudu. Ten je zpočátku nulový. Jeho časová derivace však musí být nenulová, proud tedy zvolna roste. 02. 12. 2014

LC obvod IV Kondenzátor se vybíjí, čímž klesá nárust proudu a tím i indukované napětí na cívce. V okamžiku, kdy je kondenzátor vybit je napětí na něm nulové, nulový je i nárůst proudu a napětí na cívce. Proud má ale nyní maximální hodnotu a cívka brání jejímu okamžitému poklesu. 02. 12. 2014

LC obvod V Na cívce nyní poroste napětí opačné polarity, což odpovídá klesajícímu proudu. Kondenzátor se též nabíjí na polaritu, která je opačná, než byla polarita původní. V okamžiku, kdy je kondenzátor nabit, je proud nulový a celý děj se opakuje. 02. 12. 2014

RLC obvod Přidáme-li k obvodu RC rezistor, bude obvod kmitat kmity tlumenými. Při průtoku proudu se elektrická energie bude měnit na rezistoru na energii tepelnou a počáteční energie nahromaděná původně v nabitém kondenzátoru se bude postupně ztrácet. 02. 12. 2014

Skalární součin Ať Definice I (ve složkách) Definice II Skalární součin je součin velikosti jednoho vektoru krát průmět velikosti vektoru druhého do jeho směru. ^

RC obvod I Použijeme definici proudu I = –dQ/dt a vztahu mezi nábojem a napětím na kondenzátoru Uc = Q(t)/C: Znaménko mínus znamená, že kladným proudem se kondenzátor vybíjí. Tuto homogenní diferenciální rovnici prvního řádu snadno vyřešíme separací proměnných.

RC obvod II Definujme časovou konstantu  = RC. Můžeme integrovat obě strany rovnice: Integrační konstantu nalezneme z okrajových podmínek Q0 = CUc0 :

RC obvod III Podělením C a následně R obdržíme časovou závislost napětí a proudu v obvodu: ^

RC obvod IV Dosadíme za proud I = +dQ/dt a napětí a rovnici trochu přeorganizujeme: Získáváme podobnou rovnici, ale nyní nehomogenní. Na pravé straně není nula. Zde se řeší napřed rovnice homogenní a poté se přičte jedno partikulární řešení, například konečný náboj Qk = CU0 .

RC obvod V Použijeme řešení předchozí homogenní rovnice a můžeme psát: Integrační konstantu opět získáme uvážením okrajových podmínek Q(0) = 0  Q0 = -Qk.

RC obvod VI Podělením C získáme časovou závislost napětí na kondenzátoru:

RC obvod VII Časovou závislost proudu vypočteme z časové derivace náboje: ^

RL obvod I Lze opět jako u RC nejprve vyřešit homogenní rovnici a poté přičíst partikulární řešení, např. konečný maximální proud Im = U0/R: Nebo lze rovnici vhodně přeskupit a řešit přímou integrací:

RL obvod II Nyní můžeme přímo integrovat a poté odlogaritmovat:

RL obvod III A konečně:

RL obvod IV Můžeme definovat časovou konstantu  = L/R a řešit homogenní rovnici separací proměnných. Ta by byla řešením pro obvod bez zdroje. Po přičtení partikulárního řešení dostáváme: Použijeme okrajové podmínky I(0) = 0  I0 = -Im a dostáváme stejně jako integrací:

RL obvod V Časovou závislost napětí získáme z definice indukčnosti U = LdI/dt : ./. ^

RL obvod VI - příklad Připojme např. cívku L=220 mH přes odpor R=30Ω ke zdroji U0=12 V. Jaké budou τ, I0 a Imax. Kdy dosáhne proud poloviny Imax a jaký bude v tomto okamžiku výkon zdroje? : ^

LC obvod I Dosadíme opět za proud I = –dQ/dt a vztah mezi napětím a nábojem na kondenzátoru Uc = Q(t)/C: Opět bereme v úvahu fakt, že kladným proudem se kondenzátor vybíjí. Získáváme homogenní diferenciální rovnici druhého řádu. Zde snadno uhodneme tvar řešení:

LC obvod II Parametry získáme dosazením za druhou derivaci náboje: To je známý Thompsonův vztah pro úhlovou frekvenci netlumených harmonických kmitů. ^

RLC obvod I Z druhého Kirchhoffova zákona platí: Opět bereme v úvahu fakt, že kladným proudem se kondenzátor vybíjí:

RLC obvod II Po dosazení a úpravě konečně dostáváme : To je homogenní diferenciální rovnice druhého řádu, ovšem s nenulovým řádem prvním. Charakter řešení závisí na řešení takzvané charakteristické rovnice:

RLC obvod III Řešení tedy závisí na vztahu : < odpovídá malému tlumení > odpovídá přetlumení a = odpovídá tlumení kritickému

RLC obvod IV a výsledné řešení bude mít tvar : Pro malé tlumení zavedeme novou úhlovou frekvenci : a výsledné řešení bude mít tvar : Obsahuje periodickou část a exponenciálně klesající amplitudu (obálku). ^

Vektorový součin I Ať Definice (ve složkách) Velikost vektoru Velikost vektorového součinu je rovna obsahu rovnoběžníku tvořeného vektory .

Vektorový součin II Vektor je kolmý k rovině vytvořené vektory a a společně vytváří pravotočivý systém. ijk = {1 (sudá permutace), -1 (lichá), 0 (eq.)} ^