Petr Beremlijski a Marta Jarošová Projekt SPOMECH Vysoká škola báňská – Technická univerzita Ostrava září Základy matematického modelování Proč je třeba rozumět matematice?

Proč je třeba rozumět matematice a co na to Simpsonovi? Co je to matematické modelování? Proč je dobré umět nalézt minimum funkce a jak to udělat? Jednoduchá úloha – jaký je rovnovážný stav kuličky na pružině? Jak vyřešit složitou úlohu? Osnova přednášky:

Proč je třeba rozumět matematice a co na to Simpsonovi?

Reálný problém Matematický model Numerická úloha Numerické řešení úlohy Co je to matematické modelování?

Strunné nástroje Rovnice struny Diskretizovaná rovnice struny Aproximace průhybu struny Diskretizace geometrie úlohy – metoda sítí Řešení lineární soustavy rovnic – Gaussova eliminace nebo iterační metoda Lineární model Co je to matematické modelování?

Strunné nástroje Rovnice struny Diskretizovaná rovnice struny Aproximace průhybu struny Co je to matematické modelování?

 Chyba matematického modelu  Chyba metody  Chyba aproximace  Chyby v kódu algoritmu  Chyby ve vstupních datech  Zaokrouhlovací chyby, chyby zápisu čísla v počítači Co je to matematické modelování?

Hledejme lokální minima funkce f(x): Jak nalézt minimum funkce?

Hledejme globální minimum funkce f(x) na množině  : Jak nalézt minimum funkce s omezením?

Trochu historie: první optimalizační úlohy – Didó (založení Kartága př. n. l.) O stereometrii vinných sudů (1615)– Kepler ( ) lokalizace extrému – Fermat ( ) diferenciální kalkul - popis minima funkce – Newton ( ), Leibniz ( ) jiné diferenciální kalkuly - popis minima „škaredé“ funkce (tj. funkce, která nemá v některém bodě derivaci) – Clarke Jak nalézt minimum funkce?

Dva přístupy: 1. Analytický přístup (hledáme body x, pro které platí ) 2. Numerický přístup (hledáme body x, pro které platí nebo hledáme „přímo“ extrém) Jak nalézt minimum funkce?

Hledáme body x, pro které platí Newtonova metoda Hledáme „přímo“ extrém Bisekce, spádové metody _metody_optimalizace.html _metody_optimalizace.html Jak nalézt minimum funkce – numerický přístup?

Dva přístupy: 1. Analytický přístup (hledáme „podezřelé“ body – lokální minima uvnitř  nebo krajní hodnoty) 2. Numerický přístup (použijeme některý z klasických postupů, ale tak abychom zůstali v  ) Jak nalézt minimum funkce s omezením?

Možné řešení: Převedeme úlohu s omezením na úlohu bez omezení pomocí penalty  Jak nalézt minimum funkce s omezením –numerický přístup?

Jaký je rovnovážný stav kuličky na pružině? kulička o hmotnosti m

Řešení: m=1x 1 =0, x 2 =-0.5 m=2 x 1 =0, x 2 =-1 m=3 x 1 =0.25, x 2 =-1.25 m=4 x 1 =0.5, x 2 =-1.5 m=5 x 1 =1, x 2 =-2 m=10 x 1 =1, x 2 =-2 Jaký je rovnovážný stav kuličky na pružině?

Paralelní řešení Jak vyřešit složitou úlohu?

Paralelní řešení Jak vyřešit složitou úlohu?

Paralelní řešení Jak vyřešit složitou úlohu?

Děkuji za pozornost a přeji pěkný den!