FII–9 Indukčnost. Energie magnetického pole. Střídavé proudy.

Hlavní body Přenos energie. Překonávání momentu síly a elektromotorického napětí, Foucaultovy proudy. Vlastní indukčnost. Střídavé proudy. Střední hodnoty Popis obvodů RLC pomocí komplexního aparátu.

Přenos energie Elektromagnetická indukce je základem výroby a přenosu elektrické energie. Výhoda je, že elektrická energie je výráběna v elektrárnách, efektivně a na vhodném místě a potom je relativně snadno přenášena na místo spotřeby, které může být značně vzdáleno. Princip lze ukázat na naší vodivé tyčce.

Pohyblivá vodivá tyč VIII Nejsou-li kolejnice propojeny, není pro pohyb tyčky třeba dodávat práci, protože po dosažení rovnovážného napětí , neteče proud. Kdyby ale tyčkou procházel dolů proud I, bude na ni působit síla směrem doleva v klidu i v pohybu, jak jsme již ukázali : F = BIL.

Pohyblivá vodivá tyč IX Když tyčkou pohybujeme a propojíme kolejnice rezistorem R, poteče proud daný Ohmovým zákonem I =  /R. V důsledku platnosti principu superpozice, působí na tyčku výše uvedená síla a pohybujeme-li tyčkou proti této síle rychlostí v, musíme dodat výkon : P = Fv = BILv =  I, který je přesně roven výkonu, jenž se na odporu R změní v teplo.

Překonávání momentu síly I Lze očekávat, že podobně jako je nutné překonávat sílu při translačním pohybu tyčky, je nutné při její rotaci překonávat moment síly. Můžeme to ukázat na otáčející se vodivé tyčce. Musíme změnit translační veličiny na rotační : P = Fv = T 

*Překonávání momentu síly II Ukažme nejprve, že prochází-li tyčkou délky L, která se může otáčet kolem jednoho svého konce v homogenním magnetickém poli o indukci B, proud I, působí na ni moment síly. Na každý kousek dr tyčky působí zřejmě síla. Pro určení momentu síly musíme vzít v úvahu také její vzdálenost od osy otáčení a tedy integrovat.integrovat

*Překonávání momentu síly III Otáčíme-li tyčkou a propojíme-li její konce rezistorem R, poteče proud I =  /R. V důsledku principu superpozice musíme tím pádem při rotaci překonávat moment síly. Rotujeme-li tyčkou s úhlovou rychlostí  musíme dodat výkon : P = T  = BIL 2  /2 =  I, který je opět roven výkonu, jenž se na rezistoru R změní v teplo.

Elektromotorické napětí I Z výše uvedeného vidíme, že rotační pohyb vede k obdobným závěrům jako translační. Proto se můžeme bez újmy na obecnosti vrátit k vodivé tyčce, pohybující se přímočaře po kolejnicích. Připojme nyní ke kolejnicím vnější zdroj. Poteče proud, daný napětím tohoto zdroje a rezistancí obvodu a na něm bude závislé síla, která bude na tyčku působit.

Elektromotorické napětí II Poté, co se dá tyčka do pohybu, objeví se v obvodu, stejně jako když tyčkou pohyboval vnější činitel, elektromotorické napětí. Jeho velikost závisí na dosažené rychlosti a jeho polarita je opačná k polaritě napětí zdroje, podle Lentzova zákona. Nazýváme ho elektromotorické proti napětí. Výsledný proud je superpozicí původního proudu a proudu způsobeného elektromotorickým proti napětím.

Elektromotorické napětí III Než se dá tyčka do pohybu, bude (rozběhový) proud největší I 0 = U/R. Za pohybu bude proud podle Kirchhoffova zákona dán : I = (U -  )/R = (U – vBL)/R Proud tedy zjevně závisí na rychlosti tyčky.

Elektromotorické napětí IV Kdyby tyčka nebyla nijak zatížena, zrychlovala by až do rovnováhy indukovaného napětí s napětím zdroje. V tomto momentě mizí proud a tedy i síla a tyčka se dále pohybuje rovnoměrně. Nyní také snadno rozumíme tomu, proč se přetížený motor, když se příliš zpomalí, může spálit, příliš velkým proudem.

*Foucaultovy proudy I Zatím jsme uvažovali jednorozměrnou tyčku zcela ponořenou do homogenního magnetického pole. Je-li ale vodič třírozměrný a není úplně ponořen nebo pole není homogenní, objevuje se nový jev, zvaný Foulcautovy proudy.

*Foucaultovy proudy II Novým jvem je, že indukované proudy nyní tečou uvnitř vodiče. Způsobují síly, které kladou odpor pohybu. Ten je buď tlumen nebo musí být dodáván výkon k jeho udržení. Foucaultovy proudy mohou být využity například k plynulému brždění některých pohybů.

*Foucaultovy proudy III Foucaultovy proudy způsobují vyvíjení tepla, takže jsou zdrojem ztrát výkonu. Proto mosí být maximálně eliminovány speciální konstrukcí jader elektromotorů a transformátorů. Využívá se například konstrukce z navzájem izolovaných plechů.

Vlastní indukčnost I Viděli jsme, že po připojení volné vodivé tyčky, ponořené do magnetického pole, se objevuje elektromotorické napětí, které má opačnou polaritu než napět budící. Dokonce i kousek vodiče bez vnějšího magnetického pole se bude chovat kvalitativně stejně.

Vlastní indukčnost II Máme-li takový vodič, kterým již protéká jistý proud, je vlastně ponořen ponořen do magnetického pole generovaného tímto proudem. Chceme-li v tomo okamžiku změnit proud, musíme změnit magnetické pole a tím i magnetický tok a objevuje se elektromotorické napětí, způsobující proud jehož účinky působí proti této změně.

Vlastní indukčnost III Lze očekávat, že elektromotorické napětí indukované v tomto případě závisí na: geometrii vodiče a vlastnostech okolního prostoru rychlosti změny proudu Bývá zvykem tyto jevy oddělit a první skupinu zahrnout do veličiny zvané (vlastní) indukčnost L.

Vlastní indukčnost IV Potom můžeme zákon indukce jednoduše psát :  = - L dI/dt Jsme v obdobné situaci jako jsme byli v elektrostatice. Tam jsme používali kondenzátory, abychom vytvořili elektrické pole v určitém prostoru. Nyní používáme cívky, abychom vytvořili pole magnetické. Cívky maji obvykle tvar solenoidu nebo toroidu.

Vlastní indukčnost V Máme-li solenoid s N závity, jimiž prochází magnetický tok , můžeme popsat indukčnost a elektromotorické napětí jako: L = N  /I  = - N d  /dt = - L dI/dt Jednotkou indukčnosti je 1 henry 1H = Vs/A = Tm 2 /A (Tm 2 = 1 Wb)

Vlastní indukčnost VI Magnetický tok závity závisí na proudu a geometrii. V případě solenoidu délky l a průřezu S a materiálu s relativní permeabilitou  r platí: L =  r  0 N 2 S /l V elektronice a elektrotechnice se používají součástky, jejichž funkcí je mít indukčnost – cívky.

Transformátor I Transformátor je zařízení, ve kterém sdílí dvě nebo více cívek stejný magetický tok. Cívka, ke ktreré je připojeno vstupní napětí a která tedy tok vytváří, se nazývá primární. Ostatní jsou sekundární. Transformátory se užívají hlavně k převodu napětí a k přizpůsobení vnitřního odporu.

Transformátor II Ilustrujme princip funkce transformátoru na jednoduchém typu se dvěma cívkami, majícími N 1 a N 2 závitů. Předpokládejme, že sekundární cívkou teče zanedbatelný proud. Každým závitem každé cívky prochází stejný tok a indukuje se na něm elektromotorické napětí  1 :  1 = - d  /dt

Transformátor III Připojíme-li k primární cívce napětí U, bude magnetizace jádra růst do doby, než se indukované elektromotorické napětí vyrovná napětí vstupnímu: U 1 = N 1  1 Napětí na sekundárním vinutí je také úměrné počtu závitů: U 2 = N 2  1

Transformátor IV Takže napětí v obou cívkách jsou úměrná počtu jejich závitů : U 1 /N 1 = U 2 /N 2 Obtížnější případ je porozumět funkci transformátoru, když je zatížen a velmi obtížné je navrhnout dobrý transformátor s velkou účinností, která se blíží 1.

Transformátor V Předpokládejme, že máme transformátor s účinností blízkou 1. Lze ukázat, že proudy cívkami jsou nepřímo úměrné počtu závitů a vnitřní odpory jsou úměrné jejich čtverci. P = U 1 I 1 = U 2 N 1 I 1 /N 2 = U 2 I 2 I 1 N 1 = I 2 N 2 R 1 /N 1 2 = R 2 /N 2 2

Energie magnetického pole I Indukčnost klade odpor změnám protékajícího proudu. Znamená to, že k dosažení určitého proudu, je potřeba vykonat jistou práci. Tato práce se přemění do potenciální energie magnetického pole, které nám ji vrací, když proud snižujeme. Protéká-li cívkou proud I, který chceme zvětšit, musíme dodat výkon, úměrný změně proudu, které chceme dosáhnout.

Energie magnetického pole II Jinými slovy musíme konat práci určitou rychlostí, abychom byli schopni posunavat náboji proti poli indukovaného elektromotorického napětí : P = I  = ILdI/dt  dW = Pdt = LIdI Abychom našli práci potřebnou k dosažení proudu I, musíme integrovat : W = LI 2 /2

Hustota energie magnetického pole I Podobně, jako tomu bylo u nabitého kondenzátoru, i zde je energie obsažena v poli, nyní samozřejmě magnetickém. Jeho hustotu lze jednoduše vyjádřit u homogenního pole dlouhého solenoidu : Známe vztahy pro indukčnost L a indukci B L =  0 N 2 S/l B =  0 NI/l  I = Bl/  0 N

Hustota energie magnetického pole II Protože Sl je objem solenoidu, kde lze očekávat rozprostřenou většinu energie, můžeme ½ B 2 /  0 přiřadit hustotě energie magnetického pole. Tento výraz platí i obecně.

*RC, RL, LC and RLC Circuits Často je nutné najít, jak závisí hodnoty veličin při změnách na čase. Například při nabíjení a vybíjení kondenzátoru nebo cívky. U obvodů LC se objevuje nový jev oscilace.

Obvod RC I Mějme kondenzátor C nabitý na napětí U c0 a začněme ho vybíjer v čase t = 0 přes rezistor R. V každém okamžiku je kondenzátor zdrojem v obvodu a platí Ohmův zákon : I(t) = U c (t)/R To vede na diferenciální rovnici.diferenciální

Obvod RC II Všechny veličiny Q, U a I exponenciálně klesají s časovou konstantou . *Připojme stejný kondenzátor a rezistor ke zdroji s napětím V 0. V každém okamžiku platí podle Kirchfoffova zákona: I(t)R + V c (t) = V 0 což vede na poněkud složitější diferenciální rovnici.diferenciální

Obvod RC III Nyní Q a U rostou exponenciálně do saturace a proud klesá exponenciálně jako v předchozím případě. Vše probíhá s časovou konstantnou .

Harmonický střídavý proud Prakticky důležitý je střídavý proud harmonického průběhu. Jeho proud a napětí lze vyjádřit jako goniometricou nebo-li harmonickou [sin(  ), cos(  ) exp(i  )] funkci času : U(t)=U 0 sin(  t +  ) I(t)=I 0 sin(  t +  )

Střední hodnota I Střední hodnota časově proměnné funkce f(t) je konstantní hodnota, která má během jistého času  stejné integrální účinky jako časově proměnná funkce.integrální Například střední proud je stejnosměrný proud, který by přenesl za dobu  stejný náboj jako proud střídavý.proud

Efektivní hodnoty I Při studiu obvodů střídavého proudu je potřeba ještě jeden druh středních hodnot: protéká-li střídavý proud rezistorem, dochází k tepelným ztrátám bez ohledu na jeho směr, protože tyto jsou úměrné čtverci proudu.

Efektivní hodnoty II Efektivní hodnota f rms časově proměnné funkce f(t) je konstantní hodnota, která má za jistou dobu  stejné tepelné účinky jako časově proměnná funkce.tepelné Budeme například napájet žárovku jistým časově proměnným proudem I(t). Potom, když teče žárovkou stejnosměrný proud o efektivní hodnotě I rms, bude žárovka zářit se stejným jasem.jasem

Obecné střídavé obvody I Komplexní aparát : Popisuje napětí U, proudy I, impedance Z a admitance Y = 1/Z pomocí komplexních čísel. Pootm platí obecný komplexní tvar Ohmova zákona : U = ZI Seriová kombinace : Z s = Z 1 + Z 2 + … Paralelní kombinace : Y p = Y 1 + Y 2 + …

Obecné střídavé obvody II Tabulka komplexních impedancí a admitancí. j je imaginární jednotka j 2 = -1: R: Z R = RY R = 1/R L:Z L = j  L Y L = -j/  L C:Z C = -j/  C Y C = j  C

RC seriově Ilustrujme použití aparátu na seriové kombinaci RC : Proud I, společný pro oba R a C, považujeme za reálný. Z = Z R + Z C = R – j/  C |Z| = (ZZ*) 1/2 = (R 2 + 1/  2 C 2 ) 1/2 tg  = –1/  RC < 0 … kapacitní

RLC seriově I Mějme R, L a C zapojené do serie: Proud I, společný všem R, L, C opět považujme za reálný. Z = Z R + Z C + Z L = R + j(  L - 1/  C) |Z| = (R 2 + (  L - 1/  C) 2 ) 1/2 Obvod bude mít buď charakter indukčnosti :  L > 1/  C …  > 0 nebo kapacity :  L < 1/  C …  < 0

RLC seriově II Nový jev resonance nastává když :  L = 1/  C   2 = 1/LC Při této podmínce totiž mizí imaginární část a obvod se chová jako čistá rezistance : Z, U mají minimum, I maximum Rezonanci lze naladit změnou L, C nebo f !

*RLC in Parallel I Let’s have a R, L and C in parallel: Let now V, common for all R, L, C be real. Y = Y R + Y C + Y L = 1/R + j(  C - 1/  L) |Y| = (1/R 2 + (  C - 1/  L) 2 ) 1/2 The circuit can be either inductance-like if:  L > 1/  C …  > 0 or capacitance-like:  L < 1/  C …  < 0

*RLC in Parallel II Again the effect of resonance takes place when the same condition is fulfilled:  L = 1/  C   2 = 1/LC Then the imaginary parts cancel and the whole circuit behaves as a pure resistance: Y, I have minimum, Z,V have maximum It can be reached by tuning L, C or f !

Resonance General description of the resonance: If we need to feed some system capable of oscillating on its frequency  0 then we do it most effectively if our frequency  matches the  0 and we are in phase. Good mechanical example a swing. The principle is used in e.g. in tuning circuits of receivers.

Rotating Conductive Rod Torque on a piece dr which is in a distance r from the center of rotation of a conductive rod L with a current I in magnetic field B is: ^ The total torque is:

RC Circuit I We use definition of the current I = dQ/dt and relation of the charge and voltage on a capacitor V c = Q(t)/C: The minus sign reflects the fact that the capacitor is being discharged. This homogeneous differential equation can be easily solved by separating the variables.

RC Circuit II We have defined a time-constant  = RC. We can integrate both sides of the equation: The integration constant can be found from the boundary conditions Q 0 = CV c0 :

RC Circuit III By dividing this by C and then by R we get the time dependence of the voltage on the capacitor and the current in the circuit.: ^

RC Circuit IV We again substitute for the current and the voltage and reorganize a little: We get a similar equation for the charge on the capacitor but it doesn’t have zero on the right side. We can solve it by solving first a homogeneous equation and then adding one particular solution e.g. Q k = CV 0 (final Q)

RC Circuit V Since we have already solved the homogeneous equation in the previous case, we can write: The integration constant we again get from the initial condition Q(0) = 0  Q 0 = -CV 0.

RC Circuit VI By dividing this by C we get the time dependence of the voltage on the capacitor:

RC Circuit VII To get the current we have to calculate the time derivative of the charge: ^

The Mean Value I has the same integral as f(t) over some time interval  : ^ Often we are interested in mean of a periodic function over a long time. Then we choose as representative time the period  = T.

The Mean Value II would transport the same charge as I(t) over some time  : ^ The result of the integration is, of course, a charge since I = dQ/dt. When divided by  it gives a mean current over  :

The Root Mean Square I f rms has the same thermal effect as f(t) over some time interval  : ^ For a long-time rms, we again choose a representative time interval  = T (or T/2).

The Root Mean Square II I rms has the same thermal effect as I(t) over some time interval  : ^ Brightness of a bulb corresponds to the temperature i.e. thermal losses.

The Mean Value III Let I(t) = I 0 sin(  t) and representative  = T: Since the value of cos for the boundaries is the same.

The Mean Value IV If I(t) was rectified it would be I(t) = I 0 sin(  t) for 0 < t < T/2 and I(t) = 0 for T/2 < t < T: ^ Since now cos(  T/2) – cos(0) = -2 !

The Root Mean Square III Let I(t) = I 0 sin(  t) and representative  = T: ^

The Mean Value V ^ Since now cos(  T/2) – cos(0) = -2 !