57. ročník MO Soustředění řešitelů Kategorie A Exponenciela Litoměřice 2007

O čem budeme dnes večer hovořit? Budeme se věnovat: aritmetickým a geometrickým posloupnostem, jedné funkcionální rovnici, exponenciálním funkcím, pojmu „derivace funkce“, důležitému iracionálnímu číslu e, Taylorovým řadám funkcí, a konečně tzv. „nejkrásnější formuli na světě“.

Úvod Aritmetické a geometrické posloupnosti a jedna zajímavá funkcionální rovnice

Aritmetické a geometrické posloupnosti Jak se vytvářejí tyto posloupnosti? Postačí znát první člen a „výtvarný zákon“: u aritmetické se neustále přičítá jisté číslo, u geometrické se neustále násobí jistým číslem.

Konstrukce zajímavé funkce Vytvořme funkci, kde hodnoty nezávisle proměnné tvoří aritmetickou posloupnost a jim odpovídající hodnoty závisle proměnné tvoří geometrickou posloupnost. Například: Jaké vlastnosti tato funkce má? … … aritm a geom posl.xls

Stěžejní vlastnost této funkce Soustřeďme se na to, jak získat hodnotu f(x+y), známe-li funkční hodnoty f(x) a f(y): Například: x=1, y=3: f(1+3) = f(4) = 16 a f(1) = 2, f(3) = 8 x=2, y=2: f(2+2) = f(4) = 16 a f(2) = 4, f(2) = 4 x=1, y=4: f(1+4) = f(5) = 32 a f(1) = 2, f(3) = 16 x=3, y=4: f(3+4) = f(7) = 128 a f(3) = 8, f(4) = 16 Jak to zobecnit? f(x+y) = f(x). f(y)

Problém Jaké vlastnosti nutně musí mít funkce, které jsou řešením funkcionální rovnice f(x+y) = f(x). f(y) ?

Jak vlastnosti těchto funkcí odvozovat? Budeme jen usuzovat, co ze základní rovnice plyne, když budeme „šikovně“ volit hodnoty x a y ! Například: Co získáme například volbou x = 0, y = 0 ? f(0) = f(0+0) = f(0). f(0)  f(0) = 0  f(0) = 1 Co získáme například volbou x = 1, y = 1 ? f(2) = f(1+1) = f(1). f(1) = ( f(1) ) 2  0 A tak dále.

Problém Dokážeme nalézt některé funkce, které jsou řešením rovnice f(x+y) = f(x). f(y) ?

Jednoduchá řešení Tuto rovnici jistě splňuje například funkce f(x) = 2 x, definovaná na množině všech přirozených čísel. Proč? Jistě platí, že: f(x+y) = 2 x+y = 2 x. 2 y = f(x). f(y). Dokážete nalézt další analogická řešení? Základ mocniny jistě není podstatný, řešeními jsou tedy všechny funkce typu: f(x) = a x

Jak vypadají grafy exponenciálních funkcí ? Expfunkce.dfw

Exponenciela a její vlastnosti

Jak vybrat z exponenciálních funkcí funkci e x ? Speciální podmínka je: tečna ke grafu funkce y = e x v bodě  0  1  svírá s osou x úhel o velikosti To lze matematicky zformulovat takto: A odtud: exponenciela je rovna své derivaci.

Něco málo o číslu „e“

Číslo e je vyjádřitelné touto řadou: Jeho racionální aproximace lze tedy postupně počítat takto: Z tvaru formule pak plyne:

Jak vypadají aproximace čísla e ? Postupně získáme: Číslo e.xls A tak dále.

Exponencielu můžeme vyjádřit v tomto tvaru: Tuto funkci postupně aproximují následující funkce: Exponenciela.dfw

Proč je exponenciální funkce tak důležitá ? Zprostředkovává vztah mezi aritmetickými a geometrickými posloupnostmi (např. úroky). Vyjadřuje takový růst veličin, při němž jsou přírůstky úměrné okamžité hodnotě veličiny (např. růst populací). Může popisovat kruhový (a tedy i kmitavý) pohyb – viz další poznámky (např. u střídavých proudů). Atd. atd.

Problém Jak se odvodí formule, o níž většina matematiků tvrdí, že je „nejkrásnější matematickou formulí “ ?

Musíme něco vědět o goniometrických funkcích: Podobnými řadami jako jsme viděli u exponenciální funkce se definují funkce sinus a kosinus: Sinus.dfw Kosinus.dfw

Dále musíme něco vědět o komplexním čísle i : Definiční vlastností imaginární jednotky i je toto: i 2 = - 1. Z toho pak plyne, že: i 3 = - i, i 4 = 1, i 5 = i, i 6 = - 1. atd.

Teď již můžeme odvodit jeden důležitý vztah:

Co tento vztah znamená a co z něj vyplývá? Výraz e ix je tedy tzv. komplexní jednotkou. Odtud pak plyne, že: To je ta nejkrásnější formule.

Závěr Seznámili jsme s exponenciálními funkcemi a pro ně typickou formulí f(x+y) = f(x). f(y). Odvodili jsme některé jejich vlastnosti. Pomocí význačné hodnoty derivace jsme z nich vybrali exponencielu. Ukázali jsme některé pozoruhodné vlastnosti iracionálního čísla e. Zjistili jsme, že funkce se dají vyjadřovat řadami a odhalili jsme „nejkrásnější formuli na světě“.

Děkuji vám za pozornost.