Generování náhodných veličin (2) Spojitá rozdělení

Spojitá rozdělení Spojitá rozdělení jsou charakterizována distribuční funkcí F(x) 0  F(x)  1 x (;) F(x) je neklesající hustotou pravděpodobnosti f(x) f(x) = dF(x)/dx a naopak

Spojitá rozdělení Rovnoměrné R(a,b) Exponenciální E(1/) Normální N(,2) Logaritmicko-normální LN(,2) Další rozdělení Obecné trojúhelníkové TRI(a,c,b) Lichoběžníkové, Gama, Beta, 2, t, …

1. Rovnoměrné rozdělení Náhodná veličina X má rovnoměrné rozdělení na intervalu (a,b), jestliže má hustotu pravděpodobnosti f(x): f(x) = 0 pro x<a a pro x>b f(x) = 1 / (b-a) (tj. v daném intervalu se vyskytuje se stejnou pravděpodobností) E(X) = (a+b)/2 D(X) = (b-a)2/12

1. Rovnoměrné rozdělení Generování: x = a + (b-a)r Příklad: doba čekání na metro (pokud přicházejí cestující náhodně a metro jezdí v pravidelných intervalech)

2. Exponenciální rozdělení Používáme: pokud je pravděpodobnost výskytu jevu během časového intervalu úměrná délce tohoto intervalu a nastoupení jevu je statisticky nezávislé na minulosti procesu f(x) = e- x pro >0, x>0 E(X) = 1/  D(X) = 1/ 2

2. Exponenciální rozdělení Generování - přes metodu inverzní transformace Příklad: doba mezi vstupy zákazníků do systému, doba životnosti výrobku

3. Normální rozdělení Parametry: ,  Lze převést na normované normální rozdělení N(0,1): pokud X má rozdělení N(, 2), pak Z = (X- )/ má rozdělení N(0,1) Tímto rozdělením se řídí např. náhodné chyby a veličiny, jejichž kolísání je způsobeno součtem velkého počtu vzájemně nezávislých a nepatrných jevů (výška populace). Lze jím dobře aproximovat i jiná rozdělení.

3. Normální rozdělení

3. Normální rozdělení Generování: Algoritmus vycházející z centrální limitní věty - součty n náhodných čísel (pro n alespoň 12 a vetší) je možno chápat jako hodnoty normálního rozdělení Box-Mullerova transformace Upravená Box-Mullerova transformace

4. Logaritmicko-normální rozdělení Vhodné pro jednostranně ohraničená data – např. fyzikální veličiny (teplota, tlak, hmotnost, objem, …)

4. Logaritmicko-normální rozdělení Generování: Nagenerujeme X z normálního rozdělení Pokud má X rozdělení N(,2), pak Z má rozdělení LN(,2 ), jestliže Z = ex

5. Další rozdělení a) Obecné trojúhelníkové b) Lichoběžníkové c) Gama a Erlangovo d) Beta e) 2 f) Studentovo t-rozdělení g) Weibullovo aj.