Limitní věty

Limitní věty tvrzení, která jsou důležitá pro popis pravděpodobnostních modelů v případě rostoucího počtu náhodných pokusů

Konvergence podle pravděpodobnosti (stochastická konvergence) Je dána posloupnost náhodných veličin {Xn} a náhodná veličina X. Jestliže pro každé ε > 0 platí: ,pak říkáme, že posloupnost náhodných veličin {Xn} konverguje k náhodné veličině X podle pravděpodobnosti.

Konvergence v distribuci Je dána posloupnost náhodných veličin {Xn}, posloupnost distribučních funkcí náhodných veličin {Xn}-{Fn(x)} a náhodná veličina X, která má distribuční funkci F(x). Jestliže: , pak říkáme, že posloupnost náhodných veličin {Xn} konverguje k náhodné veličině X v distribuci a F(x) nazýváme asymptotickou distribuční funkcí.

Čebyševova nerovnost odhaduje (velice hrubě) pravděpodobnost odchylky náhodné veličiny X od její střední hodnoty Nechť X je libovolná náhodná veličina se střední hodnotou EX a konečným rozptylem DX.

Litschmannová: Statistika I. – řešené příklady, kap. Limitní věty

Centrální limitní věta zabývá se konvergencí rozdělení k normálnímu rozdělení 2 dílčí formulace CLV: 1.) Lindebergova-Lévyho věta 2.) Moivreova-Laplaceova věta

Lindebergova-Lévyho věta (Rozdělení součtu NV) Jestliže X1, X2, …, Xn jsou nezávislé náhodné veličiny se stejným (libovolným) rozdělením, stejnými středními hodnotami a se stejnými (konečnými) rozptyly , pak jejich součet konverguje v distribuci k normálnímu rozdělení o parametrech: nμ;nσ2. {Xn}: - nezávislé NV - NV se stejným typem rozdělení - EX1=EX2=…=EXn - DX1=DX2=…=DXn < ∞, Pak:

Důsledek Linderbergovy-Lévyho věty (Rozdělení průměru náhodných veličin) Jestliže X1, X2, …, Xn jsou nezávislé náhodné veličiny se stejným (libovolným) rozdělením, stejnými středními hodnotami a se stejnými (konečnými) rozptyly , pak jejich průměr konverguje v distribuci k normálnímu rozdělení o parametrech: μ;σ2/n. {Xn}: - nezávislé NV - NV se stejným typem rozdělení - EX1=EX2=…=EXn - DX1=DX2=…=DXn < ∞, Pak:

Důkaz

Litschmannová: Statistika I. – řešené příklady, kap. Limitní věty

Příklad Dlouhodobým průzkumem bylo zjištno, že doba potřebná k objevení a odstranní poruchy stroje má střední hodnotu 40 minut a směrodatnou odchylku 30 minut. Jaká je pravaděpodobnost, že doba potřebná k objevení a opravení 100 poruch nepřekročí 70 hodin?

Příklad Životnost elektrického holícího strojku Adam má exponenciální rozdělení se střední hodnotou 2 roky. Určete pravděpodobnost, že průměrná životnost 150-ti prodaných strojků Adam bude vyšší než 27 měsíců.

Moivreova-Laplaceova věta tato věta vyjadřuje konvergenci binomického rozdělení k normálnímu rozdělení , pak pro dostatečně velká n: Aproximace dává dobré výsledky, když: nebo

Aproximace Poissonova rozdělení rozdělením normálním , pak pro dostatečně velké t platí, že X můžeme aproximovat norm. rozdělením s parametry:

Aproximace průměrného počtu výskytu události za časovou jednotku normálním rozdělením Y ... počet výskytu události za časovou jednotku, X lze aproximovat normálním rozdělením, , pak:

Oprava na spojitost Oprava na spojitost (u pravděpodobnostní funkce): Je-li X diskrétní náhodná veličina, pak: Obecně – oprava na spojitost: Posouzení vhodnosti použití opravy na spojitost provádíme vždy při řešení konkrétního příkladu důsledným převodem pravděpodobnosti výskytu náhodné veličiny na nějakém intervalu na vztah mezi distribučními funkcemi v příslušných bodech.

Litschmannová: Statistika I. – řešené příklady, kap. Limitní věty

Příklad Na telefonní ústřednu je napojeno 3000 účastníků. Každý z nich bude volat telefonní ústřednu během hodiny s pravděpodobností 10%. Jaká je pravděpodobnost, že během následující hodiny zavolá ústřednu: a) právě 300 účastníků? b) více než 310 účastníků? c) mezi 200 a 450 účastníky(včetně)?

(nezávisle, 2 možné výsledky) n=1 Alternativní NV A(p) n≥1 Typ NV Diskrétní NV (počty události) Počet úspěchů v n pokusech Bernoulliho pokusy (nezávisle, 2 možné výsledky) n=1 Alternativní NV A(p) n≥1 Binomická NV Bi(n;p) Aproximace dle LV N(np;np(1-p)) Závisle pokusy (2 možné výsledky) Hypergeometrická NV H(N;M;n) Počet pokusů do k-tého úspěchu (Bernoulliho pokusy) k=1 Geometrická NV Ge(p) k≥1 Negativně binomická NV NB(k;p) Počet události na uzavřené oblasti (v čas. intervalu, na ploše, v objemu) (Poissonův proces) Poissonova NV Po(λt) N(λt;λt) Spojitá NV Doba do k. události Období stabilního života Exponenciální NV Exp(λ) Libovolný tvar intenzity poruch Weibullova NV W(β;Θ) Erlangova NV Erlang(k;λ) Součet NV, Průměr NV (dle LV) Součet NV N(n.EXi;n.DXi) N(EXi;DXi/n)