Simultánní rovnice Tomáš Cahlík

Obsah Metoda nejmenších čtverců (OLS) Nestrannost OLS odhadové funkce Úvod Metoda nejmenších čtverců (OLS) Nestrannost OLS odhadové funkce Irelevantní a chybějící proměnné Rozptyl OLS estimátorů Gauss-Markovova (G-M) věta a vydatnost OLS estimátorů Shrnutí Doporučené samostudium

Úvod 3.6 Terminologie: Maticový zápis y: závislá proměnná, vysvětlovaná proměnná xi: nezávislé proměnné, vysvětlující proměnné, regresory u: náhodná složka, disturbance Beta0: intercept, úrovňová konstanta Maticový zápis

Úvod Příklad 1: 3.1 Příklad 2: 3.7 wage je mzda, educ je vzdělání (education), exper jsou zkušenosti (experience) (měřené délkou všech zaměstnání) u zahrnuje všechny další nepozorované faktory Příklad 2: 3.7 salary je plat, sales jsou tržby, ceoten je délka zaměstnání (tenure), u zahrnuje všechny další nepozorované faktory

Úvod Příklad 3: Problém C37 bwght je váha při narození (birth weight), cigs je počet vykouřenýxh cigaret, npvis je počet návštěv matky u lékaře (prenatal visits), u zahrnuje všechny další nepozorované faktory

Úvod Vícenásobná regresní analýza oproti jednoduché regresní analýze umožňuje: Lepší analýzu ceteris paribus, protože explicitně umožňuje kontrolovat ostatní faktory, které simultánně ovlivňují vysvětlovanou proměnnou Vytvořil lepší model pro predikci vysvětlované proměnné Zahrnout obecnější funkční formy

Metoda nejmenších čtverců (OLS) Princip zůstává stejný jako u jednoduché regrese Z maticového zápisu je jednoduché získat maticový zápis odhadové funkce koeficientů:

Metoda nejmenších čtverců (OLS) Příklad 1

Metoda nejmenších čtverců (OLS) Příklad 1

Metoda nejmenších čtverců (OLS) Příklad 2

Metoda nejmenších čtverců (OLS) Příklad 2

Metoda nejmenších čtverců (OLS) Příklad 2

Metoda nejmenších čtverců (OLS) Příklad 3

Nestrannost OLS odhadové funkce Všechny příklady v této prezentaci jsou na průřezová data. U průřezových dat obvykle předpokládáme: (Populační) model je lineární v parametrech Výběrový soubor o velikosti n je získán z populace náhodným výběrem Neexistuje perfektní kolinearita mezi regresory (U jednoduché regrese jsme měli formulaci: Výběrový rozptyl regresoru je větší než nula) Podmíněná střední hodnota náhodné složky je nula Podmíněný rozptyl náhodné složky je konstantní a konečný (tzv. homoskedasticita)

Nestrannost OLS odhadové funkce Pokud jsou splněny předpoklady 1 až 4, je vlastností OLS estimátoru nestrannost. Předpoklad 3 zakazuje pouze perfektní korelaci, ale umožňuje korelaci mezi regresory. Ta je naprosto běžná. Předpoklad 5 není pro nestrannost nutný

Irelevantní a chybějící proměnné Pokud zahrneme do modelu irelevantní proměnnou (přespecifikujeme model), nemá žádný efekt na nestrannost (očekávaná hodnota příslušného koeficientu je nula) Ale pozor, může mít efekt na rozptyl estimátorů) Pokud nezahrneme do modelu relevantní proměnnou (model podspecifikujeme), estimátory mohou být vychýlené Oboje jsou příklady chybné specifikace modelu

Irelevantní a chybějící proměnné Příklad misspecifikační analýzy: rovnice 3.40 Odchylka závisí na znaménku koeficientu beta2 a znaménku u korelace mezi regresory. Při stejných znaménkách je odchylka pozitivní, při rozdílných negativní. Pokud je koeficient či korelace nulová, odhad beta1 zůstává nestranný Př. 3.42 př. Str. 99 Když vynecháme abil, jsou vychýlené estimátory jak beta1 tak beta2, i když předpokládáme, že exper není korelováno s abil

Rozptyl OLS odhadové funkce Pokud jsou splněny předpoklady 1 až 5, jsou výběrové rozptyly estimátorů dány vztahem 3.51 Rozptyl každého parametru se zvyšuje s rozptylem náhodných složek a se zvyšující lineární závislosti mezi příslušnou proměnnou a ostatními regresory Rozptyl každého parametru se snižuje s výběrovým rozptylem příslušné proměnné Multikolinearita: vysoká korelace mezi dvěma či více vysvětlujícími proměnnými (je vlastností konkrétního výběru) 2.57, 2:58

Rozptyl OLS odhadové funkce Jednoduchá regrese je pouze speciální případ vícenásobné regrese vzorec Na čem závisí rozptyly estimátorů, je možné rozšifrovat i z maticového zápisu Co když model podspecifikujeme?

Rozptyl OLS odhadové funkce Pokud jsou splněny předpoklady 1 až 5, je nestranný estimátor rozptylu náhodné složky dán vztahem 3.56 Standardní chyba regrese SER (standard error of the regression) Standardní chyba odhadu

G-M věta a vydatnost OLS odhadové funkce Pokud jsou splněny předpoklady 1 až 5, jsou OLS estimátory betajse stříškou nejlepšími lineárními nestrannými odhady parametrů beta – BLUE (best linear unbiased estimator) Lineární znamená, že může být vyjádřen jako 3.59, což 3.22 splňuje Nejlepší znamená, že má mezi všemi lineárními nestrannými estimátory nejmenší rozptyl

Shrnutí Úvod - příklady Metoda nejmenších čtverců (OLS) Nestrannost OLS odhadové funkce Irelevantní a chybějící proměnné Rozptyl OLS estimátorů Gauss-Markovova (G-M) věta a vydatnost OLS estimátorů

Doporučené samostudium Ve skriptech „Základy ekonometrie v příkladech“ si prostudujte kap. 4.4 až 4.7 Na počítači se udělejte všechny regrese z této prezentace. Pak si přidávejte i jiné vysvětlující proměnné a dívejte se, co dělají standardní chyby a koeficienty determinace. (wage2, ceosal2, bwght2)