náhodný jev A E na statistickém experimentu E - je určen vybranou množinou výsledků experimentu: výsledku experimentu lze přiřadit číslo, náhodnou proměnnou x E - př. hrací kostka: experiment typu náhodný výběr, N je konečná - každý z výsledků experimentu je stejně pravděpodobný pravděpodobnost jevu A E na experimentu N: Náhodný jev, náhodná proměnná

experiment E jako spojení experimentů E i, pro nezávislé E i jsou nezávislé i pravděpodobnosti jevů na nich nezávislé opakování experimentu: relativní četnost jevu A: Klasická definice pravděpodobnosti: Nezávislé experimenty, pravděpodobnost

diskrétní náhodná proměnná Rozdělení pravděpodobnosti udává pravděpodobnost p i, že nastane výsledek x i Normalizační podmínka: Pravděpodobnost, že náhodná proměnná X bude nalezena v intervalu (0, x) Rozdělení pravděpodobnosti konečnánekonečná konečná F... distribuční funkce

Rovnoměrné rozdělení experiment typu náhodný výběr (každý jednotlivý výsledek je stejně pravděpodobný) s množinou výsledků: Rovnoměrné rozdělení pravděpodobnosti je dáno podmínkou: normovací podmínka: obecně pro interval : distribuční funkce: diskrétní náhodné veličiny

Momenty operátor střední (očekávané) hodnoty n-tý moment: n-tý centrální moment: 1. centrální moment 2. centrální moment - disperze, rozptyl, variance standardní odchylka:

Binomické rozdělení Pravděpodobnost jevu A na experimentu E je p. S jakou pravděpodobností se při n-násobném opakování experimentu jev A realizuje k-krát? normovací podmínka: střední hodnota: disperze: diskrétní náhodné veličiny

Binomické rozdělení příklad:p = 0,5 (např. házení mincí) n = 10: - stř. hodnota:E = 5 - disperze:V = 2,5 n = 20: - stř. hodnota:E = 10 - disperze:V = 5 n = 30: - stř. hodnota:E = 15 - disperze:V = 7,5 diskrétní náhodné veličiny

Poissonovo rozdělení diskrétní náhodné veličiny Studujeme jev A s pravděpodobností p a rozdělením B(n, p). Co se stane, když: Potom pravděpodobnost, že se A realizuje k-krát, lze vyjádřit: normovací podmínka: střední hodnota: disperze:

Poissonovo rozdělení příklad:  = 5: - stř. hodnota:E = 5 - disperze:V = 5  = 10: - stř. hodnota:E = 10 - disperze:V = 10  = 15: - stř. hodnota:E = 15 - disperze:V = 15 diskrétní náhodné veličiny

Poissonovo rozdělení srovnání binomické n.p = 5 Poissonovo  = 5 diskrétní náhodné veličiny

Poissonovo rozdělení diskrétní náhodné veličiny Alternativní odvození: Pravděpodobnost realizace na úseku (t, t+dt) je úměrná délce tohoto úseku, tj. ~ dt Pravděpodobnost realizace k-krát v intervalu (0, t) označíme P k (t). Pro k = 0 platí: Pro : Pro k = 1 platí: Obecně: Vede na rovnici, jejímž řešením je 0 tt+dt dtdt