Diferenciální rovnice – řešené příklady Vyřešte diferenciální rovnici: 7.1 – ukázkový příklad y´( x + 1 ) = 2 y 2 1) Zapsání derivace podle vzorečku dy dx y´ = y´ = 2 2 y x + 1 dy dx 2 y x + 1 = 2 2) Separace proměnných (y nalevo, x napravo) dy 2 y dx x + 1 2 = 3) Integrace obou stran rovnice (integrační konstanta napravo) 1 2 dx x + 1 2 - ½ y dy = 1 2 O.K. ½ 2 2 y = arctg x + C y = arctg x + C y = ( arctg x + C ) y´= ( 1 + ) y 1) 2) 1 x 7.2 dy dx = ( 1 + ) y 1 x dy y = ( 1 + ) dx 1 x a = x log a X 3) 1 y dy = 1 + dx x ln y = x + ln x + C y = e x + ln x + C y = e * e * e x ln x C y = x * e x + C x Výsledek ve scriptech je trochu odlišný  y = x * e

O.K. 7.5 7.6 Vyřešte diferenciální rovnici s podmínkou: y´ * e = 2x + 2 y (1) = 0 y = dy dx 2x + 2 e y 1) Zapsání derivace podle vzorečku 2) Převedení y na levou a x na pravou stranu rovnice a doplnění integračních znaků e dy = 2 ( x + 1 ) dx y e dy = 2 x + 1 dx y e = 2 ( + x) y x 2 3) Řešení integrálů na obou stranách e = x + 2x + C y 2 4) Doplnění integrační konstanty 5) Vyjádření y y = ln ( x + 2x + C) 2 6) Dosazení podmínky do vzorce a výpočet hodnoty integrační konstanty 0 = ln ( 1 + 2 * 1 + C)  0 = ln ( 3 + C )  1 = 3 + C  C = -2 2 7) Dosazení integrační konstanty a vyjádření výsledku y = ln ( x + 2x – 2 ) 2 O.K. 7.6 y´ = 2e 1 - y y (0) = 0 2x 2 dy dx dy 1 - y 2 = 2e 1 - y 2x 2 = 2e dx 2x dy 1 - y 2 = 2 e dx 2x arcsin y = 2 e + C y = sin 2 e + C 2x 2x 2 * 0 0 = sin 2 e + C  0 = sin 2 + C  C = 0  y = sin 2 e 2x 2x Výsledek ve scriptech je trochu odlišný  y = sin ( 2 e - 1)

7.7 y´ = x sin x y () =  dy dx = x sin x dy = x sin x dx 1 dy = x sin x dx u´ = sin x v = x u = - cos x v´ = 1 u´v = u * v - u * v´ x sin x dx = - cos x * x - - cos x * 1 dx = - x cos x + cos x dx = = - x cos x + sin x + C y = - x cos x + sin x + C  = -  cos  + sin  + C   = -  * -1 + 0 + C   =  + C  C = 0 y = sin x - x cos x Opět malý rozdíl. Ve scriptech je výsledek : y = sin x - x cos x +  A na závěr jeden příklad, který se zdá triviální, nicméně jeho výsledek se dosti podstatně rozchází s mým : 7.3 2 y x 32 2 y x 32 dy dx y´ x = 2 y y y´ = = 1 2 -3 2 dx x 1 2 -3 2 1 x y dy = y dy = dx 1 2 1 y - 1 y - 1 ln x + C = y * - 2 = ln x + C = ln x + C 1 (ln x + C) Výsledek ve scriptech : y = c * x 2 = y 2