Některá diskrétní a spojitá rozdělení náhodné veličiny. Diskrétní rozdělení. Alternativní rozdělení. Náhodná veličina může nabýt pouze 2 hodnot s pravděpodobnostmi p a (1-p). EX = p, var X = p (1 – p). Příklad. Hod kostkou. Náhodný jev w …“padne 6“, náhodná veličina X(w) = 1, X(w/) = 0 p(1) = 1/6, p(0) = 5/6. EX = p = 1/6, var X = p (1 – p) = 5/36.

Binomické rozdělení. Četnost jevu v n pokusech, výskyt tohoto jevu s pravděpodobností p. X (w) = k = 0, 1, 2, …, n , m = np, s2 = npq, kde q = 1-p Příklad. Pravděpodobnost, že náhodně vybrané jablko je červivé je p = 0.2. Nakreslete Pravděpodobnostní a distribuční funkci pro n = 100 jablek.

Náhodnou veličinu X s binomickým rozdělením s parametry n a p si můžeme představit jako součet n náhodných veličin Yn s alternativním rozdělením s parametrem p. Příklad. Pravděpodobnost, že náhodně vybrané jablko je zdravé je p = 0.8. Četnost červivých jablek v souboru s n jablky má binomické rozdělení s parametry p a n. Každé jablko je nezávisle náhodně vybráno a je buď červivé (1-p = 0.2), nebo zdravé (p = 0.8). Náhodná veličina Y „náhodně vybrané jablko je zdravé“ nabývá hodnoty 1 s pravděpodobností p, hodnoty 0 s pravděpodobností 1- p. V souboru rozsahu n je i jablek červivých, , kde pouze i náhodných proměnných Yk nabývá nenulové hodnoty.

Jevy „právě k pokusů z n je úspěšných, k = 0, 1, …, n se navzájem vylučují, jeden z nich však vždy nastane. Proto součet pravděpodobností těchto jevů je pravděpodobnost jevu jistého, neboli 1. Předpokládáme-li n nezávislých pokusů, z nichž každý skončí úspěchem s pravděpodobností p a neúspěchem s pravděpodobností 1 – p = q, pak

Poissonovo rozdělení. Četnost jevu v mnoha pokusech, výskyt tohoto jevu s malou pravděpodobností p. Toto rozdělení pravděpodobnosti, pojmenované podle francouzského matematika S. D. Poissona, mají náhodné proměnné, které popisují četnosti jevů s těmito vlastnostmi: to, že jev v daném intervalu (časovém, prostorovém) nastane (nenastane), nezávisí na tom co se stalo jindy nebo jinde, pro každý časový okamžik je pravděpodobnost jevu v malém časovém intervalu stejná (totéž platí v prostoru), neexistuje případ, že by nastaly dva jevy přesně v jednom časovém okamžiku nebo místě v prostoru. Průměrný počet výskytů zkoumaného jevu v daném úseku jednotkové délky označujeme l.

X (w) = k = 0, 1, 2, … , m = l, s2 = l Příklad. Telefonní ústředna zapojí během hodiny průměrně 40 hovorů. Nakreslete pravděpodobnostní křivku pro náhodnou veličinu X: “v k-té minutě spojí ústředna právě 1 hovor“, k = 0, 1, …, 60. m = l = 40,

Poznámka S rostoucí hodnotou l se toto rozdělení blíží k normálnímu rozdělení (viz. dále). Jestliže náhodná veličina má binomické rozdělení, pak tvar jejího rozložení se blíží k Poissonovu s parametrem l = n.p, jestliže n je velké a p se blíží k nule. Aproximativně můžeme tedy binomické rozdělení s velkým n a malou hodnotou p nahradit Poissonovým rozdělením. Součet nezávislých proměnných s Poissonovým rozdělením je opět rozdělen podle tohoto rozdělení. Jestliže máme n pozorování Poissonova rozdělení s parametrem l, pak součet pozorování je možné považovat za pozorování s Poissonovým rozdělením a parametrem nl. Příklad. Předpokládejme, že realitní makléř jedná v průměru s pěti zákazníky za den. Zjistěte jaká je pravděpodobnost, že počet zákazníků makléře za jeden den bude větší než 4. (Náhodná veličina X: počet zákazníků.) P(X > 4) = 1 – p(0) – p(1) – p(2) – p(3) – p(4) = 0.56

Hypergeometrické rozdělení. V souboru N výrobků je A zmetků. Ze souboru náhodně (nezávisle) vybereme n výrobků. Náhodná veličina “ve výběru je právě a zmetků“ má hypergeometrické Rozdělení. (n < N, a < A, A < N). , m = nA/N, Příklad. V souboru 100 výrobků je 10 zmetků. Ze souboru náhodně (nezávisle) vybereme 20 výrobků. Nakreslete rozdělení pravděpodobností náhodná veličiny “ve výběru je právě a zmetků“

Spojitá rozdělení. Rovnoměrné rozdělení na intervalu (a, b). f ( x ) = 1/(b-a), x(a, b), f ( x ) = 0 jinak , m = (a + b)/2, s2 = (b – a)2/12, a < b. Rovnoměrné rozdělení a = 0 se používá např. při modelování doby čekání na událost, která nastává v pravidelných intervalech délky b (čekání na událost zahajujeme v okamžiku, který je nezávislý na minulém ani budoucím výskytu události). Příklad. Trolejbusová linka číslo 3 odjíždí v dopoledních hodinách ze zastávky každých 10 minut. Vypočtěte pravděpodobnost, že na ni budete dopoledne čekat déle než 7 minut. Doba čekání je náhodná veličina X, která má rovnoměrné rozdělení pravděpodobnosti F(x) = x/10, x<0, 10>; F(x) = 0, x < 0; F(x) = 1, x > 10, P (x > 7) = 1 – p(0) – p(1) - … - p(7) = 1- 0.7 = 0.3

Exponenciální rozdělení. Toto rozdělení má spojitá náhodná veličina X, která představuje dobu čekání do nastoupení náhodného jevu, nebo délku intervalu (časového nebo délkového) mezi takovými dvěma jevy (např. doba čekání na obsluhu, vzdálenost mezi dvěma poškozenými místy na silnici). Závisí na parametru l, což je převrácená hodnota střední hodnoty doby čekání do nastoupení sledovaného jevu. Hustota rozdělení f je dána vztahem , f(x) = 0 jinak. Distribuční funkce F ( x ) = , F (x) = 0, x < 0.

Střední hodnota m = 1 / l, variance s2 = 1 / l2. Příklad. Doba čekání hosta na pivo je v restauraci průměrně 5 minut. Určete: a) hustotu pravděpodobnosti náhodné veličiny, která je dána dobou čekání na pivo b) pravděpodobnost, že budeme čekat na pivo déle než 12 minut c) dobu čekání, během které bude zákazník obsloužen s pravděpodobností 0.9 , f ( x ) = 0 jinak. P( X > 12) = 1 – (1 - )  0.0907 F(t) – F(0) = 1 - - 0 = 0.9 t  11 minut 30 sekund

Normální rozdělení se střední hodnotou m a variancí s2, N(m, s). , grafem je Gaussova křivka 3. centrální moment (šikmost) = 0, 4. centrální moment (špičatost) = 3. Pokud m = 0, a s2 = 1, mluvíme o normovaném normálním rozdělení N (0,1).

Pomocí křivky normálního rozdělení popsal v roce 1773 matematik Abraham de Moivre limitní chování binomického rozdělení, když se snažil aproximovat výpočty jednotlivých pravděpodobností binomického rozdělení pro velká n. Rozdělení, které Moivre pro tento účel navrhl, se nakonec ukázalo být důležitější než výchozí binomické rozdělení. V roce 1812 odvodil nezávisle na Moivreovi normální rozdělení francouzský matematik Pierre Laplace. Jak Laplace, tak Karl Friedrich Gauss prezentovali toto rozdělení jako zákon chyb a používali ho pro interpretaci astronomických a geodetických měření, výsledků hazardních her a přesnosti dělostřelecké střelby. Gama funkce: , a > 0 2 rozdělení o n stupních volnosti. , x > 0, m = n, s 2 = 2n

Studentovo t rozdělení o n stupních volnosti. , m = 0, s 2 = n/(n – 2)

Studentovo t rozdělení a c2 rozdělení se používají ve statistice. Normální rozdělení hraje v teorii pravděpodobnosti a matematické statistice Důležitou roli – viz další přednášky.

Motivace pro centrální limitní větu. Mějme náhodný výběr X1, …, Xn z rozdělení, které má parametry m, s2 (střední hodnota, variance). Pak náhodná veličina má střední hodnotu 0 a varianci 1. Mějme náhodné veličiny X1, …, Xn, se středními hodnotami m1, …, mn a variancemi s12, …, sn 2. Nechť Y je náhodná veličina se střední hodnotou mY a variancí sY2. Nechť a1, …, an jsou libovolná reálná čísla. Jestliže , pak a .

Centrální limitní věta. Nechť je výběrový průměr n-prvkového náhodného výběru se střední hodnotou a variancí s2. Pak náhodná veličina má rozdělení N(0, 1) pro n  +. Aproximace binomického binomického rozdělení normálním rozdělením. Binomické rozdělení X s parametry n, p má střední hodnotu m = np a variancí s2 = p(1-p) a lze ho napsat jako součet n náhodných veličin s alternativním rozdělením s parametrem p. Podle centrální limitní věty má náhodná veličina pro velká n rozdělení N(0,1). - V binomickém rozdělení je m = np, s 2 = np(1-p).

Dosadíme do předchozího vzorce: . Protože W  N(0, 1), můžeme X  Bi (p, n) aproximovat N (np, np(1-p)). Poznámka. Pro velké rozsahy výběru je možno náhodnou veličinu X s Poissonovým rozdělením s parametrem n = l (Po (l)) aproximovat N(l, l).