ZÁKLADY EKONOMETRIE 2. cvičení KLRM

KLASICKÝ LINEÁRNÍ REGRESNÍ MODEL

Klasický lineární regresní model (KLRM) Příklad: Určete, zda existuje závislost počtu léků, které člověk užívá, na věku. Předpokládáme, že závislost existuje a má lineární tvar: Protože závislost není úplná a neplatí vždy (např. někteří starší lidé neberou léky, jiní mladí jich zase berou hodně) proto do modelu zahrneme náhodný vliv (náhodnou složku u) Toto je model pro celou populaci, hovoříme tedy o ABSTRAKTNÍM MODELU

Klasický lineární regresní model (KLRM) Pro odhad potřebujeme nějaká data (většinou výběr) Toto je model pro konkrétní výběr, hovoříme tedy o KONKRÉTNÍM MODELU

Metoda nejmenších čtverců Jak najít přímku, tak aby co nejlépe popisovala závislost? Tj. byla co nejblíže všem bodům? Chceme minimalizovat součet čtverců odchylek (reziduí)

Příklad Podívejte se jak ovlivňuje náhodná složka odhady v konkrétním výběru. Víte, že v celé populaci existuje závislost: Generujte různé náhodné složky (v MS Excelu) a sledujte, jak se mění ODHADNUTÁ přímka. Excel: 1.cviceni_LRM_s_resenim.xlsx

Zápis KLRM po složkách k = počet exogenních proměnných v modelu k + 1 = počet odhadovaných parametrů n = počet pozorování, která máme k dispozici Endogenní = Vysvětlovaná proměnná Exogenní = Vysvětlující proměnné Predeterminované = Exogenní + Endogenní zpožděné

Maticový zápis KLRM obecný model (maticový zápis): X – matice (n  k + 1) pozorování exogenních (resp. predeterminovaných) proměnných y – vektor (n  1) endogenních proměnných β – vektor (k + 1  1) parametrů u – náhodná složka, o které předpokládáme, že má normální rozdělení N(0,σ2)

Bodová odhadová funkce b b získáme tak, že ? Kdy je funkce minimální ? První derivace funkce je nulová Druhá derivace funkce je kladná

Odvození odhadové funkce MNČ Vyjdeme z maticového vyjádření konkrétního modelu: Roznásobíme Analogie v rozměru bez matic a vektorů „2D“ : (A – B)2 = A2 – 2AB + B2 (Y – Xb)2 = Y2 – 2YXb+ X2b2 Derivujeme podle b a položíme = 0 2YX + 2X2b = 0 Upravím e tak, abychom získal b = X2b = YX b = XY/X2 Platí za podmínky X2 ≠ 0 Derivujeme a položíme = 0 Upravíme tak, aby b byla na jedné straně rovnice a zbytek na druhé Uvedená analogie „2D“ je zde pouze pro ilustraci, správné odvození je to pomocí matic a vektorů! Platí za podmínky Existuje inverzní matice neboli matice je čtvercová, regulární matice

METODA NEJMENŠÍCH ČTVERCŮ Momentová matice: - musí být symetrická, čtvercová, regulární (tj. nenulový determinant) Potom platí (odhadová funkce MNČ): A získáme vektor:

Příklad Stanovte odhad parametrů β0 a β1, aby součet čtverců odchylek vyrovnaných hodnot od hodnot napozorovaných byl minimální Napište odhadovou funkci Vypište jednotlivé položky a spočítejte Napište odhadnutou regresní rovinu Vypočítejte vyrovnané hodnoty Vypočítejte rezidua ei Odhadněte v GiveWinu Y X 5 3 4 2 6

První výpočty

Dosazení do normální rovnice b1 = 2, 667; b2 = 0,667 Y = 2,667 + 0,667 X + e

Residua a vyrovnané hodnoty Součet všech reziduí = 0,33 + 0 + 1,33 + 0 – 1,66 = 0

Výstup z GiveWinu