Algoritmus k-means Ivan Pirner 2007/2008
Cíle mého snažení: • naprogramovat v MATLABu algoritmus k-means • vymyslet funkce popisující vzdálenost ve 40dimenzionálním prostoru a použít je v algoritmu • zjistit, která z funkcí se nejlépe hodí k použití • časová náročnost • „vhodné“ rozdělení prvků
Co je k-means K-means, neboli k-středů, je metoda shlukové analýzy uvedená Johnem MacQueenem v roce Jejím úkolem je rozdělit množinu vektorů dimenze n do k podmnožin tak, aby byla nejmenší suma vzdáleností jednotlivých vektorů od středu příslušné podmnožiny. Následující skutečnost můžeme zapsat jako minimalizaci veličiny V.
Popis algoritmu 1.Zadáme k a množinu všech vektorů. 2.Zvolíme k výchozích středů podmnožin. 3.Na základě funkce vzdálenosti každý z vektorů přiřadíme do shluku, jehož střed má nejmenší vzálenost. 4.Vypočítáme u každé podmnožiny nový střed coby „těžiště“ množiny 5.Návrat na krok 2. Zastavovací podmínka: Přiřazení žádného prvku se v předchozím kroku nezměnilo.
Ilustrace funkce
Ukázkavýstupu
Problém volby středů Počáteční volbu můžeme provést libovolným způsobem, ale projeví se to pak na výsledku shlukování. Vyzkoušel jsem: 1.k náhodných vektorů 2.Vzít prvních k vektorů z množiny. 3.Vzít náhodných k vektorů z množiny. Při další práci jsem využil možnosti číslo 2.
Vzdálenostní funkce V původním algoritmu se jako míra vzdálenosti používá eukleidovská vzdálenost. To mě inspirovalo k několika úvahám: • Nestačil by kvadrát eukleidovské vzdálenosti? (méně počítání) • Jak nám výsledek ovlivní normy L1, L3, L4, max norma? • Neměli bychom jednotlivé složky vážit?
Statistika Zjistil jsem, že jednotlivé složky se zřejmě řídí normálním rozdělením.
Statistika Zjistil jsem směrodatné odchylky jednotlivých složek na reprezentativním vzorku vektorů. Ze zjištěných údajů vyplývá jednak to, že vážení má smysl, neboť první tři složky ovlivňují shlukování výrazně více než ostatní.
Vzdálenostní funkce seznam, popis Mějme vektory 1.Eukleidovská norma 2.Vážená eukleidovská norma 3.Kvadrát eukleidovské normy 4.Kvadrát vážené normy 5.Max norma 6.Max norma vážená 7.L1 norma 8.L3 norma 9.L4 norma 10.L1 vážená 11.L3 vážená 12.L4 vážená kvadráty
Časová náročnost f-cí 1Eukleidovská norma74,08 2Vážená eukleidovská norma62,38 3Kvadrát eukleidovské normy62,40 4Kvadrát vážené normy60,25 5Max norma86,03 6Max norma vážená65,65 7L1 norma34,61 8L3 norma99,87 9L4 norma94,07 10L1 vážená91,98 11L3 vážená119,81 12L4 vážená124,05
Jak se liší výsledky f-cí 1Eukleidovská norma00 % 2Vážená eukleidovská norma65432,33 % 3Kvadrát eukleidovské normy00 % 4Kvadrát vážené normy65432,33 % 5Max norma60629,96 % 6Max norma vážená134533,49 % 7L1 norma1919,44 % 8L3 norma391,93 % 9L4 norma653,21 % 10L1 vážená94846,86 % 11L3 vážená67633,42 % 12L4 vážená78338,70 %
Závěr To, že se přiřazení u jednotlivých funkcní liší ještě nutně neznamená, že je to špatně. Každopádně můžeme usuzovat, že norma L1 je pro nás zajímavá z toho důvodu, že přiřazení se liší relativně málo, kdežto výpočetní nároky jsou mnohem menší.
Použitá literatura • obrázky z • Mluvíme s počítačem česky Josef Psutka, Jindřich Matoušek, Luděk Müller, Vlasta Radová