Základy ekonometrie Cvičení 2 27. září 2010

Metodologický postup Specifikace modelu Odhad parametrů (tj. kvantifikace) Verifikace Využití

1. Specifikace modelu určení proměnných určení vzájemných vazeb mezi proměnnými formulace hypotéz – v podobě algebraických vztahů (tj. jedné či více rovnic) specifikace náhodných vlivů

2. Odhad parametrů využití disponibilní (tj. výběrové) informace z dat použití vhodné odhadové techniky

3. Verifikace aneb jak se odhadnutý model shoduje s teorií a napozorovanými daty ekonomická (jestli proměnné modelu mají správný směr a intenzitu) statistická (ověření přesnosti a významnosti výsledků) ekonometrická (zda byly dodrženy podmínky pro použití dané odhadové techniky a statistických testů)

4. Využití Kvalitativní a kvantitativní analýza minulého vývoje Předpovědi (predikce, prognózy) Volba hospodářské politiky analýza různých scénářů simulační experimenty

SPECIFIKACE MODELU Ekonomický model Ekonomicko-matematický model Stanovení základní hypotézy (tj. které proměnné použijeme, jak budou působit, jejich intenzita, apod.) Slovní vyjádření Ekonomicko-matematický model převedení slovního vyjádření do podoby jedné rovnice (jednorovnicový model) soustavy rovnic (vícerovnicový model) Ekonometrický model zahrnutí faktoru nejistoty v podobě náhodné složky

Druhy proměnných v modelu I Endogenní tj. vysvětlované, závisle proměnné hodnoty jsou generovány systémem či modelem Exogenní tj. vysvětlující, nezávisle proměnné působí na zkoumaný systém, samy systémem nejsou ovlivňovány jejich hodnoty jsou determinovány mimo systém

Druhy proměnných v modelu II Nezpožděné endogenní proměnné vždy v roli vysvětlovaných proměnných Predeterminované proměnné všechny exogenní proměnné zpožděné endogenní proměnné Spotřebat = β1 + β2 Příjemt + β3 Spotřebat-1 Zpožděná endogenní Nezpožděná endogenní Predeterminované

Matematický tvar Jednorovnicový model Vícerovnicový model zcela nebo zdánlivě nezávislých rovnic každou rovnici lze zkoumat buď odděleně nebo jako vícerozměrný regresní model Simultánní model nezpožděné endogenní proměnné jak v roli vysvětlovaných, tak vysvětlujících lze odhadovat jen všechny rovnice najednou

Simultánní model

Analytický tvar ekonometrie pracuje s ekonometrickými funkcemi buď lineární v parametrech (cca 90%) nebo nelineární, které lze zlinearizovat logaritmickou či semilogaritmickou transformací (zbývajících cca 10%) např. Cobb-Douglasova produkční funkce logistická křivka

Funkce lineární v parametrech

Funkce nelineární v parametrech např. funkce mocninné důležitou roli hraje, zda lze funkce zlinearizovat či nikoliv nejčastějším způsobem linearizace je logaritmická transformace

Konstrukce modelu 3 fáze: specifikace kvantifikace (tj. naplnění modelu daty) verifikace ekonomická statistická ekonometrická

Klasický lineární regresní model (KLRM) obecný model (maticový zápis): Y = Xβ + u X – matice (n x (k+1)) pozorování exogenních (resp. predeterminovaných) proměnných (vč. úrovňové konstanty) Y – vektor (n x 1) endogenních proměnných β – vektor ((k+1) x 1) parametrů u – náhodná složka, o které předpokládáme, že má normální rozdělení N(0,σ2) k - počet vysvětlujících proměnných k+1 – počet odhadovaných parametrů

Zápis KLRM po složkách Y = β0 + β1 X1 + β2 X2 + …βk XK + u za předpokladu: n > k (k – počet vysvětlujících proměnných) odhadnout koeficienty β – tj. určit b (resp. β^ - tj. odhady β)

Abstraktní X konkrétní model klasický LRM: Y = βX + u (pracuje s úrovňovou konstantou) model „naplníme“ daty (tj. provedeme kvantifikaci modelu) => Y = Xb + e kde Y jsou napozorované hodnoty, e jsou rezidua => kde jsou vyrovnané hodnoty, rezidua jsou 0

Rezidua X náhodná složka rezidua = rozdíl mezi napozorovanými a vyrovnanými hodnotami: náhodná složka – rozdíl mezi napozorovanými hodnotami a jejich střední hodnotou: u = Y – E(Y) Platí: náhodná složka → kvantifikace → reziduum

Bodová odhadová funkce b vzniká z podmínky, aby součet čtverců reziduí byl minimální součet čtverců reziduí: eTe b … ∑ eTe → min (podmínka pro výpočet odhadové funkce metodou nejmenších čtverců – tj. ordinary least squares)

Bodová odhadová funkce b b … ∑ eTe → min ? Kdy je funkce minimální ? derivace funkce je nulová derivace funkce je kladná

Odhad koeficientů β Metoda nejmenších čtverců – nejznámější technika funkční předpis odhadové funkce: b = (XTX)-1XTY … bodová odhad.fce - poskytuje odhady: - nestranné (resp. nevychýlené) - vydatné bT = (b0, b1, b2,… bk)

Nestrannost odhadu

Vydatnost odhadu

Velký výběr počet pozorování n ≥ 30 Konzistentní – bodový odhad b je konzistentním odhadem, jestliže jeho hodnota s rostoucím počtem pozorování n konverguje ke skutečnému=populačnímu parametru Asymptoticky nestranný – je to slabší vlastnost, (pokud je odhad asymptoticky nestranný tak je i konzistentní) Asymptotická vydatnost – rozptyl konverguje k nule rychleji než s použitím jiné odhadové funkce

Příklad Yi = (5, 4, 6, 4, 3) Xi = (3, 2, 3, 2, 3) Yi = β1 + β2 Xi + ui, i = 1, 2, ... 5 Stanovte odhad parametrů β1 a β2, aby součet čtverců odchylek vyrovnaných hodnot od hodnot napozorovaných byl minimální Napište odhadnutou regresní rovinu Vypočítejte vyrovnané hodnoty Vypočítejte rezidua ei

Graf – skutečná pozorování

Graf – regresní přímka

Skutečné hodnoty vs. vyrovnané