Co je diferenciální počet? Jedna z nejjednodušších základních definic ve fyzice je zavedení průměrné rychlosti : Zavést rychlost okamžitou je ale mnohem těžší. Jak na to? Pro projekt „Cesta k vědě“ (veda.gymjs.net) vytvořil V. Pospíšil (gdermog@seznam.cz). Modifikace a šíření dokumentu podléhá licenci CC-BY-SA. Evropský sociální fond Praha & EU: Investujeme do vaší budoucnosti

Co je diferenciální počet? Zjednodušme si život uvažováním pouze přímočarého pohybu (resp. pohybu pouze v jedné souřadné ose – složce vektoru). Potom dostaneme průměrnou rychlost vztahem : O přesné rychlosti v obou bodech či mezi nimi toho ale mnoho nevíme. Trochu si pomůžeme, dáme-li body blíže k sobě: Tím jsme odhad okamžité rychlosti v bodě s1 trochu zlepšili, ale ne o moc.

Co je diferenciální počet? Můžeme obě polohy přiblížit ještě více a ještě více a tak odhad dále zpřesňovat. Ovšem nelze dát oba body na trajektorii totožné, neboť bychom dělili nulou. Jak z toho tedy vybruslit?

Definice okamžité rychlosti Okamžitá rychlost je definována jako limita Tato definice má smysl, neboť z matematického hlediska je poloha tělesa funkce času. Funkce je spojitá a nemá ostré zlomy (Newtonova mechanika nepočítá s transportními paprsky ze Star Treku ani s nekonečně velkými zrychleními) a tato limita musí vždy existovat. Limita typu se nazývá derivace a má mnoho praktických aplikací, zejména ve fyzice a technice (pro obecné funkce samozřejmě existovat nemusí).

Směrnice tečny Mějme funkci y = f(x) a zkonstruujme k ní tečnu v bodě x = 8. Jak na to? Tečna je přímka, jež lze zapsat ve směrnicovém tvaru jako p(x) = k.x + q . Zkonstruovat tečnu tedy znamená určit koeficienty k a q. Pokud zjistíme k (směrnici, koeficient udává sklon), q snadno dopočítáme, neboť p musí procházet bodem [ 8, f(8) ]. Jak na to, když druhý bod neznáme?

Směrnice tečny [x1,y1] [x2,y2] Δx = x2 – x1 Δy = y2 – y1 k = tg α α

Směrnice tečny

Směrnice tečny, derivace Vidíme, že směrnici tečny lze zapsat jako Buď f reálná funkce jedné reálné proměnné. Říkáme, že funkce f má v bodě x0 derivaci c, právě když existuje limita Definice 68. Pak značíme

Diferenciál Lineární zobrazení df : R -> R ve tvaru Definice 69. kde k = f ’(x0) je derivace v bodě x0, nazýváme diferenciál funkce f v bodě x0. Diferenciál vyjadřuje přírůstek funkce v těsném okolí bodu . Pozor – diferenciál není přímo ta tečná přímka. Je to vlast-ně přímka, která je s tečnou rovnoběžná, ale prochází počátkem. Na rozdíl od tečné přímky je diferenciál lineární zobrazení ve všech aspektech této definice (viz. přednášky z lineární algebry). Na „nekonečně malém“ okolí diferenciál roste stejně jako funkce, tj. přírůstek funkce pro ξ -> 0 můžeme vyjádřit jako V limitně nulovém (infinitezimálním) okolí se tedy jakákoliv diferencova-telná funkce chová jako přímka.

K čemu je derivace? Derivace udává sklon tečné přímky (resp. diferenciálu). Čím vyšší je sklon, tím větší je k. Zde je evidentně k1 > k2, modrá křivka tedy v těsném okolí bodu 6 roste rychleji, než zelená křivka. Derivace je tedy jakousi mírou „rychlosti růstu“ funkce v daném bodě.

K čemu je derivace? V bodech, kde se funkce „překlápí“ z růstu do klesání, tj. v lokálních extrémech je derivace nulová (tečná přímka je konstantní). Dokážeme-li tedy snadno určit derivaci funkce v libo-volném bodě, známe polohy všech lokálních extrémů – jsou jimi některá řešení rovnice f ’(x) = 0. Mohou ale existovat i taková řešení této rovnice, která lokálními extrémy nejsou!

Výpočet derivace Pokud známe derivaci funkce v každém jejím bodě, máme definovanou novou funkci: Výpočet derivace jako funkce spočívá ve vyjádření této (resp. definiční) limity pro každý bod x z Df. Pro všechny elementární funkce je nutné tento úkon provést zvlášť. Zde příklad pro f(x) = x2 : Tedy (x2)’ = 2x. Parabola tedy zrychluje svůj růst úměrně s 2x.

Výpočet derivace Vztah mezi grafem funkce a její derivace lze demonstrovat na předchozím příkladu. Tam, kde funkce klesá, je derivace záporná. Tam, kde funkce roste, je derivace kladná. V místě lokálních extrémů je derivace nulová. x2 2x

Derivace elementárních funkcí

Výpočty derivací Buďte f a g reálné funkce jedné reálné proměnné, které mají derivace v bodě x0. Potom platí následující rovnosti: Věta 28.

Výpočty derivací Buďte f a g reálné funkce jedné reálné proměnné s definičními obory Df a Dg a nechť Věta 29. Potom pro derivaci složené funkce platí Příklad Spočítejte derivace a zjistěte polohu lokálních extrémů funkcí

Derivace vyšších řádů Jelikož derivaci lze interpretovat jako funkci, je možné provést tzv. druhou derivaci – tedy výslednou funkci poderivovat ještě jednou. Stejným způsobem lze získat i derivace vyšších řádů. Derivace vyšších řádů se značí příslušným počtem čárek, tedy f, f ’, f ’’, f ’’’ atd., vyšší derivace pak číslem v závorce, např. f (6), f(45). Příklad Spočítejte druhé derivace funkcí Příklad Spočítejte obecně n-té derivace funkcí

L’ Hospitalovo pravidlo Buďte f a g reálné funkce jedné reálné proměnné, jež mají v nějakém prstencovém okolí bodu a konečné derivace (prstencové okolí bodu a je Ha – {a}). Předpokládejme dále, že Věta 30. nebo a navíc na Ha - {a} je g nenulová. Potom platí Příklad Ukažte, že následující limity jsou a/b, 0, 1/2, e1/6 :

Úlohy o maximalizaci a minimalizaci Příklad Určete obdélník pevně daného obsahu S, který má nejmenší obvod. Příklad Do elipsy vepište obdélník, jehož strany jsou rovnoběžné s osami elipsy a který má největší možný obsah. Příklad V jaké výšce nad středem kruhového stolu o poloměru a je třeba umístit svítidlo, aby osvětlení okrajů stolu bylo maximálně jasné? Jas osvětlení je dán vzorcem kde φ je úhel sklonu paprsků, r vzdálenost zdroje od odvětlovaného místa a k svítivost zdroje.

Vyšetřování průběhů funkcí Předpokládejme, že nepřítel nám zadal funkci a chce po nás, abychom mu nakreslili její graf bez pomoci výpočetní techniky. Jak na to? Budeme postupovat podle následujícího seznamu úkonů: Určíme definiční obor funkce a také obor hodnot, je-li to možné. Tím si vymezíme prostor, kde se graf funkce bude nacházet. V bodech, kde je ve funkci dělení nulou, naznačíme tzv. svislé asymptoty – k těmto svislým přímkám se funkce bude limitně blížit. Spočítáme limity funkce v nekonečnech a nevlastních bodech zleva a zprava. Získáme tak hrubou představu o tom, jak se graf chová „nalevo“ a „napravo“ od papíru, na který kreslíme a jestli u svislých asymptot půjde nahoru nebo dolu. Spočítáme asymptoty – přímky, ke kterým se funkce bude blížit v nekonečnech. Pomocí první derivace určíme polohu lokálních extrémů funkce a intervaly, ve kterých funkce klesá a roste. Pomocí druhé derivace určíme polohu inflexních bodů a intervaly, ve kterých je funkce konvexní a konkávní. Načrtneme graf.

Vyšetřování průběhů funkcí Příklad Načrtněte graf funkce Určíme definiční obor funkce. Spočítáme limity funkce v nekonečnech. Získáme tak hrubou představu o tom, jak se graf chová „nalevo“ a „napravo“ od papíru, na který kreslíme. Tj. „vlevo“ jde funkce dolů, „vpravo“ nahoru, u svislé čáry zleva i zprava k +∞.

Vyšetřování průběhů funkcí Co zatím víme:

Vyšetřování průběhů funkcí Spočítáme asymptoty – přímky, ke kterým se funkce bude blížit v nekonečnech. Asymptota je přímka, která se v limitě v nekonečnech chová stejně jako funkce (viz obrázek). Defi-novat jí lze pomocí limity – je-li pak přímka a(x) = kx+q je asymptota v plus resp. minus nekonečnu. Koeficienty asymptoty k a q lze spočítat postupně pomocí limit Důkaz pro toto tvrzení je velmi snadný, rozmyslete si jej sami.

Vyšetřování průběhů funkcí Spočítáme asymptoty – přímky, ke kterým se funkce bude blížit v nekonečnech. Asymptoty v plus i mínus nekonečnu jsou shodné, je jimi přímka

Vyšetřování průběhů funkcí Co zatím víme: Ale je to opravdu tak, že se funkce k asymptotě blíží jen shora? To je třeba ověřit, pokud je to možné.

Vyšetřování průběhů funkcí Ověřme, zda je funkce v okol nekonečen větší či menší než asymptota, pokud je možné to snadno rozhodnout.

Vyšetřování průběhů funkcí Co zatím víme:

Vyšetřování průběhů funkcí Pomocí první derivace určíme polohu lokálních extrémů funkce a intervaly, ve kterých funkce klesá a roste. plato minimum roste roste roste klesá -1 1 5

Vyšetřování průběhů funkcí Co zatím víme:

Vyšetřování průběhů funkcí Pomocí druhé derivace určíme polohu inflexních bodů a intervaly, ve kterých je funkce konvexní a konkávní. konvexní funkce křivka je „nad“ tečnou konkávní funkce křivka je „pod“ tečnou konvexní na ex Funkce je konvexní, pokud Funkce je konkávní, pokud Tam, kde platí má funkce tzv. inflexní bod.

Vyšetřování průběhů funkcí

Vyšetřování průběhů funkcí Teď už víme vše, náčrtek vypadá takto:

Vyšetřování průběhů funkcí Graf vykreslený počítačem

Rozvoj funkce do Taylorovy řady Mějme funkci spojitou na Ha, leč komplikovanou. Může být výhodné ji aproximovat nějakou jednodušší – nejlépe polynomem. Tento polynom by měl mít podobné vlastnosti – růst (klesat) tam, kde roste (klesá) původní funkce, být konvexní (konkávní) tam, kde původní funkce a tak podobně. To můžeme dosáhnout tak, že zvolíme polynom, který má v bodě a shodných několik derivací s původní funkcí. -π π 1 -1 π/2 -π/2

Rozvoj funkce do Taylorovy řady Buď f reálná funkce, jež má v bodě a konečnou n-tou derivaci. Pak existuje právě jeden polynom Tn stupně nejvýše n, pro který platí Věta 31. Nultou derivací se rozumí původní funkce. Polynom Tn má tvar Polynom nazýváme Taylorův. Důkaz : Vezměme nějaký obecný polynom ve tvaru Zde a reprezentuje posun po ose x od počátku souřadnic k bodu a. Budeme-li jej derivovat, jednotlivé členy postupně zmizí.

Rozvoj funkce do Taylorovy řady Důkaz : Vezměme nějaký obecný polynom ve tvaru Zde a reprezentuje posun po ose x od počátku souřadnic k bodu a. Budeme-li jej derivovat, jednotlivé členy postupně zmizí.

Rozvoj funkce do Taylorovy řady Nás především zajímá, jak vypadá polynom v bodě a. Hodnota závorky (x - a)j-k je zde nulová až na člen, ve kterém j=k. V tomto členu je hodnota závorky 1. V tomtéž členu se pak nutně musí z ostatního „hebdí“ stát k! a koeficient aj = ak. Proto Polynom ovšem konstruujeme tak, aby jeho derivace v bodě a byly shodné s derivacemi funkce v bodě a a tedy Z podmínky na rovnost derivací jsme tedy opravdu získali polynom ve tvaru Q.E.D.

Rozvoj funkce do Taylorovy řady Definice 70. Označme si pro x z Ha Rn zde představuje chybu v aproximaci – rozdíl f(x) a Tn(x) v daném bodě. Identita se nazývá Taylorův vzorec (rozvoj) funkce f v bodě a. Rn se pak nazývá zbytek v Taylorově vzorci. Pozn. : lze dokázat, že Taylorův polynom n-tého stupně je nejlepší možná aproximace funkce f(x), tj. že pro libovolný jiný polynom stupně n by zbytek Tn je v každém bodě Ha v absolutní hodnotě větší.

Rozvoj funkce do Taylorovy řady Příklad Rozviňte do Taylorovy řady funkci f(x) = ex v bodě a = 0. Zkonstruujme pro funkci f obecnou n-tou derivaci. To je snadné: Nyní ji vyčísleme v bodě a = 0: Derivaci dosaďme do vzorce: Lze dokázat, je to však složité.

Rozvoj funkce do Taylorovy řady Příklad Rozviňte do Taylorovy řady funkce sin x a cos x v bodě a = 0. Zkonstruujme pro funkcei obecnou n-tou derivaci v bodě a = 0: Z tabulky je vidět, že derivace se opakují a Taylorovy polynomy budou vykazovat jistou pravidelnost. Předně v rozvoji pro sinus budou jen liché členy, zatímco v rozvoji pro cosinus pouze sudé (pozn.: to souvisí i s tím, že sinus je funkce lichá a cosinus sudá).

Rozvoj funkce do Taylorovy řady

Rozvoj funkce do Taylorovy řady Příklad Rozviňte do Taylorovy řady funkci ln( 1 + x ) v bodě a = 0.

Shrnutí Co je diferenciální počet Diferenciál Použití derivací Definice derivace (fyzikální a matematický pohled) Diferenciál Použití derivací Výpočet derivací Derivace vyšších řádů l’Hospitalovo pravidlo Úlohy o maximalizaci a minimalizaci Vyšetřování průběhu funkcí Rozvoj funkce do Taylorova polynomu