Proč se tupý úhel rovná úhlu tupému Petr Navrátil prezentace pro ESPG

Obsah Věta Důkaz Diskuze

Věta „Velikost libovolného tupého úhlu je rovna velikosti pravého úhlu“

Důkaz Provede se konstruktivně, tzn. je třeba počítat se všemi možnostmi, jak úloha může vypadat

Konstrukce důkazu Buď dána rovina ρ

rovina ρ

Konstrukce důkazu Buď dána rovina ρ, dále: 1. Zkonstruuji přímku p

přímka p

Konstrukce důkazu Buď dána rovina ρ, dále: 1. Zkonstruuji přímku p 2. Bod A náležící přímce p

bod A

Konstrukce důkazu Buď dána rovina ρ, dále: 1. Zkonstruuji přímku p 2. Bod A náležící přímce p 3. Bod B náležící přímce p

bod B

Konstrukce důkazu Buď dána rovina ρ, dále: 1. Zkonstruuji přímku p 2. Bod A náležící přímce p 3. Bod B náležící přímce p 4. ∡BAC’, jehož velikost je 90°

∡BAC’

Konstrukce důkazu Buď dána rovina ρ, dále: 1. Zkonstruuji přímku p 2. Bod A náležící přímce p 3. Bod B náležící přímce p 4. ∡BAC’, jehož velikost je 90° 5. ∡ABD’, jehož velikost je větší než 90°

∡ABD’

Konstrukce důkazu Buď dána rovina ρ, dále: 1. Zkonstruuji přímku p 2. Bod A náležící přímce p 3. Bod B náležící přímce p 4. ∡BAC’, jehož velikost je 90° 5. ∡ABD’, jehož velikost je větší než 90° 6. Úsečka AC tak, že |AC| = d

úsečka AC

Konstrukce důkazu Buď dána rovina ρ, dále: 2. Bod A náležící přímce p 3. Bod B náležící přímce p 4. ∡BAC’, jehož velikost je 90° 5. ∡ABD’, jehož velikost je větší než 90° 6. Úsečka AC tak, že |AC| = d 7. Úsečka BD tak, že |BD| = d

úsečka BD

Konstrukce důkazu Buď dána rovina ρ, dále: 3. Bod B náležící přímce p 4. ∡BAC’, jehož velikost je 90° 5. ∡ABD’, jehož velikost je větší než 90° 6. Úsečka AC tak, že |AC| = d 7. Úsečka BD tak, že |BD| = d 8. Úsečka CD

úsečka CD

Konstrukce důkazu Buď dána rovina ρ, dále: 4. ∡BAC’, jehož velikost je 90° 5. ∡ABD’, jehož velikost je větší než 90° 6. Úsečka AC tak, že |AC| = d 7. Úsečka BD tak, že |BD| = d 8. Úsečka CD 9. Čtyřúhelník ABCD

čtyřúhelník ABCD

Konstrukce důkazu Buď dána rovina ρ, dále: 5. ∡ABD’, jehož velikost je větší než 90° 6. Úsečka AC tak, že |AC| = d 7. Úsečka BD tak, že |BD| = d 8. Úsečka CD 9. Čtyřúhelník ABCD 10. Osa úsečky AB

Konstrukce důkazu Buď dána rovina ρ, dále: 6. Úsečka AC tak, že |AC| = d 7. Úsečka BD tak, že |BD| = d 8. Úsečka CD 9. Čtyřúhelník ABCD 10. Osa úsečky AB 11. Osa úsečky CD

Konstrukce důkazu Buď dána rovina ρ, dále: 7. Úsečka BD tak, že |BD| = d 8. Úsečka CD 9. Čtyřúhelník ABCD 10. Osa úsečky AB 11. Osa úsečky CD 12. Bod S, průnik osy úsečky AB a osy úsečky CD

Důkaz Nyní mohou nastat tři případy: bod S bude ležet uvnitř čtyřúhelníka ABCD

1. případ

Důkaz Nyní mohou nastat tři případy: bod S bude ležet uvnitř čtyřúhelníka ABCD bod S bude náležet úsečce AB

2. případ

Důkaz Nyní mohou nastat tři případy: bod S bude ležet uvnitř čtyřúhelníka ABCD bod S bude náležet úsečce AB bod S bude náležet polorovině pod přímkou p

3. případ

Důkaz Nechť nyní nastane případ: bod S bude ležet uvnitř čtyřúhelníka ABCD bod S bude náležet úsečce AB bod S bude náležet polorovině pod přímkou p

Konstrukce prvního případu Buď dána rovina ρ, dále: 5. ∡ABD’, jehož velikost je větší než 90° 6. Úsečka AC tak, že |AC| = d 7. Úsečka BD tak, že |BD| = d 8. Úsečka CD 9. Čtyřúhelník ABCD 10. Osa úsečky AB

osa úsečky AB

Konstrukce prvního případu Buď dána rovina ρ, dále: 6. Úsečka AC tak, že |AC| = d 7. Úsečka BD tak, že |BD| = d 8. Úsečka CD 9. Čtyřúhelník ABCD 10. Osa úsečky AB 11. Osa úsečky CD

osa úsečky CD

Konstrukce prvního případu Buď dána rovina ρ, dále: 8. Úsečka CD 9. Čtyřúhelník ABCD 10. Osa úsečky AB 11. Osa úsečky CD 12. Bod S, průnik osy úsečky AB a osy úsečky CD

bod S

Konstrukce prvního případu Buď dána rovina ρ, dále: 9. Čtyřúhelník ABCD 10. Osa úsečky AB 11. Osa úsečky CD 12. Bod S, průnik osy úsečky AB a osy úsečky CD 13. Úsečka AS

úsečka AS

Konstrukce prvního případu Buď dána rovina ρ, dále: 10. Osa úsečky AB 11. Osa úsečky CD 12. Bod S, průnik osy úsečky AB a osy úsečky CD 13. Úsečka AS 14. Úsečka BS

úsečka BS

Konstrukce prvního případu Buď dána rovina ρ, dále: 11. Osa úsečky CD 12. Bod S, průnik osy úsečky AB a osy úsečky CD 13. Úsečka AS 14. Úsečka BS 15. Úsečka CS

úsečka CS

Konstrukce prvního případu Buď dána rovina ρ, dále: 12. Bod S, průnik osy úsečky AB a osy úsečky CD 13. Úsečka AS 14. Úsečka BS 15. Úsečka CS 16. Úsečka DS

úsečka DS

pro připomenutí Osa úsečky

osa úsečky

pro připomenutí Osa úsečky je přímka s vlastnostmi: Všechny její body mají stejnou vzdálenost od krajních bodů úsečky

|AS’| = |BS’|

pro připomenutí Osa úsečky je přímka s vlastnostmi: Všechny její body mají stejnou vzdálenost od krajních bodů úsečky, tedy: |AS’| = |BS’| Pokud ještě vím, že |AS| = |BS|, potom jasně: |∡SAS’| = |∡SBS’|

|∡SAS’| = |∡SBS’|

Dokončení důkazu prvního případu z vlastností osy úsečky vyplývá: |AS| = |BS|

|AS| = |BS|

Dokončení důkazu prvního případu z vlastností osy úsečky vyplývá: |AS| = |BS|, odtud |∡BAS| = |∡ABS|

|∡BAS| = |∡ABS|

Dokončení důkazu prvního případu z vlastností osy úsečky vyplývá: |AS| = |BS|, odtud |∡BAS| = |∡ABS| |CS| = |DS|

|CS| = |DS|

Dokončení důkazu prvního případu z vlastností osy úsečky vyplývá: |AS| = |BS|, odtud |∡BAS| = |∡ABS| |CS| = |DS| Trojúhelníky ASC a BSD jsou shodné (sss)

trojúhelníky ASC a BSD jsou shodné

Dokončení důkazu prvního případu z vlastností osy úsečky vyplývá: |AS| = |BS|, odtud |∡BAS| = |∡ABS| |CS| = |DS| Trojúhelníky ASC a BSD jsou shodné (sss) a odtud plyne, že |∡CAS| = |∡DBS|

|∡CAS| = |∡DBS|

Dokončení důkazu prvního případu z vlastností osy úsečky vyplývá: |AS| = |BS|, odtud |∡BAS| = |∡ABS| |CS| = |DS| Trojúhelníky ASC a BSD jsou shodné (sss) a odtud plyne, že |∡CAS| = |∡DBS| Odtud již jasně: |∡BAS| + |∡CAS| = |∡ABS| + |∡DBS|

|∡BAS| + |∡CAS| = |∡ABS| + |∡DBS|

Dokončení důkazu prvního případu z vlastností osy úsečky vyplývá: |AS| = |BS|, odtud |∡BAS| = |∡ABS| |CS| = |DS| Trojúhelníky ASC a BSD jsou shodné (sss) a odtud plyne, že |∡CAS| = |∡DBS| Odtud již jasně: |∡BAS| + |∡CAS| = |∡ABS| + |∡DBS| |∡BAC| = |∡ABD|

|∡BAC| = |∡ABD|

Důkaz Nechť nyní nastane případ: bod S bude ležet uvnitř čtyřúhelníka ABCD bod S bude náležet úsečce AB bod S bude náležet polorovině pod přímkou p

Konstrukce druhého případu Buď dána rovina ρ, dále: 5. ∡ABD’, jehož velikost je větší než 90° 6. Úsečka AC tak, že |AC| = d 7. Úsečka BD tak, že |BD| = d 8. Úsečka CD 9. Čtyřúhelník ABCD 10. Osa úsečky AB

osa úsečky AB

Konstrukce druhého případu Buď dána rovina ρ, dále: 6. Úsečka AC tak, že |AC| = d 7. Úsečka BD tak, že |BD| = d 8. Úsečka CD 9. Čtyřúhelník ABCD 10. Osa úsečky AB 11. Osa úsečky CD

osa úsečky CD

Konstrukce druhého případu Buď dána rovina ρ, dále: 8. Úsečka CD 9. Čtyřúhelník ABCD 10. Osa úsečky AB 11. Osa úsečky CD 12. Bod S, průnik osy úsečky AB a osy úsečky CD

bod S

Konstrukce druhého případu Buď dána rovina ρ, dále: 9. Čtyřúhelník ABCD 10. Osa úsečky AB 11. Osa úsečky CD 12. Bod S, průnik osy úsečky AB a osy úsečky CD 13. Úsečka CS

úsečka CS

Konstrukce druhého případu Buď dána rovina ρ, dále: 10. Osa úsečky AB 11. Osa úsečky CD 12. Bod S, průnik osy úsečky AB a osy úsečky CD 13. Úsečka CS 14. Úsečka DS

úsečka DS

Dokončení důkazu druhého případu z vlastností osy úsečky vyplývá: |AS| = |BS|

|AS| = |BS|

Dokončení důkazu druhého případu z vlastností osy úsečky vyplývá: |AS| = |BS| |CS| = |DS|

|CS| = |DS|

Dokončení důkazu druhého případu z vlastností osy úsečky vyplývá: |AS| = |BS| |CS| = |DS| Trojúhelníky ASC a BSD jsou shodné (sss)

trojúhelníky ASC a BSD jsou shodné

Dokončení důkazu druhého případu z vlastností osy úsečky vyplývá: |AS| = |BS| |CS| = |DS| Trojúhelníky ASC a BSD jsou shodné (sss) a odtud plyne: |∡CAS| = |∡DBS|

|∡CAS| = |∡DBS|

Dokončení důkazu druhého případu z vlastností osy úsečky vyplývá: |AS| = |BS| |CS| = |DS| Trojúhelníky ASC a BSD jsou shodné (sss) a odtud plyne: |∡CAS| = |∡DBS| |∡BAC| = |∡ABD|

Důkaz Nechť nyní nastane případ: bod S bude ležet uvnitř čtyřúhelníka ABCD bod S bude náležet úsečce AB bod S bude náležet polorovině pod přímkou p

Konstrukce třetího případu Buď dána rovina ρ, dále: 5. ∡ABD’, jehož velikost je větší než 90° 6. Úsečka AC tak, že |AC| = d 7. Úsečka BD tak, že |BD| = d 8. Úsečka CD 9. Čtyřúhelník ABCD 10. Osa úsečky AB

osa úsečky AB

Konstrukce třetího případu Buď dána rovina ρ, dále: 6. Úsečka AC tak, že |AC| = d 7. Úsečka BD tak, že |BD| = d 8. Úsečka CD 9. Čtyřúhelník ABCD 10. Osa úsečky AB 11. Osa úsečky CD

zmenšení…

zmenšení…

zmenšení…

zmenšení…

osa úsečky CD

Konstrukce třetího případu Buď dána rovina ρ, dále: 8. Úsečka CD 9. Čtyřúhelník ABCD 10. Osa úsečky AB 11. Osa úsečky CD 12. Bod S, průnik osy úsečky AB a osy úsečky CD

bod S

Konstrukce třetího případu Buď dána rovina ρ, dále: 9. Čtyřúhelník ABCD 10. Osa úsečky AB 11. Osa úsečky CD 12. Bod S, průnik osy úsečky AB a osy úsečky CD 13. Úsečka AS

úsečka AS

Konstrukce třetího případu Buď dána rovina ρ, dále: 10. Osa úsečky AB 11. Osa úsečky CD 12. Bod S, průnik osy úsečky AB a osy úsečky CD 13. Úsečka AS 14. Úsečka BS

úsečka BS

Konstrukce třetího případu Buď dána rovina ρ, dále: 11. Osa úsečky CD 12. Bod S, průnik osy úsečky AB a osy úsečky CD 13. Úsečka AS 14. Úsečka BS 15. Úsečka CS

úsečka CS

Konstrukce třetího případu Buď dána rovina ρ, dále: 12. Bod S, průnik osy úsečky AB a osy úsečky CD 13. Úsečka AS 14. Úsečka BS 15. Úsečka CS 16. Úsečka DS

úsečka DS

Dokončení důkazu třetího případu z vlastností osy úsečky vyplývá: |AS| = |BS|

|AS| = |BS|

Dokončení důkazu třetího případu z vlastností osy úsečky vyplývá: |AS| = |BS|, odtud |∡BAS| = |∡ABS|

|∡BAS| = |∡ABS|

Dokončení důkazu třetího případu z vlastností osy úsečky vyplývá: |AS| = |BS|, odtud |∡BAS| = |∡ABS| |CS| = |DS|

|CS| = |DS|

Dokončení důkazu třetího případu z vlastností osy úsečky vyplývá: |AS| = |BS|, odtud |∡BAS| = |∡ABS| |CS| = |DS| Trojúhelníky ASC a BSD jsou shodné (sss)

trojúhelníky ASC a BSD jsou shodné

Dokončení důkazu třetího případu z vlastností osy úsečky vyplývá: |AS| = |BS|, odtud |∡BAS| = |∡ABS| |CS| = |DS| Trojúhelníky ASC a BSD jsou shodné (sss) a odtud plyne, že |∡CAS| = |∡DBS|

|∡CAS| = |∡DBS|

Dokončení důkazu třetího případu z vlastností osy úsečky vyplývá: |AS| = |BS|, odtud |∡BAS| = |∡ABS| |CS| = |DS| Trojúhelníky ASC a BSD jsou shodné (sss) a odtud plyne, že |∡CAS| = |∡DBS| Odtud již jasně: |∡CAB| + |∡BAS| = |∡DBA| + |∡ABS|

|∡CAB| + |∡BAS| = |∡DBA| + |∡ABS|

Dokončení důkazu třetího případu z vlastností osy úsečky vyplývá: |AS| = |BS|, odtud |∡BAS| = |∡ABS| |CS| = |DS| Trojúhelníky ASC a BSD jsou shodné (sss) a odtud plyne, že |∡CAS| = |∡DBS| Odtud již jasně: |∡CAB| + |∡BAS| = |∡DBA| + |∡ABS| |∡BAC| = |∡ABD|

|∡BAC| = |∡ABD|

Důkaz tímto je hotov

Diskuze je to samozřejmě falešný důkaz, tzn. že důkaz není zcela korektní to, že důkaz není v pořádku dokážeme sporem: „Nechť tedy tupý a pravý úhel jsou velikostně shodné“ Spor dokážeme pro každý ze tří případů

Spor prvního případu pokračujeme v konstrukci prvního případu

Konstrukce prvního případu Buď dána rovina ρ, dále: 13. Úsečka AS 14. Úsečka BS 15. Úsečka CS 16. Úsečka DS 17. přímka q tak, že jí náleží úsečka CD

přímka q

Konstrukce prvního případu Buď dána rovina ρ, dále: 14. Úsečka BS 15. Úsečka CS 16. Úsečka DS 17. přímka q tak, že jí náleží úsečka CD 18. bod T tak, že T náleží průniku osy AB a úsečky AB

bod T

Konstrukce prvního případu Buď dána rovina ρ, dále: 15. Úsečka CS 16. Úsečka DS 17. přímka q tak, že jí náleží úsečka CD 18. bod T tak, že T náleží průniku osy AB a úsečky AB 19. bod U tak, že U náleží průniku osy AB a přímky q

zmenšení...

zmenšení...

zmenšení...

zmenšení...

bod U

Konstrukce prvního případu Buď dána rovina ρ, dále: 16. Úsečka DS 17. přímka q tak, že jí náleží úsečka CD 18. bod T tak, že T náleží průniku osy AB a úsečky AB 19. bod U tak, že U náleží průniku osy AB a přímky q 20. trojúhelník BTU

trojúhelník BTU

Dokončení sporu prvního případu z vlastností osy úsečky vyplývá |∡BTU| = 90°

|∡BTU| = 90°

Dokončení sporu prvního případu z vlastností osy úsečky vyplývá |∡BTU| = 90° Protože |∡ABD| = 90°

|∡ABD| = 90°

Dokončení sporu prvního případu z vlastností osy úsečky vyplývá |∡BTU| = 90° Protože |∡ABD| = 90° a |∡ABD| + |∡TBU| = 180°, potom |∡TBU| = 90°

|∡TBU| = 90°

Dokončení sporu prvního případu z vlastností osy úsečky vyplývá |∡BTU| = 90° Protože |∡ABD| = 90° a |∡ABD| + |∡TBU| = 180°, potom |∡TBU| = 90° Spor s předpokladem, že součet velikostí úhlů v trojúhelníku je 180° První případ není reálný

Spor druhého případu pokračujeme v konstrukci druhého případu

Konstrukce druhého případu Buď dána rovina ρ, dále: 13. Úsečka AS 14. Úsečka BS 15. Úsečka CS 16. Úsečka DS 17. přímka q tak, že jí náleží úsečka CD

přímka q

Konstrukce druhého případu Buď dána rovina ρ, dále: 14. Úsečka BS 15. Úsečka CS 16. Úsečka DS 17. přímka q tak, že jí náleží úsečka CD 18. bod T tak, že T náleží průniku osy AB a úsečky AB

bod T

Konstrukce druhého případu Buď dána rovina ρ, dále: 15. Úsečka CS 16. Úsečka DS 17. přímka q tak, že jí náleží úsečka CD 18. bod T tak, že T náleží průniku osy AB a úsečky AB 19. bod U tak, že U náleží průniku osy AB a přímky q

zmenšení...

zmenšení...

zmenšení...

zmenšení...

bod U

Konstrukce druhého případu Buď dána rovina ρ, dále: 16. Úsečka DS 17. přímka q tak, že jí náleží úsečka CD 18. bod T tak, že T náleží průniku osy AB a úsečky AB 19. bod U tak, že U náleží průniku osy AB a přímky q 20. trojúhelník BTU

trojúhelník BTU

Dokončení sporu druhého případu z vlastností osy úsečky vyplývá |∡BTU| = 90°

|∡BTU| = 90°

Dokončení sporu druhého případu z vlastností osy úsečky vyplývá |∡BTU| = 90° Protože |∡ABD| = 90°

|∡ABD| = 90°

Dokončení sporu druhého případu z vlastností osy úsečky vyplývá |∡BTU| = 90° Protože |∡ABD| = 90° a |∡ABD| + |∡TBU| = 180°, potom |∡TBU| = 90°

|∡TBU| = 90°

Dokončení sporu druhého případu z vlastností osy úsečky vyplývá |∡BTU| = 90° Protože |∡ABD| = 90° a |∡ABD| + |∡TBU| = 180°, potom |∡TBU| = 90° Spor s předpokladem, že součet velikostí úhlů v trojúhelníku je 180° Druhý případ není reálný

Spor třetího případu pokračujeme v konstrukci třetího případu

Konstrukce třetího případu Buď dána rovina ρ, dále: 13. Úsečka AS 14. Úsečka BS 15. Úsečka CS 16. Úsečka DS 17. přímka q tak, že jí náleží úsečka CD

přímka q

Konstrukce třetího případu Buď dána rovina ρ, dále: 14. Úsečka BS 15. Úsečka CS 16. Úsečka DS 17. přímka q tak, že jí náleží úsečka CD 18. bod T tak, že T náleží průniku osy AB a úsečky AB

bod T

Konstrukce třetího případu Buď dána rovina ρ, dále: 15. Úsečka CS 16. Úsečka DS 17. přímka q tak, že jí náleží úsečka CD 18. bod T tak, že T náleží průniku osy AB a úsečky AB 19. bod U tak, že U náleží průniku osy AB a přímky q

zmenšení...

zmenšení...

zmenšení...

zmenšení...

bod U

Konstrukce třetího případu Buď dána rovina ρ, dále: 16. Úsečka DS 17. přímka q tak, že jí náleží úsečka CD 18. bod T tak, že T náleží průniku osy AB a úsečky AB 19. bod U tak, že U náleží průniku osy AB a přímky q 20. trojúhelník BTU

trojúhelník BTU

Dokončení sporu třetího případu z vlastností osy úsečky vyplývá |∡BTU| = 90°

|∡BTU| = 90°

Dokončení sporu třetího případu z vlastností osy úsečky vyplývá |∡BTU| = 90° Protože |∡ABD| = 90°

|∡ABD| = 90°

Dokončení sporu třetího případu z vlastností osy úsečky vyplývá |∡BTU| = 90° Protože |∡ABD| = 90° a |∡ABD| + |∡TBU| = 180°, potom |∡TBU| = 90°

|∡TBU| = 90°

Dokončení sporu třetího případu z vlastností osy úsečky vyplývá |∡BTU| = 90° Protože |∡ABD| = 90° a |∡ABD| + |∡TBU| = 180°, potom |∡TBU| = 90° Spor s předpokladem, že součet velikostí úhlů v trojúhelníku je 180° Ani třetí případ není reálný, ale…

Diskuze To samozřejmě neznamená, že by se osy neprotly Ve skutečnosti se však protnou úplně někde jinde, než jsme předpokládali, a to: Na přímce q

na přímce q

Diskuze To samozřejmě neznamená, že by se osy neprotly Ve skutečnosti se však protnou úplně někde jinde, než jsme předpokládali, a to: Na přímce q V průniku polorovin, pod přímkou p a q

V průniku polorovin

Diskuze Z prvního případu není možné uvažavat o shodnosti trojúhelníků ASC a BDS (trojúhelník BDS splynul v úsečku) a tudíž: |∡CAS| ≠ |∡DBS|

Diskuze Pokud opět budeme z vlastností os vyvozovat: |AS| = |BS|

|AS| = |BS|

Diskuze Pokud opět budeme z vlastností os vyvozovat: |AS| = |BS| |CS| = |DS|

|CS| = |DS|

Diskuze Pokud opět budeme z vlastností os vyvozovat: |AS| = |BS| |CS| = |DS|, potom Z druhého případu se dá usuzovat: Trojúhelníky ACS a BDS jsou shodné (sss)

trojúhelníky ACS a BDS jsou shodné

Diskuze Pokud opět budeme z vlastností os vyvozovat: |AS| = |BS| |CS| = |DS|, potom Z druhého případu se dá usuzovat: Trojúhelníky ACS a BDS jsou shodné (sss) a tudíž i |∡CAS| = |∡DBS|

|∡CAS| = |∡DBS|

Diskuze Odtud však nelze vyvozovat rovnost |∡BAC| = |∡ABD|

Diskuze Závěr: důkaz není korektní, protože měl nereálné předpoklady Věta: „Velikost pravého úhlu j rovna...“ je nepravdivá

Na závěr Důkaz jsem převzal z přednášky pro řešitele matematické olympiády pana Doc. Stanislava Trávníčka z Olomoucké Univerzity Palackého Diskuzi a vyvrácení důkazu jsem provedl sám

Díky za pozornost