Fakulta životního prostředí Katedra informatiky a geoinformatiky Přednáška 05 Spojitost a derivace funkce Matematika II. KIG / 1MAT2

O čem budeme hovořit: Spojitost funkce v bodě Spojitost funkce v intervalu Derivace funkce v bodě Derivace funkce v intervalu Souvislost spojitosti a derivace

Spojitost funkce v bodě

Základní představa Je-li funkce f(x) „spojitá v bodě c “, pak její graf v blízkém okolí bodu c „můžeme nakreslit, aniž bychom oddálili tužku od papíru“. Příklady funkcí, které v některých bodech nejsou spojité:

Definice spojitosti funkce v bodě Definice: Funkce y = f(x) je spojitá v bodě c právě tehdy, když Analogicky se definuje spojitost funkce y = f(x) v bodě c zprava a zleva. Co znamená, že funkce y = f(x) není spojitá v bodě c? (Není v bodě definována nebo limita neexistuje nebo limita existuje, ale nerovná se funkční hodnotě.)

Spojitost funkce v intervalu

Spojitost v otevřeném intervalu Definice: Funkce y = f(x) je spojitá v otevřeném intervalu (a;b) právě tehdy, když je spojitá v každém bodě c  (a;b). Příklady:

Spojitost v ostatních druzích intervalů Analogicky se definuje spojitost funkce v intervalech ( a;b > a  a;b >. Definice: Funkce y = f(x) je spojitá v polouzavřeném intervalu  a;b ) právě tehdy, když je spojitá v každém bodě c  (a;b) a je spojitá v bodě a zprava. Příklady:

Věty o spojitých funkcích Funkce spojitá na uzavřeném intervalu má minimum i maximum. (Věta neplatí pro jiné intervaly!) Nechť funkce y = f(x) je spojitá na uzavřeném intervalu  a;b >. Pak nabývá všech hodnot mezi čísly f(a) a f(b). Nechť funkce y = f(x) je spojitá na uzavřeném intervalu  a;b >, nechť f(a). f(b)  0. Pak existuje c  (a;b) takové, že f(c) = 0. Každý polynom třetího stupně má alespoň jeden reálný kořen.

Turista v horách Problém: Turista vyšel z vesnice v 6 hodin ráno a na horskou chatu dorazil ve 14 hodin. Druhý den ráno vyšel z horské chaty opět v 6 hodin a po stejné cestě dorazil do vesnice v 11 hodin. Jak dokázat, že na určitém místě byl v oba dny ve stejném čase?

Čtverec opsaný křivce Platí tato věta: Každé jednoduché uzavřené hladké křivce lze opsat čtverec. Jak větu dokázat?

Derivace funkce v bodě

Okamžitá rychlost volného pádu Těleso padající volným pádem urazí za čas t (sekund) přibližně dráhu s(t) = 5.t 2 (metrů). Jak se vypočítá průměrná rychlost v daném časovém intervalu? Jak se vypočítá okamžitá rychlost v určitém čase? Čas t Dráha s(t) 0,00,00 0,51,25 1,05,00 1,511,25 2,020,00 2,531,25 3,045,00 3,561,25 4,080,00

Tečna ke grafu funkce v daném bodě Máme nalézt rovnici tečny ve tvaru y = k. x + q, která prochází bodem [c ; f(c)]. Klíčové bude nalézt směrnici tečny k. Jak? Tečna ke grafu funkce.ggb

Definice derivace funkce v bodě Definice: Derivací funkce y = f(x) v bodě c nazýváme limitu Podle charakteru limity říkáme že derivace f ´(c) neexistuje, existuje a je nevlastní (+ či – nekonečno), existuje a je vlastní (je to reálné číslo).

Ekvivalentní definice derivace Derivaci funkce y = f(x) v bodě c můžeme také vyjádřit ve tvaru: Rozmyslete si to podle obrázku!

Derivace funkce v intervalu

Derivace dané funkce je také funkce! Vypočítáme-li derivaci funkce f(x) v několika bodech, bude se její hodnota obecně měnit. Definice: Derivací funkce f(x) budeme nazývat funkci f ´(x), která je definována formulí Příklad: okamžitá rychlost při volném pádu Derivace je funkce.ggb

Souvislost spojitosti a derivace

Co plyne z existence vlastní derivace? Platí tato věta: Věta: Má-li funkce y = f(x) v bodě c vlastní derivaci f ´(c), pak je v tomto bodě spojitá. Důkaz:

Co je třeba znát a umět? Rozumět definici spojitosti funkce v bodě a intervalu, znát důležité věty o spojitých funkcích a umět je aplikovat, rozumět definici derivace funkce v bodě a intervalu, znát souvislosti derivace funkce s tečnou ke grafu funkce a s okamžitou rychlostí, znát vztah existence vlastní derivace a spojitosti.

Děkuji za pozornost