Generování náhodných veličin Diskrétní a spojitá rozdělení Simulační modely ek.procesů 4.přednáška

Diskrétní rozdělení Vychází se z náhodného pokusu, který má za následek 2 možné výsledky: 1.Nastoupení jevu A 2.Nenastoupení jevu A = nastoupení Ā Pravděp. nastoupení jevu A … P(A) = p Pravděp. nastoupení jevu Ā … P(Ā) = 1-p = q

Diskrétní rozdělení 1.Alternativní 2.Geometrické 3.Pascalovo 4.Binomické 5.Poissonovo 6.Hypergeometrické

1. Alternativní (Bernoulliovo) rozdělení Náhodný pokus má jen 2 možné výsledky 1.s pravděpodobností p … úspěch náh.veličina X = 1 2.s pravděpodobností 1-p = q … neúspěch náh.veličina X = 0 E(X) = pD(X) = p*q Příklad: hod mincí, …??? (sami doplňte) Generování: ??? (sami doplňte)

2. Geometrické rozdělení Náh.veličina X = počet náhodných pokusů, které mají za výsledek nastoupení jevu Ā před prvním výskytem jevu A (počet neúspěchů před prvním úspěchem) E(X) = q/pD(X) = E(X)/p = q/p 2 P(X) = p(1-p) x Příklad: počet ??? (doplňte..)

2. Geometrické rozdělení Generování: 1.x = 0 2.generuj náh.číslo r 3.pokud je r < p, jdi na 5. 4.x = x + 1, jdi na 2. 5.konec, v x je generovaná hodnota geom.rozdělení Jiná možnost: x = celá část (ln r/ln q)

3. Pascalovo (negativní binomické) rozdělení Náh.veličina X … počet nastoupení jevu Ā předtím, než nastoupí k-krát jev A (počet neúspěchů před k úspěchy) = součet k nezávislých geometrických rozdělení E(X) = k*q/pD(X) = k*q/p 2 Příklad: počet ??? (doplňte..) Generování: ??? (sami doplňte)

4. Binomické rozdělení Náh.veličina X … počet výskytů jevu A v sérii n nezávislých pokusů (počet úspěchů ve všech pokusech, výběry s vracením) E(X) = n*pD(X) = n*p/q Příklad: počet ??? (doplňte..)

4. Binomické rozdělení Generování: 1.x = 0, i = 1 2.generuj náh.číslo r 3.pokud je r < p, x = x i = i+1 5.pokud je i  n, jdi na 2., jinak jdi na 5. 6.konec, v x je generovaná hodnota binomického rozdělení

5. Poissonovo rozdělení Podobné binomickému, rozdíl je hlavně v tom, že: n je velmi velké (n>30) a p velmi malé (p<0.1) E(X) = n*p = D(X) = Příklady: jako u binom.rozděl. s p<0.1, počet výskytů určitého jevu v časovém intervalu  t (stř.hodnota počtu výskytů za čas.jednotku je ), Toto rozdělení je spojené s exponenciálním rozdělením – společný parametr

6. Hypergeometrické rozdělení Náh.veličina X … počet prvků jednoho druhu (úspěchů), který se vyskytuje v náhodném výběru n prvků (bez vracení) Ze základního souboru velikost N vybereme n Pravděpodobnost úspěchu P(A) … p Celkový počet prvků jednoho druhu (úspěchů) v souboru N … M= N*p E(X) = n*pD(X) = n*p*q ((N-n)/(n-1))

Spojitá rozdělení Spojité distribuční funkce F(x) 0  F(x)  1x  (  ;  ) F(x) je neklesající Spojité hustoty pravděpodobnosti f(x) f(x) = dF(x)/dx a naopak distribuční fce

Spojitá rozdělení 1.Rovnoměrné R(a,b) 2.Exponenciální E(1/ ) 3.Normální N( ,  2 ) 4.Logaritmicko-normální LN( ,  2 ) 5.Další rozdělení 1.Obecné trojúhelníkové TRI(a,c,b) 2.Lichoběžníkové, Gama, Beta,  2, t, …

1. Rovnoměrné rozdělení Náh.veličina X má rovnoměrné rozdělení na intervalu (a,b), jestliže má hustotu pravděpodobnosti f(x): f(x) = 0 pro x b f(x) = 1 / (b-a) (tj. v daném intervalu se vyskytuje se stejnou pravděpodobností) E(X) = (a+b)/2D(X) = (b-a) 2 /12

1. Rovnoměrné rozdělení Generování:x = a + (b-a)r Příklad: doba ??? (doplňte..)

2. Exponenciální rozdělení Používáme:  pokud je pravděpodobnost výskytu jevu během časového intervalu úměrná délce tohoto intervalu  a nastoupení jevu je statisticky nezávislé na minulosti procesu f(x) = e - x pro >0, x>0 F(X) = 1-e - x E(X) = 1/ D(X) = 1/ 2

2. Exponenciální rozdělení Generování - přes metodu inverzní transformace Příklad: doba ??? (doplňte..)

3. Normální rozdělení Parametry: ,  2 Lze převést na normované normální rozdělení N(0,1): pokud X má rozdělení N( ,  2 ), pak Z = (X-  )/  má rozdělení N(0,1) Tímto rozdělením se řídí např. náhodné chyby a veličiny, jejichž kolísání je způsobeno součtem velkého počtu vzájemně nezávislých a nepatrných jevů (výška populace). Lze jím dobře aproximovat i jiná rozdělení (i nespojitá).

3. Normální rozdělení

Generování: 1.Algoritmus vycházející z centrální limitní věty - součty n náhodných čísel (pro n alespoň 12 a vetší) je možno chápat jako hodnoty normálního rozdělení 2.Box-Müllerova transformace 3.Upravená Box-Müllerova transformace 4.V Excelu s využitím funkce NORMINV 5.Pomocí zamítací metody

4. Logaritmicko-normální rozdělení Vhodné pro jednostranně ohraničená data – např. fyzikální veličiny (teplota, tlak, hmotnost, objem, průtok…), spolehlivost, výše důchodu,..

4. Logaritmicko-normální rozdělení Generování: 1.Nagenerujeme X z normálního rozdělení 2.Pokud má X rozdělení N( ,  2 ), pak Z má rozdělení LN( ,  2 ), jestliže Z = e x

5. Další rozdělení a) Obecné trojúhelníkové b) Lichoběžníkové c) Studentovo t-rozdělení d) Gama e) Beta f)  2 g) Weibullovo h) Erlangovo i) Fisherovo F-rozdělení

… a to pro dnešek stačí ! DOTAZY?