05_5_Gravitační pole Ing. Jakub Ulmann Zavádění inovativních metod a výukových materiálů do přírodovědných předmětů na Gymnáziu v Krnově 05_5_Gravitační pole Ing. Jakub Ulmann

5 Gravitační pole 5.1 Newtonův gravitační zákon 5.2 Intenzita gravitačního pole 5.3 Gravitační zrychlení 5.4 Gravitační a tíhová síla 5.5 Pohyby těles v homogenním tíhovém poli Země – vrhy 5.5.1 Svislý vrh 5.5.2 Vodorovný vrh 5.5.3 Šikmý vrh 5.6 Pohyby těles v centrálním gravitačním poli Země 5.7 Pohyby těles v gravitačním poli Slunce

5 Gravitační pole Isaac Newton v 17. století vyslovil revoluční myšlenku (během odpočinku pod jabloní na něj spadlo jablko), že padání předmětů k zemi a obíhání planet kolem Slunce způsobuje stejná síla. Vztah, který poté odvodil, je jeden z nejvýznamnějších zákonů fyziky. 5.1 Newtonův gravitační zákon Každá dvě tělesa se navzájem přitahují stejně velkými gravitačními silami. Velikost gravitační síly, kterou se přitahují dva hmotné body, je přímo úměrná součinu jejich hmotností a nepřímo úměrná druhé mocnině jejich vzdáleností.

r m1 m2 -Fg Fg Konstanta úměrnosti  se nazývá gravitační konstanta. = 6,67  10-11 N m2 kg-2 Platí pro tělesa ve tvaru koule, r je vzdálenost jejich středů. Př. 1: Příklady na počítání s čísly v exponenciálním tvaru.

Př. 2: Urči velikost gravitační síly, kterou přitahuje Slunce Zemi Př. 2: Urči velikost gravitační síly, kterou přitahuje Slunce Zemi. mz = 5,98  1024 kg, ms =1,99  1030 kg, vzdálenost Země-Slunce 1,5  1011 m. Slunce přitahuje Zemi silou 3,5  1022 N. Př. 3: Urči gravitační sílu, kterou tě přitahuje kamarád či učitel. Vzdálenost zvol 1 m. Je takto spočtený výsledek přesný? Pro dvě 100 kg osoby kulatého tvaru je síla 0,000 000 6 N. Př. 4: Urči gravitační sílu, kterou Země přitahuje kosmonauta o hmotnosti 80 kg a) na povrchu Země, b) na kosmické stanici ISS, která létá ve výšce 350 km nad povrchem Země. Poloměr Země je 6 378 km, hmotnost 5,98  1024 kg. Jak je možné, že se kosmonaut nachází v beztížném stavu? a) 784 N, b) 705 N, Síla je dostředivá a zatáčí pohyb...

5.2 Intenzita gravitačního pole Př. 1: Vypočti gravitační sílu, kterou Země ve vzdálenosti 10 000 km od jejího povrchu přitahuje: a) kosmonauta o hmotnosti 140 kg (se skafandrem), b) vesmírnou loď o hmotnosti 65 tun, c) upuštěný šroubovák o hmotnosti 0,5 kg. Mz = 5,98  1024 kg, Rz = 6 378 km 208 N, 96 400 N, 0,742 N Při výpočtu jsme postupovali stejně… r MZ m

Pro předměty, které se nacházejí ve vzdálenosti 10 000 km od povrchu Země, můžeme určit gravitační sílu, kterou je přitahuje Země, pomocí vzorce Fg = 1,48 ⋅ m Co udává číslo 1,48 pro bod ve vzdálenosti 10 000 km a číslo g = 10 pro povrch Země? Popisují gravitační pole Země (podobně elektrické a magnetické pole). Gravitační pole můžeme tedy popsat bez dalšího tělesa. MZ Fg -Fg m K = 10 K = 1,48 r

Intenzita gravitačního pole Intenzita gravitačního pole je vektorová veličina, její směr je shodný se směrem gravitační síly a udává velikost gravitační síly, kterou je přitahováno těleso o hmotnosti 1 kg. Př. 2: Určete jednotku intenzity gravitačního pole.

Jedná se o centrální gravitační pole (střed Země). Př. 3: Zakresli vektory intenzity gravitačního pole v označených bodech. Jedná se o centrální gravitační pole (střed Země). x x x x x x x

Př. 4: Zakresli vektory intenzity gravitačního pole v označených bodech. Jedná se o homogenní gravitační pole – ve všech místech stejný směr a velikost intenzity. x x x x x x x x x

5.3 Gravitační zrychlení Z Newtonova gravitačního zákona platí pro gravitační sílu Země: A zároveň z 2. Newtonova zákona platí obecně: Dostáváme vztah pro gravitační zrychlení: Největší hodnoty dosahuje na povrchu Země: Po dosazení: Gravitační zrychlení se počítá stejně jako intenzita gravitačního pole. Liší se významem a jednotkou.

Př. 5: Urči velikost gravitačního zrychlení na povrchu Jupiteru mJ = 1,9  1027 kg, RJ = 7,1  107 m aJ = 25 m s-2 Př. 6: Gravitační zrychlení na povrchu Země, jejíž poloměr je 6 370 km, je přibližně 9,8 m  s–2. Jaké je zrychlení ve výšce 6 370 km nad Zemí. 2.222 Jak velké je gravitační zrychlení na povrchu Měsíce, jehož hmotnost je 7,4  1022 kg a poloměr 1,7  106 m?  = 6,67  10-11 N m2 kg-2 1,7 m s-2 2.223 Gravitační zrychlení na povrchu Země, jejíž poloměr je 6 370 km, je přibližně 9,8 m  s–2. Vypočítejte hmotnost Země. 6  1024 kg

5.4 Gravitační a tíhová síla V důsledku rotace Země (nacházíme se na neinerciální soustavě) působí na tělesa na povrchu Země setrvačná odstředivá síla. Tíhová síla je výslednice síly gravitační a této síly odstředivé (setrvačné). Působením tíhové síly vzniká tíhové zrychlení. Svislý směr je směr tíhové síly a směr tíhového zrychlení.

Př. 1: Přiřaď uvedené hodnoty tíhového zrychlení: 9,83 m ⋅ s-2, 9,78 m ⋅ s-2, 9,81 m ⋅ s-2 místům na Zemi (ČR, rovník, pól). Mezinárodní dohodou je stanoveno také normální tíhové zrychlení 9,80655 m ⋅ s-2. Pro většinu technických výpočtů stačí i zaokrouhlená hodnota 10 m ⋅ s-2. Hovoříme také o tíhovém poli. Působení tíhové síly znázorňujeme v těžišti tělesa. Stav beztíže – předmět na své okolí nepůsobí tíhou.

Př. 2: Urči sílu zakreslenou v obrázku. Zakreslená síla je síla, kterou působí kulička na podložku. Právě tato síla, která je důsledkem působení gravitace na kuličku, se označuje jako tíha (značí se G) ⇒ tíha vyjadřuje působení gravitačně přitahovaného předmětu na okolí. Př. 3: Zakresli do obrázku tíhu kuličky. G

2.230 Jak velká tíhová síla působí na těleso o hmotnosti 100 kg a) na zeměpisném pólu, b) na rovníku? 2.226 až 2.229

5.5 Pohyby těles v homogenním tíhovém poli Země – vrhy 5.5.1 Svislý vrh Nejjednodušší druh vrhu. Hodíme těleso nahoru či dolů. Př. 1: Do obrázku nakresli několik poloh kamene, který volně padá z výšky h. Do každé polohy vyznač působící síly. Popiš pohyb kamene. Pro velikost odporu vzduchu zatím neznáme vzorec, ve všech příkladech budeme odpor vzduchu zanedbávat. Pokud kámen pouze pustíme, jedná se o volný pád:

Vrhy jsou složené pohyby Vrhy jsou složené pohyby. Skládají se z volného pádu a pohybu rovnoměrně přímočarého s počáteční rychlostí v0. Hodíme-li těleso dolů bude se jeho rychlost měnit podle vztahu: a dráha, kterou urazí bude: Pokud umístíme těleso do námi zvoleného souřadného systému, dostaneme: y x h

Př. 2: Kámen byl vržen do propasti 90 m hluboké počáteční rychlostí 15 m  s–1. V jaké výšce bude za 2 s. Jakou bude mít v této době rychlost? 35 m  s-1 40 m

Hodíme-li těleso svisle vzhůru bude se jeho rychlost měnit podle vztahu: a výška, kterou dosáhne za dobu t bude: Po určité době se těleso zastaví. Poté se začne pohybovat dolů. Př. 1: Do jaké maximální výšky vystoupá šíp vystřelený kolmo vzhůru rychlostí 45 m ⋅ s-1? Dosazuj postupně za čas, příp. odvoď vztahy, jak zjistit maximální výšku jednoduše. y x

V okamžiku max. výšky bude rychlost šípu nulová: To nám umožní spočítat dobu, za kterou vystoupá: Pak po dosazení: y x h

2.231 Chlapec vystřelil prakem svisle vzhůru kámen rychlostí 20 m  s–1. Určete a) velikost okamžité rychlosti kamene za dobu 1 s od počátku pohybu, b) okamžitou výšku kamene za dobu 1 s od počátku pohybu, c) do jaké největší výšky od místa vystřelení kámen vystoupí. 10 m  s–1, 15 m, 20 m 2.232 Jak velkou rychlostí tryská voda z trubice vodotrysku, jestliže vystupuje do výšky 5 m? 10 m  s–1 2.233 Těleso vržené svisle vzhůru vystoupilo do výšky 20 m. a) Jak velká byla jeho počáteční rychlost? b) Do jaké výšky by těleso vystoupilo na povrchu Měsíce, kde je tíhové zrychlení 6 krát menší než na povrchu Země? 20 m  s–1, 120 m

5.5.2 Vodorovný vrh Př. 1: Dokresli do obrázku trajektorii koule během pádu ze stolu. Které veličiny rozhodují o tom, jak daleko od stolu dopadne koule na zem? Jedná se o část paraboly s vrcholem v místě vrhu. O vzdálenosti dopadu rozhoduje výška stolu a počáteční rychlost koule.

Př. 2: Dokresli do obrázku několik poloh kuličky a nakresli síly, které na kuličku působí. Odpor vzduchu zanedbej. Jakým druhem pohybu se bude kulička pohybovat? Křivočarým, nerovnoměrným. Pohyb se takto těžce popisuje, proto jej rozdělíme na pohyb ve dvou směrech.

Budeme sledovat pohyb: ve vodorovném směru (souřadnice x): ve svislém směru (souřadnice y): Rychlost v můžeme určit z Pythagorovy věty. y v0 vx vy v x

Př. 3: Z ochozu věže, který je postaven ve výšce 30 m nad zemí, vystřelil lukostřelec vodorovně šíp rychlostí 35 m/s. Nakresli obrázek situace s trajektorií letu šípu. Do obrázku zakresli polohy určené v bodech a), b). a) Urči polohu a složky rychlosti šípu po uplynutí 1 s. b) Urči polohu a složky rychlosti šípu po uplynutí 2 s. c) Odhadni, jak daleko od paty věže šíp dopadne. d) Urči výpočtem, jak daleko od paty věže šíp dopadne. e) Pod jakým úhlem se šíp zabodne do Země? a) 35 m, 25 m b) 70 m, 10 m d) šíp poletí tak dlouho, dokud nedopadne na zem, tedy: = 2,45 s e) 55°

2.238 Z věže vysoké 45 m byl vržen vodorovným směrem míč počáteční rychlostí 10 m  s–1. Určete souřadnice polohy míče za dobu t1 = 1 s, t2 = 2 s, t3 = 3 s od počátku jeho pohybu. Ve vhodném měřítku pak nakreslete trajektorii míče. 10, 40 20, 25 30, 0 Př. 4: Po stole se kutálí kulička. Najdi postup, kterým je možné změřit její rychlost pouze pomocí metru (tedy bez stopek).

5.5.3 Šikmý vrh Hod oštěpem, balistika ve vojenství apod. Úhel α se nazývá elevační úhel. Opět se skládá rovnoměrný přímočarý pohyb ve směru rychlosti v0 a volný pád. Trajektorie je ve tvaru paraboly. U skutečných pohybů (odpor vzduchu) je délka vrhu ve směru osy x menší. Do stejného místa se dostaneme dvěma způsoby. v0 α

5.6 Pohyby těles v centrálním gravitačním poli Země Př. 1: Nakresli obrázek se Zemí a družicí obíhající okolo ní po kruhové dráze. Nakresli do obrázku síly, které působí na družici. Odvoď vztah pro výpočet kruhové rychlosti v závislosti na vzdálenosti družice od středu Země. Gravitační síla zakřivuje dráhu, plní funkci dostředivé síly. Za poloměr dosazujeme poloměr Země RZ plus výšku h nad Zemí.

Pro kruhovou dráhu dostaneme rychlost vk: Pro každou vzdálenost od středu Země existuje jedna hodnota vyhovující kruhové rychlosti, hodnoty kruhové rychlosti se zmenšují se vzdáleností od středu Země.

Př. 2: Urči kruhovou rychlost pro následující oběžnice Země (Hmotnost Země je 5,98  1024 kg, poloměr 6 370 km): a) sondu ve vzdálenosti 20 000 km od středu Země, b) kosmickou stanici ISS (obíhá ve vzdálenosti 350 km nad povrchem Země), c) Měsíce (obíhá ve vzdálenosti 384 000 km od Země). Pro Měsíc urči dobu oběhu a porovnej výsledek se skutečností. 4466m/s, 7700m/s, 1020m/s Udávaná oběžná doba: 27 dní 7 hodin. Nejznámější kruhovou rychlost pro družice Země získáme, když dosadíme nulovou výšku nad povrchem Země: 6370 km. Tato hodnota kruhové rychlosti se nazývá první kosmická rychlost. Její velikost je 7,9 km/s.

Umíme vypočítat hodnotu tzv Umíme vypočítat hodnotu tzv. kruhové rychlosti v libovolné výšce nad Zemí. Pokud bude rychlost v dané výšce menší, bude se těleso pohybovat po eliptické dráze. Při větší rychlosti, než je první kosmická, také. Applet: Orbit Dosažením tzv. druhé kosmické rychlosti opouští těleso gravitační pole Země a pohybuje se po trajektorii parabolické.

Se vzdáleností kruhová rychlost klesá, existuje tedy vzdálenost, ve které družice oběhne Zemi jednou za 1 den. Taková družice „stojí“ nad jedním konkrétním místem na zemském povrchu a proto se jí říká geostacionární. DÚ: Najdi na internetu význam slov perigeum a apogeum. Nakresli do obrázku Země a sondy s eliptickou oběžnou drahou oba body. Dále najdi význam a hodnotu 3. kosmické rychlosti.

Pohyby planet okolo Slunce se řídí Keplerovými zákony. 5.7 Pohyby těles v gravitačním poli Slunce Slunce působí na všechna tělesa sluneční soustavy poměrně velkými gravitačními silami. S heliocentrickým názorem vystoupil v 16. století polský hvězdář M. Koperník. Tycho Brahe (dvorní astronom císaře Rudolfa II. v Praze) shromáždil nejlepší data o pozorování oblohy na světě. Po jeho smrti (prý kvůli zmiňovaným údajům) se do Prahy přestěhoval Johannes Kepler a na jejich základě zformuloval tři zákony o pohybu planet. Pohyby planet okolo Slunce se řídí Keplerovými zákony.

První Keplerův zákon Planety se pohybují kolem Slunce po elipsách málo odlišných od kružnic, v jejichž společném ohnisku je Slunce.

Elipsa Je dána poloosami a, b. Kromě středu S má dva další významné body – ohniska elipsy E, F. Elipsa je množina bodů, které mají od ohnisek stejný součet vzdáleností. Zahradní konstrukce elipsy využívá právě ohniska, do kterých se připevní provázek a jeho vypínáním se postupně nakreslí elipsa. Další je proužková metoda…

Př. 1: Odhadni význam termínů perihélium, afélium. Významné body na oběžné dráze: Perihélium – místo na oběžné dráze, ve kterém je oběžnice nejblíže ke Slunci (jako perigeum). Afélium – místo na oběžné dráze, ve kterém je oběžnice nejdále od Slunce (jako apogeum).

Oběžnice se nepohybují celou dobu stejnou rychlostí, tento rozdíl je však dobře pozorovatelný pouze u komet. V okolí perihélia je rychlost oběžnice největší.

Průvodič planety je úsečka spojující střed planety a střed Slunce. Druhý Keplerův zákon Obsahy ploch opsaných průvodičem planety za jednotku času jsou konstantní. Průvodič planety je úsečka spojující střed planety a střed Slunce. Př. 2: Nakresli obrázek oběžné dráhy komety kolem Slunce a znázorni druhý Keplerův zákon.

Rychlost komet i planet v perihéliu je větší než rychlost v aféliu Rychlost komet i planet v perihéliu je větší než rychlost v aféliu. Pohyb komet i planet je nerovnoměrný. Př. 3: Například na severní polokouli Země trvá zimní půlrok (od podzimní rovnodennosti do jarní) 179 dní, zatímco letní půlrok (od jarní rovnodennosti do podzimní) 186 dní. Kdy je Země nejblíže ke Slunci? Znázorněte. Zimní půlrok je kratší ⇒ Země se pohybuje větší rychlostí ⇒ v zimě je blíže ke Slunci než v létě. Skutečnost, že v létě je na severní polokouli větší teplo, není způsobena menší vzdáleností od Slunce, ale úhlem dopadu slunečních paprsků.

Třetí Keplerův zákon. Poměr druhých mocnin oběžných dob dvou planet se rovná poměru třetích mocnin hlavních poloos jejich trajektorií. Př. 4: Zapiš 3. Keplerův zákon vzorcem. Oběžnou dobu značíme T, hlavní poloosu a. Jednou z planet je Země: T = 1 rok, a = 1 AU (astronomical unit, asi 150  106 km) ⇒ upravíme vzorec do tvaru:

Př. 5: Určete střední vzdálenost planety Uran od Slunce, je-li její oběžná doba 84 let.

Autor prezentace a ilustrací: Ing. Jakub Ulmann Fotografie použité v prezentaci: Na snímku 1: Ing. Jakub Ulmann Použitá literatura a zdroje: [1] RNDr. Milan Bednařík, CSc., doc. RNDr. Miroslava Široká, CSc.: Fyzika pro gymnázia - Mechanika, Prometheus, Praha 2007 [2] Doc. RNDr. Oldřich Lepil, CSc., RNDr. Milan Bednařík, CSc., doc. RNDr. Miroslava Široká, CSc.: Fyzika – Sbírka úloh pro střední školy, Prometheus, Praha 2010 [3] Mgr. Jaroslav Reichl: Klíč k fyzice, Albatros, Praha 2005 [4] Mgr. Jaroslav Reichl, www.fyzika.jreichl.com [5] Mgr. Martin Krynický, www.realisticky.cz