1 Metoda GENEROVÁNÍ SLOUPCŮ a její použití v celočíselném programování Jan Fábry

2 Modely IP Diskrétní proměnné Metoda větvení a hranic NP-těžké úlohy

3 Modifikace metody větvení a hranic Metoda větvení a řezů (generování omezení) Metoda větvení a oceňování (generování sloupců)

4 Dantzig-Wolfehodekompozice minimalizovat za podmínek

5 Krajní body množiny G Dantzig-Wolfehodekompozice

6 Dantzig-Wolfehodekompozice minimalizovat za podmínek

7 Hlavní problém Dantzig-Wolfeho dekompozice minimalizovat za podmínek

8 Dantzig-Wolfeho dekompozice Hlavní problém Redukovaný problém Redukce sloupců (proměnných)

9 Redukovaný problém Dantzig-Wolfeho dekompozice minimalizovat za podmínek

10 Test optimality Optimální řešení redukovaného problému ? Dantzig-Wolfeho dekompozice Optimální řešení hlavního problému

11 Test optimality Dantzig-Wolfeho dekompozice OŘ redukovaného problému není OŘ hlavního problému ! OŘ duální úlohy k RP

12 Subproblém Optimální řešení RP je optimálním řešením HP Generování nového sloupce Generování sloupců minimalizovat za podmínek

13 L = výchozí množina sloupců Řešení redukovaného problému s L Řešení subproblému s Generování nového sloupce: Optimum Algoritmus generování sloupců

14 Příklad – řezná úloha Role 28 cm26 cm21 cm18 cm15 cm Poptávka Papírové role: šířka 100 cm Standardní model IP: 67 řezných schémat

15 Schéma P1P1 P2P2 …PmPm Poptávka w1w1 a 11 0…0d1d1 w2w2 0a 22 0d2d2 ……………… wmwm 00…a mm dmdm Výchozí schémata  Redukovaný problém Metoda generování sloupců

16 Subproblém – úloha batohu Nový sloupec y i = počet rolí šířky w i v generovaném schématu Metoda generování sloupců maximalizovat za podmínek

17 Výsledky SchémaP1P1 P2P2 P3P3 P4P4 P5P5 P6P6 P7P7 P8P8 P9P9 P10P10 P 11 P12P12 28 cm cm cm cm cm Použití Výchozí schémataGenerovaná schémata 131 Příklad – řezná úloha

18 Příklad – rozvrhování banerových reklam  rozvrhovací období – zadavatel reklamy  T= množina reklamních bloků  S = velikost reklamního bloku  A = množina reklam

19 Příklad – rozvrhování banerových reklam Model IP Model IP maximalizovat za podmínek velikost reklamy počet opakování reklamy

20 Příklad – rozvrhování banerových reklam Metoda generování sloupců - hlavní problém Metoda generování sloupců - hlavní problém maximalizovat za podmínek množina všech schémat plocha obsazená vrámci schématu k

21 Příklad – rozvrhování banerových reklam Redukovaný problém Redukovaný problém maximalizovat za podmínek množina výchozích schémat plocha obsazená vrámci schématu k

22 Příklad – rozvrhování banerových reklam Subproblém – úloha batohu Subproblém – úloha batohu maximalizovat za podmínek duální ceny RP (ne)použití reklamy ve vygenerovaném schématu