2. Vybrané základní pojmy matematické statistiky 2.1. Náhodný jev, pravděpodobnost Experiment (E) - je definován předpisem, který specifikuje množinu možných výsledků {VE}. Výsledek experimentu v  {VE } Příklad: kostka {VE}  {. , : , :. , :: , :.: , :::} vážení {VE}  { (hmotnosti) } Náhodný jev A na experimentu E ( AE): je zadán pravidlem, které určuje, zda jev nastal, či nenastal A(E) - je určen množinou pozitivních výsledků

Speciálně: náhodný výběr (N) - Příklad: Experiment E  házení kostkou Jevy: AE  {. ,: , :.} , BE  {:: , :.: ,:::} Náhodná proměnná x na experimentu E ( xE ) ): je určena pravidlem, které výsledku experimentu přiřazuje číslo jako hodnotu náhodné proměnné Příklad: E  házení kostkou x  n  počtu bodů, diskretní náhodná proměnná x {1,2,...,6} E  vážení x  m  hmotnost (SI), spojitá náhodná proměnná x {0 ,  } Speciálně: náhodný výběr (N) - experiment, jehož množina výsledků je konečná a realisace žádného z nich není upřednostněna Příklad: házení kostkou E  N x N  {1,2,...,6}

Nechť Ai, E jsou jevy na experimentu E potom: Definice: Nechť Ai, E jsou jevy na experimentu E potom: 1) jev non AE  jev A nenastane 2) jev  nastane alespoň jeden z jevů Ai, E 3) jev  nastane každý z jevů Ai E Speciálně:  jevy vzájemně disjunktní ( - prázdná množina výsledků)

Definice pravděpodobnosti (teorie míry): Nechť je experiment E zadán množinou - {VE}. Na experimentu E nechť jsou dále zadány jevy AE a BE svými množinami výsledků - {VA}, {VB}; {VA},{VB} {VE}. Definujeme: pravděpodobnost jevů A, B jako míru podmnožin {V(A)},{V(B)} následujícími pravidly: 1) PA,B  0 2) PV = 1 3) p(AB)  pA + pB  p(AB)

Příklad experiment (E)  házení kostkou  náhodný výběr {x N}  {1,2,..,6}, nechť jevy Ai  {i }, i = 1,...,6 , potom A Ai  {1,..,6}{VN} pA = 1 = , zároveň pAi = p; (i,k = 1,..,6) Potom 1= = = 6 p  p = 1/ 6 ; Pro náhodný výběr platí: kde nA je počet prvků množiny {VA} a n je počet prvků množiny {VN} – redukovaná velikost podmnožiny.

Jev opačný: Nechť: A  {VA}, nonA  {VnonA} {VA} {VnonA}  {VE}, {VA} {VnonA}   Potom: p(A  nonA) = pA + pnonA = 1 a tedy: pnonA = 1 – pA Spojení experimentů: Definice: Experiment E, který je spojením experimentů E i , (i = 1,..,n) má  za množinu výsledků kartézský součin množin {VE i}, kde {VE i} jsou množiny výsledků experimentů E i . E  E1 . E2 . E3 . . . En , {VE}  {VE1}x{VE2}x{VE3}x.....x{VEn} Příklad: Současné házení dvěma kostkami N1  {1,2,...,6}, N2  {1,2,...,6} E  N1. N2 , {VE}  {(1,1) , (1,2) ,.., (1,6) , (2,1) , (2,2) ,.., (6,6)}, nE = 36

Nezávislé experimenty: Definice: Experimenty jsou nezávislé, pokud provedení jednoho nezávisí na provedení druhého. Pravděpodobnosti jevů na nezávislých experimentech jsou pak také nezávislé Náhodný jev na spojení experimentů: Definice: náhodný jev na spojení experimentů je definován množinou výsledků: {VA}  {VA1}x {VA2}x {VA3}x ...x {VAn} Nezávislé jevy: Definice: jevy jsou nezávislé, jsou-li definovány na nezávislých experimentech Pro náhodný jev na spojení nezávislých experimentů platí

Opakování experimentu: Příklad: házení dvěma kostkami - i = 2 jev A1 na N1: {VA1}  {1, 2}, pA1 = 2 / 6 jev A2 na N2: {VA2}  {3, 4, 6}, pA2 = 3 / 6 A = A1 . A2 , {VA}  {VA1} x {VA2} {VN1.N2} má 36 prvků, {VA} má 6 prvků pA = 6 / 36 = pA1 . pA2  jevy nezávislé Opakování experimentu: Označme: En  (E.E ... E)n , n-krát opakovaný experiment E a dále: {VE} množinu výsledků experimentu E Potom: En  {{VE} x {VE ) x ....x {VE}n

Jev na opakování experimentu: Je-li definován jev AE  {VA}, potom: AE  {{VA} x {VA} x...x {VA}}n , Alternativní definice pravděpodobnosti: - využitím pojmu relativní četnosti při nezávislém opakování experimentu. Není omezena na experimenty typu náhodný výběr. Relativní četnost jevu A: Jako pravděpodobnost jevu A potom označíme: Příklad užití: integrace metodou Monte-Carlo

2.2. Rozdělení pravděpodobnosti Definice: Rozdělením pravděpodobnosti nazýváme funkci, která hodnotám náhodné proměnné přiřazuje jejich pravděpodobnost a) diskrétní náhodná  proměnná  Rovnoměrné rozdělení: Mějme experiment typu náhodný výběr s množinou výsledků {V}  {v1 ,v2 ,...vn } Dále mějme na tomto experimentu jevy Ai  {vi}, i=(1,....,n) Potom rovnoměrné rozdělení pravděpodobnosti je dáno podmínkou, pAi = p , pro všechna i = (1,..,n). Užitím normovací podmínky:

Binomické rozdělení: Mějme experiment typu náhodný výběr definujme na něm jev s pravděpodobností p. jaká je pravděpodobnost P(k), že při N-násobném nezávislém opakování experimentu nastane jev s pravděpodobností p právě k-krát, k = (0,1,2,...,N)? P(k) = C(k) pk (1-p)N-k k - diskrétní náhodná proměnná, p, N parametry. Normovací podmínka: Z toho:

Poissonovo rozdělení: Rozdělení pravděpodobnosti počtu výskytů náhodného jevu v určitém intervalu (časovém, prostorovém) Příklad: počet emisí -kvant v časovém intervalu (0,t) počet překlepů na stránce textu Předpoklady pro odvození rozdělení: i) realisace náhodného jevu jsou navzájem nezávislé‚ ii) pravděpodobnost realisace jevu v malém intervalu je úměrná velikosti tohoto intervalu: P(t,t+dt) =  .dt iii) pravděpodobnost současné realisace (též místně) dvou jevů je nulová.

b) spojitá náhodná proměnná množina možných výsledků experimentu je spojitá – interval, plocha, objem Definice: pravděpodobnost výskytu náhodné proměnné v intervalu (x, x+dx) je úměrná velikosti intervalu dx : p(x) - hustota (rozdělení) pravděpodobnosti. Normování:

Rovnoměrné rozdělení: Mějme spojitou náhodnou proměnnou v jednorozměrném intervalu <a,b>. Je-li: hovoříme o rovnoměrném rozdělení Užitím normovací podmínky: Dostaneme:

rovnoměrně se otáčející, náhodně střílející dělo Cauchyho rozdělení: Mějme náhodnou proměnnou   <-/2, /2 > s rovnoměrným rozdělením. Příklad: rovnoměrně se otáčející, náhodně střílející dělo x  Jaké je rozdělení zásahů v cílové rovině v jednotkové vzdálenosti? Pravděpodobnost výstřelu v intervalu <,+d> je dána funkcí: p() = konst.

Transformace proměnných (viz obr.): Cauchyho rozdělení: Transformace proměnných (viz obr.): Potom a tedy: Seminární úloha 2.1.:  Nalezněte funkci popisující rozdělení pravděpodobnosti výskytu matematického kyvadla v intervalu <-A,+A> v aproximaci malého rozkmitu. Návod: uvažte souvislost mezi pohybem koncového bodu matematického kyvadla a rovnoměrným pohybem po kružnici o poloměru A.

Normální (Gaussovo) rozdělení: Definice: Nechť je dána spojitá náhodná proměnná x v intervalu x  (-, + ). Normálním rozdělením nazýváme funkci ve tvaru: =0  střední hodnota 2 disperse (variance, rozptyl)  standartní odchylka. Seminární úloha 2.2.: Dokažte, že Normální rozdělení má v bodech x =    inflexní body.

Charakteristiky rozdělení P(-a,+a)  0.683 2 0.955 3 0.997 2/3 0.5

2.3. Střední hodnota, momenty náhodné veličiny Definice: mějme spojitou náhodnou proměnnou x na intervalu < a,b > s rozdělením pravděpodobnosti p(x). Potom střední hodnota x  < x > je definována vztahem: Obdobně pro diskrétní náhodnou proměnnou k platí: pro funkci h(x) náhodné proměnné x na intervalu <a,b> je: Dále platí: a obdobně:

Definice: mějme spojitou náhodnou veličinu x na intervalu V. Potom n-tým momentem náhodné veličiny x nazýváme veličinu: Pro diskrétní náhodnou veličinu analogicky: Příklad: n = 1, Definice: mějme spojitou náhodnou veličinu x na intervalu V. Potom n-tým centrálním momentem náhodné veličiny nazýváme výrazy: Pro diskrétní náhodnou veličinu analogicky:

Příklad: n = 2, Dále platí: Definice: asymetrií rozdělení nazýváme veličinu: Příklad: Asymetrie rozdělení symetrického kolem střední hodnoty je nula (plyne přímo z definice třetího centrálního momentu).

Příklad: střední hodnota Binomického rozdělení:

Dk = N.p.(1-p) a k3c = N.p.(1-p).(1-2p) Seminární úloha 2.3.: Dokažte, že pro Binomické rozdělení platí: Dk = N.p.(1-p) a k3c = N.p.(1-p).(1-2p) Poznámka: pro p = 1/2 je k3c = 0 a rozdělení je symetrické kolem střední hodnoty. Seminární úloha 2.4.: Dokažte, že pro Poissonovo rozdělení platí: a) <k> = , b) Dk = , c)  = -1/2 Seminární úloha 2.5.: Dokažte, že pro Normální rozdělení platí: a) <x> = , b) Dx = 2, c)  = 0 Návod: užijte vztahy:

2.4 Rozdělení pravděpodobnosti více náhodných veličin Definice: Mějme dvě spojité náhodné proměnné x, y definované na intervalech Vx , Vy, s rozdělení pravděpodobnosti p(x) a q(y). Pravděpodobnost, že x  (x,x+dx) a zároveň y  (y,y+dy) je dána rozdělením (x,y) ve tvaru: V případě nezávislých veličin je zřejmě:

Definice: mějme spojité náhodné veličiny x, y, na intervalech Vx , Vy se středními hodnotami x , y . Potom kovariance Cx,y je dána vztahem: Dále vypočítáme: Příklad: Definice: korelačním koeficientem dvou náhodných veličin, nazýváme veličinu:

najděte hodnotu korelačního koeficientu, jsou-li veličiny x, y: lineárně závislé (y = ax+b) b) nezávislé Příklad: Řešení: a) b)

Střední hodnota součtu náhodných veličin: Mějme náhodné veličiny xi , i=1,2,....., a jejich součet: potom: Příklad: střední hodnota aritmetického průměru – Jde-li o stejné veličiny:

Střední hodnot součinu náhodných veličin: Mějme náhodné veličiny xi , i=1,2,.....,n a jejich součin: Potom: Střední hodnot součinu nezávislých veličin: Potom:

Disperse součtu náhodných veličin: Mějme náhodné veličiny xi , i=1,2,... . Označme: Potom:

Jsou –li veličiny xi jsou nezávislé (pro všechna i), tedy Cxi,xj = 0 pro všechna (i,j= 1,2,..), potom: Disperse lineární kombinace náhodných veličin: Nechť: potom: v případě lineárně nezávislých veličin: Příklad: Stanovte dispersi aritmetického průměru n nezávislých opakování téže veličiny o střední hodnotě x a dispersi Dx .

2.5. Centrální limitní věta Nechť je náhodná veličina x popsána rozdělením p(x) se střední hodnotou x a konečnou dispersí Dx , potom se rozdělení pravděpodobnosti: aritmetického průměru n hodnot veličiny x: s rostoucím n blíží k Normálnímu rozdělení N(x): se střední hodnotou: a dispersí: Na typu rozdělení p(x) nezáleží !!!

Seminární úloha 2.6.: Dokažte, že při „náhodné procházce“ (random walk) platí pro střední hodnotu čtverce vzdálenosti uražené po N krocích: , kde L je velikost jediného kroku. (random walk - pohyb po krocích  L se stejnou pravděpodobností p=1/2) Návod: užijte Binomického rozdělení a definice střední hodnoty. Seminární úloha 2.7.:  Vypočítejte střední hodnotu a dispersi rovnoměrného, spojitého rozdělení v intervalu <a,b>. Seminární úloha 2.8.:  Vypočítejte střední hodnotu a dispersi rovnoměrného diskrétního rozdělení veličiny k v intervalu k <1,N>.