9.přednáška vyšetřování průběhu funkce BRVKA Karl T.W. Weierstrass (1815 –1897)

BRVKA průběh funkce Cílem je zjistit vlastnosti funkce a načrtnout její graf. U každé funkce budeme určovat: Definiční obor D(f) Obor hodnot R(f) Omezenost (zdola, shora) Paritu (sudost, lichost) Periodicitu Monotónnost (rostoucí resp. klesající) Extrémy (lokální, globální) a inflexe Konkavitu a konvexitu Limity v nevlastních a významných bodech Asymptoty Graf

1) definiční obor d(f) 2) obor hodnot R(f) BRVKA Definiční obor je množina x, kterým je přiřazeno nějaké y. Zjišťujeme tedy, která x nelze do předpisu dosadit. Nejčastěji se vyskytující jevy: Dělení výrazem, který může být roven 0. Nulou dělit nelze, taková x z D(f) proto vyřadíme. V těchto bodech bude mít graf nejčastěji svislou asymptotu. Logaritmus, D(logw) = R+. Zjišťujeme, kdy je w větší než 0 Sudá odmocnina. Nelze je počítat ze záporných čísel. Určíme, kdy je odmocňovaný výraz kladný. 2) obor hodnot R(f) Definiční obor je množina y, která jsou přiřazena nějakému x. Místo složitého počítání z předpisu si prohlédneme výsledný graf a eventuálně dopočítáme významné body.

BRVKA 2+3) R(f) a Omezenost Pokud je funkce f(x) shora omezená, existuje horní mez, obor hodnot R(f) je shora omezený. Pokud je funkce f(x) zdola omezená, existuje dolní mez d a obor hodnot R(f) je zdola omezený. Pokud je funkce f(x) omezená, je obor hodnot R(f) omezený zdola i shora. R R R Z 5.přednášky - FUNKCE Výsledkem zjišťování omezenosti je jeden z údajů: omezená zdola, omezená shora, je omezená, není omezená.

4) Sudost, lichost 5) periodičnost BRVKA 4) Sudost, lichost Funkce f(x) je sudá, jestliže je graf osově souměrný podle osy y, platí f(x) = f(– x). (D(f) je také souměrný) Funkce f(x) je lichá, jestliže je graf středově souměrný podle počátku, platí f(x) = –f(– x). (D(f) je také souměrný) Sudá 5) periodičnost Lichá Funkce f(x) je periodická s periodou t, jestliže f(x + t) = f(x) pro všechny hodnoty x z D(f). Funkce opakuje své hodnoty po určité konečné periodě. Z 5.přednášky - FUNKCE

BRVKA 6) Monotonie Zjišťujeme intervaly, ve kterých je funkce rostoucí resp. klesající. Využijeme derivaci: Věta: Pokud má funkce f(x) na intervalu I derivaci, platí: Je-li derivace f ´(x) > 0 na I, je na něm ROSTOUCÍ. Je-li derivace f ´(x) < 0 na I, je na něm KLESAJÍCÍ. Víme: Směrnice tečny ke grafu funkce f(x) v daném bodě a je rovna derivaci funkce f(x) v tomto bodě. tg α = f ´(a) Pokud je α < 90o, je tg α > 0 a tedy i derivace je kladná. Pokud je α > 90o, je tg α < 0 a tedy i derivace je záporná. y α < 90o f ´(x) > 0 α > 90o f ´(x) < 0 x

7) extrémy Zjišťujeme, kde má funkce minima, maxima a inflexe. BRVKA 7) extrémy Zjišťujeme, kde má funkce minima, maxima a inflexe. Věta: Pokud má funkce f(x) v bodě a extrém, tak se derivace v tomto bodě (pokud existuje) rovná 0. f ´(x) = 0 Víme: Rostoucí funkce má kladnou derivaci, klesající funkce má zápornou derivaci. V místě, kde se mění typ monotonie, je extrém a derivace je nulová (mění se znaménko). y α = 0o f ´(x) = 0 α = 90o f ´(x) = 0 x Poznámka: Tam, kde je derivace nulová, je pouze bod „podezřelý“ z extrému, jednak nevíme, jestli je to minimum nebo maximum, a jednak to může být inflexe (viz dále).

BRVKA 7) Inflexní bod Bod, kde je f ´(x) = 0, ale není to maximum ani minimum. y α = 0o f ´(x) = 0 x Základní otázka: Jak odlišit inflexe od extrémů? a) Úvahou – v inflexi nemění derivace znaménko, protože se nemění typ monotonie (na obr. je funkce rostoucí) b) Pomocí druhé derivace – kterou ještě neznáme. Laicky: když jsme mohli derivovat funkci a její derivace je také funkce, není důvod, proč bychom nemohli derivovat dál.

BRVKA Druhá derivace Jestliže má funkce f(x) (první) derivaci f ´(x), potom druhou derivací funkce f(x) rozumíme funkci f ´´(x), která vznikne derivováním funkce f ´(x). Význam druhé derivace pro určování extrémů: Pokud se první derivace rovná nule f ´(x) = 0, potom: a) f ´´(x) = 0 – v x je inflexe. b) f ´(x) > 0 – v x je minimum. c) f ´(x) > 0 – v x je maximum. Úvaha: jestliže se v extrému měnila monotonie (v maximu z rostoucí na klesající, v minimu obráceně), co se mění v inflexi, pokud se vůbec něco mění.

8) Konkavita a konvexita BRVKA 8) Konkavita a konvexita Nejlépe jsou tyto vlastnosti vidět z grafů: Konkávní funkce Konvexní funkce y y x x Bod grafu leží NAD sečnou. Bod grafu leží POD sečnou. Věta: Pokud má funkce f(x) na intervalu I druhou derivaci, pak: Je-li na I druhá derivace f ´´(x) < 0, je na I KONKÁVNÍ. Je-li na I druhá derivace f ´´(x) > 0, je na I KONVEXNÍ. Úvaha – dokončení: v inflexi se mění konkavita a konvexita.

BRVKA 9) limity Limity v nevlastních a důležitých bodech, což jsou krajní a vynechané body definičního oboru, můžeme počítat známým způsobem jako klasickou limitu. Nebo můžeme použít kalkulačku a zkusíme dosadit buď hodně velké číslo pro limitu v nevlastních bodech, nebo číslo, které se moc neliší od důležitého bodu, např. místo čísla 2 dosazujeme 1,999 a 2,001, většinou to stačí. Příklady, kde to nestačí dělat nebudeme. Pokud jste to ještě neudělali, kupte si kalkulačku.

BRVKA 10) asymptoty Asymptota je přímka, ke které se graf funkce přibližuje, ale nikdy se jí nedotkne. Rozlišujeme tři druhy asymptot: 1) SVISLÉ – většinou v bodech vyloučených z definičního oboru (např. tangens), jsou vidět v grafu. 2) VODOROVNÉ – většinou u (zdola, shora) omezeného oboru hodnot. Jsou vidět v grafu nebo je určíme jako limitu v nevlastním bodě. 3) ŠIKMÉ – na rozdíl od předchozích dvou nemusí být vidět z grafu , počítáme je pomocí derivací. R

10) Šikmé asymptoty - návod BRVKA 10) Šikmé asymptoty - návod Vlevo jsou asymptoty, vpravo nikoliv, porovnejte grafy. Pokud najdeme asymptotu, musí to být z našeho grafu vidět. Asymptota je přímka, proto očekáváme předpis ve tvaru: y = Ax + B, koeficienty A a B musíme určit. Počítáme pro + ∞ a – ∞ zvlášť. Pokud limita neexistuje, není asymptota, pokud existuje, pokračujeme výpočtem B. Pokud neexistuje, není asymptota, pokud existuje, zapíšeme rovnici.

10) asymptoty - příklad Najděte všechny asymptoty funkce: BRVKA 10) asymptoty - příklad Najděte všechny asymptoty funkce: Všechny asymptoty budeme určovat početně (nemáme graf). Bod vyřazený z D(f) je 0. Určíme limitu v 0, protože se limity zleva a zprava mohou lišit, jednu si vybereme. V x = 0 je SVISLÁ asymptota. Počítáme limity pro + ∞ a – ∞ zvlášť. Pokud pro některou vyjde reálné číslo, máme vodorovnou asymptotu a šikmou už hledat nebudeme. Pokud vyjde něco jiného, hledáme šikmou asymptotu. V – ∞ je VODOROVNÁ asymptota y = 1. V ∞ není žádná asymptota.

Příklady k procvičení Najděte všechny asymptoty funkce: BRVKA Příklady k procvičení Najděte všechny asymptoty funkce: Najděte extrémy a intervaly monotonie:

BRVKA 11) graf Nakreslení grafu je zlatým hřebem programu, musíme do obrázku zapracovat všechny dříve zjištěné informace a naopak z něj nějaké nové informace získat. Je vhodné dopočítat si některé důležité hodnoty – např. průsečíky s osami, funkční hodnoty extrémů apod. Toto je typický výsledný graf. Musí z něj být vidět, kde je funkce konvexní nebo konkávní, kde má extrémy a především to musí být graf funkce – jednomu x je přiřazeno maximálně jedno y.

BRVKA Příklady k procvičení Vyšetřete průběhy funkcí:

BRVKA A to je pro dnešek vše, děkuji za pozornost.