CW-057 LOGISTIKA 38. PŘEDNÁŠKA Lineární programování - aplikace AKREDITAČNÍ ZMĚNA OZNAČENÍ PŘEDMĚTU - CW13 NA CW057 CW-057 LOGISTIKA 38. PŘEDNÁŠKA Lineární programování - aplikace Březen 2017 © Ing. Václav Venkrbec © Ing. Václav Rada, CSc.

Další ….. METODY ŘEŠENÍ patřící do oblasti lineárního programování ☺ CW057 CW13 CW05 POKRAČOVÁNÍ Další ….. METODY ŘEŠENÍ patřící do oblasti lineárního programování ☺ Březen 2017

CW057 CW13 CW05 ….. touto další oblastí jsou Systémy dopravní obsluhy neboli Distribuční úloha – – dopravní problém (DP) …. ☺ Březen 2017

CW057 CW13 CW05 Distribuční a dopravní modely Modely daných (teoretických i reálných) problémů jsou konstruovány pro řešení rozhodovacích pro-blémů, se kterými se lze setkat zejména v oblasti klasické zásobovací, skladovací a distribuční logistiky. Tam pomáhají řešit otázky jak, co a jak dlouho skla-dovat, případně vyrábět, odkud kam, kolik a kdy pře-pravovat + k těmto činnostem jsou přiřazovány zdroje – pracovníci, materiál a hlavně informace. Březen 2017

CW057 CW13 CW05 Distribuční a dopravní modely Zjednodušeně řešeno – jde o procesy řešící vztah výroba (dodavatel) *** spotřebitel (zákazník) - - ve smyslu = jak pokrýt potřeby na straně spotřeby při daném množství produkce z výroby + při dobré ekonomice rozvozu - nezabývá se formou vlastní dopravy a organizací kudy vést rozvozové trasy - nezabývá se ani vlastními sklady a jejich provozem leden 2017

CW057 CW13 CW05 Dopravní a distribuční problém Matematický model je shrnout do problému „hledání řešení matice“ Březen 2017

vyhovující vlastním omezením ve tvaru CW057 CW13 CW05 vyhovující vlastním omezením ve tvaru Březen 2017

podmínky nezápornosti CW057 CW13 CW05 podmínky nezápornosti minimalizující funkci Březen 2017

CW057 Podrobnější text a vysvětlení jsou v ostatních před-náškových prezentacích týkajících se oblasti „LINEÁRNÍHO PROGRAMOVÁNÍ“ Následuje rozbor a popis konkrétního aplikačního příkladu pro osvětlení pos-tupu, jak principy matematických pros-tředků lineárního programování použít v jedné z aplikačních oblastí – je dopl-něním zadání této úlohy ve cvičeních. Březen 2017

ZADÁNÍ Stavební firma má přepravit materiál na stavbě silnice. Příklad LP Příklad pro pochopení problému aplikace lineárního programování CW057 ZADÁNÍ Stavební firma má přepravit materiál na stavbě silnice. Materiál bude vytěžen jako výkopek na třech různých úsecích silnice a poté musí být přepraven na čtyři různá místa pro zhotovení násypů – 200 000 m3. Výkaz množství výkopku v prvním úseku je 60 x 10 m3 ve druhém úseku 40 x 10 m3 - ve třetím úseku 100 x 10 m3. Pro zhotovení prvního násypu je potřeba dodat 30 x 10 m3, pro druhý násyp 70 x 10 m3, pro třetí násyp 45 x 10 m3 a pro čtvrtý násyp 55 x 10 m3. Únor 2017

kubatury m3 CW13 CW05 CW057 Příklad LP ZADÁNÍ Tabulka kubatur materiálu výkopků a násypů – [ m3 ] kubatury  m3 1. úsek - vykopané množství 60 000 2. úsek - vykopané množství 40 000 3. úsek - vykopané množství 100 000 1. úsek - nasypané množství 30 000 2. úsek - nasypané množství 70 000 3. úsek - nasypané množství 45 000 4. úsek - nasypané množství 55 000 Únor 2017

Náklady na přepravu vykopaného materiálu [ €/m3 ] CW13 CW05 CW057 Příklad LP ZADÁNÍ S ohledem na délku dopravních cest mezi jednotlivými úseky těžby a násypy byly přímo vypočteny náklady na dopravu – m3 vykopaného materiálu. Náklady na přepravu vykopaného materiálu [ €/m3 ]   1. násyp 2. násyp 3. násyp 4. násyp 1. úsek 0.70 1.00 1.50 1.20 2. úsek 1.10 0.80 0.60 0.90 3. úsek 0.50 2.00 Únor 2017

CW13 CW05 CW057 Příklad LP ZADÁNÍ Optimalizačním úkolem je zorganizovat přepravu vykopaného materiálu z výkopů do násypu tak, aby celkové náklady byly minimální. Únor 2017

CW13 CW05 CW057 Příklad LP ŘEŠENÍ Nejprve se sestaví účelová funkce nákladů přepra-vy vykopaného materiálu ST [ €/m3 ] min ST = 0.70 x1,1 + 1.00 x1,2 +1.50 x1,3 + 1.20 x1,4 + 1.10 x2,1 + 0.80 x2,2 +0.60 x2,3 + 0.90 x2,4 + 0.50 x3,1 + 2.00 x3,2 +0.70 x3,3 + 1.00 x3,4 Únor 2017

CW13 CW05 CW057 Příklad LP ŘEŠENÍ Poté jsou formulovány podmínky rovnosti pro množ-ství vyhloubeného materiálu / výkopku xi,j , který bude přepravován ze třech úseků: x1,1 + x1,2 + x1,3 + x1,4 = 60 x 103 m3 x2,1 + x2,2 + x2,3 + x2,4 = 40 x 103 m3 x3,1 + x3,2 + x3,3 + x3,4 = 100 x 103 m3 Únor 2017

CW13 CW05 CW057 Příklad LP ŘEŠENÍ Dále jsou formulovány podmínky rovnosti pro množ-ství přepraveného nasypaného materiálu xi,j, který bude dopravován do čtyř násypů: x1,1 + x2,1 + x3,1 = 30 x 103 m3 x1,2 + x2,2 + x3,2 = 70 x 103 m3 x1,3 + x2,3 + x3,3 = 45 x 103 m3 x1,4 + x2,4 + x3,4 = 55 x 103 m3 Únor 2017

Ʃim=1 ai = Ʃjn=1 bj = 200 x 103 m3 ŘEŠENÍ CW13 CW05 CW057 Příklad LP ŘEŠENÍ Z formulace optimalizačního modelu je patrné, že součet množství materiálu, který je vyhlouben ze tří úseků, se rovná součtu množství materiálů potřeb-ných pro výstavbu čtyř násypů Ʃim=1 ai = Ʃjn=1 bj = 200 x 103 m3 Jedná se tedy o tzv. uzavřený dopravní problém. Únor 2017

CW13 CW05 CW057 Příklad LP ŘEŠENÍ Dále již nejsou psána množství (s jednotným údajem 103 m3) a náklady [ €/m3 ] – je zřejmé, že zůstávají platné a samozřejmé - při výpočtech musí být stále respektovány. Nejprve je vhodné přepsat vstupní údaje o nabídce, potřebách a nákladech tohoto dopravního problému do tabulkového formátu. Únor 2017

ŘEŠENÍ Vstupní údaje o nabídce, potřebách a nákladech. CW13 CW05 CW057 Příklad LP ŘEŠENÍ Vstupní údaje o nabídce, potřebách a nákladech. Tečka v číslech hodnot matice zastupuje desetinnou čárku. Matice nákladů ci,j   b1 = 30 b2 = 70 b3 = 45 b4 = 55 a1 = 60 c1,1 = 0.70 c1,2 = 1.00 c1,3 = 1.50 c1,4 = 1.20 a2 = 40 c2,1 = 1.10 c 2,2 = 0.80 c 2,3 = 0.60 c 2,4 = 0.90 a3 = 100 c3,1 = 0.50 c 3,2 = 2.00 c 3,3 = 0.70 c 3,4 = 1.00 K proměnným jsou zde přiřazeny hodnoty tohoto příkladu. Únor 2017

CW13 CW05 CW057 Příklad LP ŘEŠENÍ Do druhé tabulky budou postupně vpisovány hodnoty jednotlivých výsledných proměnných Matice množství x0i,j   1 2 3 4 ai x1,1 x1,2 x1,3 x1,4 a1 = 60 x2,1 x 2,2 x 2,3 x 2,4 a2 = 40 x3,1 x 3,2 x 3,3 x 3,4 a3 = 100 bj b1 = 30 b2 = 70 b3 = 45 b4 = 55 Únor 2017

x0i*,j* = min {(ai* ) ; (bj* ) } CW13 CW05 CW057 Příklad LP ŘEŠENÍ Označí se indexy, které definují proměnné pro stano-vení hodnoty z(i*, j*). Hodnota základní proměnné x0i*,j* je vypočtena podle následující rovnice:   x0i*,j* = min {(ai* ) ; (bj* ) } ai* - součet všech proměnných x0i,j v řádku i* bj* - součet všech proměnných x0i,j v sloupci j* Únor 2017

CW13 CW05 CW057 Příklad LP ŘEŠENÍ Pro výpočet počátečního řešení x0i,j se použije me-toda nejnižších nákladů. V základním řešení má nejnižší základní proměnná hodnotu 0. Nejprve se v tabulce najdou buňky s nejnižší hodno-tou nákladů na dopravu ci,j. V uvedením případě je to c3,1 = 0.5 Únor 2017

CW13 CW05 CW057 Příklad LP ŘEŠENÍ Pomocí uvedené rovnice je vypočtena počáteční hodnota proměnné x03,1: x03,1 = min {(a3 - 0), (b1 - 0)} = min {(100 - 0), (30 - 0)} = 30 Pomocí dále uvedených kroků je vyřešena optimalizační úloha a to včetně příslušných testů. V následující tabulce je uveden první krok výpočtu řešení dopravního problému Únor 2017

CW13 CW05 CW057 Příklad LP ŘEŠENÍ Protože je nutné plně využít hodnotu násypu b1, eliminuje se první sloupec v matici nákladů. Matice nákladů ci,j Matice množství x0i,j   1 2 3 4 0.70 1.00 1.50 1.20 1.10 0.80 0.60 0.90 0.50 2.00   1 2 3 4 ai 60 40 30 100 bj 70 45 55 Únor 2017

CW13 CW05 CW057 Příklad LP ŘEŠENÍ Další základní proměnná pro určení hodnoty x0i,j se hledá ve vztahu k nejnižším nákladům na dopravu ci,j, a to z hodnot, které ještě nebyly odstraněny z matice nákladů. Ve druhém kroku je tou nejnižší směrodatnou hodnotou c2,3 = 0.60. Únor 2017

CW13 CW05 CW057 Příklad LP ŘEŠENÍ Pomocí uvedené rovnice vypočteme počáteční hodnotu proměnné x02,3: x02,3 = min {(a2 - 0), (b3 - 0)} = min {(40 - 0), (45 - 0)} = 40 V následující tabulce je uveden druhý krok výpočtu řešení dopravního problému. Únor 2017

CW13 CW05 CW057 Příklad LP ŘEŠENÍ Další úkolem je nezbytné plně využít hodnotu výkop-ku a2, eliminuje se druhý řádek v matici nákladů.  Matice nákladů ci,j Matice množství x0i,j   1 2 3 4 0.70 1.00 1.50 1.20 1.10 0.80 0.60 0.90 0.50 2.00   1 2 3 4 ai 60 40 30 100 bj 70 45 55 Únor 2017

CW13 CW05 CW057 Příklad LP ŘEŠENÍ Podobným způsobem se pokračuje v dalších krocích - vyhledají se počáteční hodnoty ostatních základních proměnných a to z hodnot, které ještě nebyly odstra-něny z matice nákladů. Volba počáteční hodnoty proměnné třetí základny je směrodatná hodnota c3,3 = 0.70. Únor 2017

CW13 CW05 CW057 Příklad LP ŘEŠENÍ Pomocí uvedené rovnice vypočteme počáteční hodnotu proměnné x03,3: x03,3 = min {(a3 – 30), (b3 - 40)} = min {(100 - 30), (45 - 40)} = 5 V následující tabulce je uveden třetí krok výpočtu řešení dopravního problému. Únor 2017

CW13 CW05 CW057 Příklad LP ŘEŠENÍ Protože je nutné plně využít kapacitu hodnoty násypu b3, eliminuje se třetí sloupec v matici nákladů. Matice nákladů ci,j Matice množství x0i,j   1 2 3 4 0.70 1.00 1.50 1.20 1.10 0.80 0.60 0.90 0.50 2.00   1 2 3 4 ai 60 40 30 5  100 bj 70 45 55 Únor 2017

CW13 CW05 CW057 Příklad LP ŘEŠENÍ Volba hodnoty čtvrté základní proměnné postihla dvě identické nejnižší hodnoty nákladů na dopravu c1,2 a c3,4, které se rovnají 1,00. Za proměnnou se vybere kterákoliv z hodnot matice. V tomto případě je zvolena např. c3,4. Volba počáteční hodnoty proměnné čtvrté základny je směrodatná hodnota c3,4 = 1,00. Únor 2017

CW13 CW05 CW057 Příklad LP ŘEŠENÍ Pomocí uvedené rovnice vypočteme počáteční hodnotu proměnné x03,4: x03,4 = min {(a3 - 35), (b4 - 0)} = min {(100 - 35), (55 - 0)} = 55 V následující tabulce je uveden čtvrtý krok výpočtu řešení dopravního problému. Únor 2017

CW13 CW05 CW057 Příklad LP ŘEŠENÍ Protože je nutné plně využít kapacitu hodnoty násypu b4, eliminuje se čtvrtý sloupec v matici nákladů. Matice nákladů ci,j Matice množství x0i,j   1 2 3 4 0.70 1.00 1.50 1.20 1.10 0.80 0.60 0.90 0.50 2.00   1 2 3 4 ai 60 40 30 5  55  100 bj 70 45 55 Únor 2017

ŘEŠENÍ V pátém kroku je směrodatná hodnota základní proměnné c1,2. CW13 CW05 CW057 Příklad LP ŘEŠENÍ V pátém kroku je směrodatná hodnota základní proměnné c1,2. Pomocí uvedené rovnice vypočteme počáteční hodnotu proměnné x01,2: x01,2 = min {(a1 – 0), (b2 - 0)} = min {(60 - 0), (70 - 0)} = 60 V následující tabulce je uveden pátý krok výpočtu řešení dopravního problému. Únor 2017

CW13 CW05 CW057 Příklad LP ŘEŠENÍ Protože je nutné plně využít kapacitu hodnoty násypu b2 postupně se eliminuje druhý sloupec. Matice nákladů ci,j Matice množství x0i,j   1 2 3 4 0.70 1.00 1.50 1.20 1.10 0.80 0.60 0.90 0.50 2.00   1 2 3 4 ai 60  60 40 30 5   55 100 bj 70 45 55 Únor 2017

ŘEŠENÍ Je zřejmé, že stále není plně využita kapacita b2. CW13 CW05 CW057 Příklad LP ŘEŠENÍ Je zřejmé, že stále není plně využita kapacita b2. Pomocí uvedené rovnice vypočteme počáteční hodnotu proměnné x03,2: x03,2 = min {(a3 – 0), (b2 - 0)} = min {(100 - 0), (70 - 0)} = 10 V následující tabulce je uveden šestý krok výpočtu řešení dopravního problému. Únor 2017

CW13 CW05 CW057 Příklad LP ŘEŠENÍ Protože je nutné plně využít kapacitu hodnoty násypu b2 dokončí se eliminace druhého sloupec. Matice nákladů ci,j Matice množství x0i,j   1 2 3 4 0.70 1.00 1.50 1.20 1.10 0.80 0.60 0.90 0.50 2.00   1 2 3 4 ai 60  60 40 30 10 5   55 100 bj 70 45 55 Únor 2017

ŘEŠENÍ Tyto kroky plně využily kapacitu zdrojů i spotřeby. CW13 CW05 CW057 Příklad LP ŘEŠENÍ Tyto kroky plně využily kapacitu zdrojů i spotřeby. Zapíše se vektor proměnných počátečního řešení dopravního problému x0 =(x01,1 , x01,2 , x01,3 , x01,4 , x02,1 , x02,2 , x02,3 , x02,4 , x03,1 , x03,2 , x03,3 , x03,4 ) = = (0 , 60 , 0 , 0 , 0 , 0 , 40 , 0 , 30 , 10 , 5 , 55) Únor 2017

CW13 CW05 CW057 Příklad LP ŘEŠENÍ Hodnotu účelové funkce pro počáteční řešení dopravního problému lze vypočítat podle rovnice ST0 = cT * x0 = Ʃmi=1 Ʃnj=1 ci,j * x0i,j Po vyčíslení ST0 =(1.00 * 60 + 0.60 * 40 + 0.50 * 30 + 2.00 * 10 + 0.70 * 5 + 1.00 * 55) = 177.50 x 103 € Únor 2017

CW13 CW05 CW057 Příklad LP ŘEŠENÍ Po výpočtu počátečního řešení lineárního doprav-ního problému, bude proveden test optimálnosti řešení, tzn. zkontroluje se, zda je výpočet ze všech možných řešení rovněž optimálním řešením tohoto problému pomocí LP. Tento test optimálnosti funguje tak, že jsou identi-fikovány proměnné a pohybuje se jejich hodnotou pro dosažení zlepšení hodnoty cílové funkce. Únor 2017

CW13 CW05 CW057 Příklad LP ŘEŠENÍ Níže je uváděno testování optimálního řešení lineár-ního dopravního problému pomocí modifikované plánovací metody. Základní princip modifikované plánovací metody je ten, že náklady na každou dopravní buňku (i, j) jsou vyjádřeny pomocí součtu koeficientu řádku a koeficientu sloupce. Únor 2017

CW13 CW05 CW057 Příklad LP ŘEŠENÍ Nechť ui představuje koeficient součinitel i-tého řádku a vj koeficient j-tého sloupce. V prvním kroku testu optimálního řešení je stanoven jeden koeficient ui nebo vj jako nulový. V uvedeném případě je to koeficient třetího řádku u3 = 0, dle následující tabulky. Únor 2017

ŘEŠENÍ První krok testu optimálnosti hodnoty x0. CW13 CW05 CW057 Příklad LP ŘEŠENÍ První krok testu optimálnosti hodnoty x0. Matice nákladů ci,j   1 2 3 4 ui 0.70 1.00 1.50 1.20 1.10 0.80 0.60 0.90 0.50 2.00 vj Únor 2017

CW13 CW05 CW057 Příklad LP ŘEŠENÍ Vypočítáme hodnotu ui a vj pro základní proměnné xi,j, jejichž hodnoty jsou uvedeny v tabulce šestého kroku podle rovnice ci,j = ui + vj : v1 = c3,1 - u3 = 0.50 - 0 = 0.50 v2 = c3,2 - u3 = 2.00 - 0 = 2.00 v3 = c3,3 - u3 = 0.70 - 0 = 0.70 v4 = c3,4 - u3 = 1.00 - 0 = 1.00 u1 = c1,2 - v2 = 1.00 - 2.00 = -1.00 u2 = c2,3 - v3 = 0.60 - 0.70 = -0.10 ci,j zde představuje matici nákladů. Únor 2017

ŘEŠENÍ Druhý krok testu optimálnosti hodnoty x0. CW13 CW05 CW057 Příklad LP ŘEŠENÍ Druhý krok testu optimálnosti hodnoty x0. Matice nákladů ci,j   1 2 3 4 ui 0.70 1.00 1.50 1.20 -1,00 1.10 0.80 0.60 0.90 -0,10 0.50 2.00 vj 0,50 2,00 0,70 1,00 Únor 2017

CW13 CW05 CW057 Příklad LP ŘEŠENÍ Pro nezákladní proměnné xi,j, tj. u proměnné ve vektoru počátečního řešení x0 dosadíme nulu a vypočtou se náklady na přepravu z rovnice zi,j = ui + vj . Pro tento druhý krok testování optima bylo zaměněno označení matice nákladů z ci,j na zi,j proto, aby se jednotlivé kroky mezi sebou nepletly. z1,1 = u1 - v1 = -1.00 + 0.50 = -0.50 z1,3 = u1 - v3 = -1.00 + 0.70 = -0.30 z1,4 = u1 - v4 = -1.00 + 0.50 = 0.00 z2,1 = u2 - v1 = -0.10 + 0.50 = 0.40 z2,2 = u2 - v2 = -0.10 + 2.00 = 1.90 z2,4 = u2 - v4 = -0.10 + 1.00 = 0.90 Únor 2017

CW13 CW05 CW057 Příklad LP ŘEŠENÍ Test optimálnosti se provádí pomocí charakteristických buněk ki,j. Řešení lineárního dopravního problému je optimální, jestliže pro všechny buňky (i,j), platí ki,j = ci,j - zi,j ≥ 0. Co se týče základních proměnných, platí ci,j = zi,j a ki,j = 0, kontroluje se ….. Únor 2017

ŘEŠENÍ …... kontroluje se jen řešení pro nezákladní proměnné….. CW057 Příklad LP ŘEŠENÍ …... kontroluje se jen řešení pro nezákladní proměnné….. k1,1 = c1,1 - z1,1 = 0.70 - (-0.50) = 1.20 k1,3 = c1,3 - z1,3 = 1.50 - (-0.30) = 1.80 k1,4 = c1,4 - z1,4 = 1.20 - 0.00 = 1.20 k2,1 = c2,1 - z2,1 = 1.10 - 0.40 = 0.70 k2,2 = c2,2 - z2,2 = 0.80 - 0.80 = -1.10 k2,4 = c2,4 - z2,4 = 0.90 - 0.90 = 0.00 Únor 2017

CW13 CW05 CW057 Příklad LP ŘEŠENÍ Je zřejmé a viditelné, že charakteristická buňka k2,2 vykazuje zápornou hodnotu - to znamená, že vypoč-tené počáteční řešení dopravního problému x0 není optimální. Negativní hodnota charakteristické buňky říká o kolik poklesne hodnota v účelové funkci, pokud se hodnota proměnné zvýší o jednu jednotku. V příkladu by se celkové náklady na dopravu snížily o 1,10 € za každý další přepravovaný krychlový metr vybagrovaného materiálu z druhého úseku do dru-hého násypu. Únor 2017

CW13 CW05 CW057 Příklad LP ŘEŠENÍ Z průběhu dosavadního bylo zjištěno, že je nezbytné u nezákladní proměnné x2,2 vhodně navýšit její hodnotu - je potřeba určit, o kolik je možné zvýšit tuto hodnotu (±δ) a o kolik je tedy třeba změnit hodnoty zbývajících proměnných tak, aby bylo nalezeno možné řešení. Změny hodnot jsou zobrazeny v následující tabulce a jsou popsány v textu pod touto tabulkou. Únor 2017

CW13 CW05 CW057 Příklad LP ŘEŠENÍ V následujícím textu se bude používat řetězová metoda pro výpočet optimálního řešení tohoto dopravního problému. Řetěz představuje nezákladní proměnnou, pomocí které lze změnit správnost základnových proměn-ných – následující tabulka ukazuje proces změn v hodnotě nezákladní proměnné x2,2 a základních proměnných. Únor 2017

Změny hodnot nezákladních a základních proměnných. CW13 CW05 CW057 Příklad LP ŘEŠENÍ Změny hodnot nezákladních a základních proměnných. Množství ci,j   1 2 3 4 ai 60 +δ 40-δ 40 30 10-δ 5+δ 55 100 bj 70 45 Únor 2017

ŘEŠENÍ Napřed se provede krátká analýza předchozí tabulky. CW13 CW05 CW057 Příklad LP ŘEŠENÍ Napřed se provede krátká analýza předchozí tabulky. Pro proměnné x2,2 je zvyšující hodnota δ - pak se musí k proměnným v řádku 2, které jsou větší než nula, přičíst hodnota tohoto navýšení δ - pro udržení rovnováhy celkové hodnoty proměnných v řádku 2, tj. Ʃ4j=1 x2,j a kapacity a2. V řešeném případě je jediná proměnná x2,3 větší než nula, takže právě z této proměnné je převzata hodnota δ. Únor 2017

CW13 CW05 CW057 Příklad LP ŘEŠENÍ Důsledkem těchto změn je nerovnováha mezi celko-vou hodnotou ve sloupci 3, tj. Ʃ3i=1 xi,3 a kapacitou b3, takže se musí přičíst k proměnné x3,3 hodnota +δ. Stejně tak ve sloupci 2, tj. Ʃ3i=2 xi,2 ke kapacitě b2 se přičte +δ - dále se musí přičíst totéž také ve sloupci 3, tj. Ʃ4j=1 x3,j ke kapacitě a3. Vzhledem k tomu, že po doplnění o hodnotu +δ, je skutečný stav xi,j ≥ 0, potom řetězec +δ, 40-δ, 5+δ, a 10-δ bude znamenat všude kladné hodnoty. Výsledkem je, že maximální hodnota δ = 10 (viz dále). Únor 2017

CW13 CW05 CW057 Příklad LP ŘEŠENÍ Z logiky reálu věci je jasné, že nelze přepravovat zá-porné množství materiálu, ale můžeme definovat rovnováhu všech měněných polí základních pro-měnných ci,j : pro c2,2 …. +δ ≥ 0 … max. δ = 0 pro c2,3 …. 40-δ ≥ 0 … max. δ = +40 pro c3,2 …. 10-δ ≥ 0 … max. δ = +10 pro c3,3 …. 5+δ ≥ 0 … max. δ = -5 Pro splnění nenulové δ a zároveň dosažení maxi-mální hodnoty, vycházíme z c3,2, proto maximální hodnotu δ volíme = 10. Únor 2017

CW13 CW05 CW057 Příklad LP ŘEŠENÍ Důsledkem uvedených úprav je možnost definovat nové základní možné řešení problémů s dopravou x1 a to takovým způsobem, že do počátečního řešení x0 je vložena hodnota δ = 10, jak je ve výsledku uvedeno v následující tabulce a bylo popsáno výše. Únor 2017

Nové počáteční řešení dopravního problému x1 CW13 CW05 CW057 Příklad LP ŘEŠENÍ Nové počáteční řešení dopravního problému x1   1 2 3 4 0.70 1.00 1.50 1.20 1.10 0.80 0.60 0.90 0.50 2.00 Matice nákladů ci,j Matice množství x0i,j   1 2 3 4 ai 60  60  10 30  40 30 15 55  100 bj 70 45 55 Únor 2017

CW13 CW05 CW057 Příklad LP ŘEŠENÍ Následně lze vypočítat vlastní hodnotu účelové funkce dopravního problému x1 podle rovnice ST1 = cT * x1 = Ʃmi=1 Ʃnj=1 ci,j * x1i,j Po vyčíslení ST1 =(1.00 * 60 + 0.80 * 10 + 0.60 * 30 + 0.50 * 30 + 0.70 * 5 + 1.00 * 55) = 166.50 x 103 € V dalším řešení by bylo možné (i vhodné) opět analogicky provést test optimálnosti řešení. Únor 2017

ŘEŠENÍ Příklad LP TO JE K DANÉMU PŘÍKLADU VŠE. CW057 ŘEŠENÍ TO JE K DANÉMU PŘÍKLADU VŠE. V literatuře lze nalézt celou řadu dalších příkladů nejen z podobné oblasti týkající se rozvozů a zásobování, ale i např. ze zadání receptur při výrobě různých směsí z daných zásob a za dané ceny, nebo dělení materiálů podle zadaných pravidel na příslušné díly, atp. Únor 2017

CW057 ZADÁNÍ ……. …..… cw057 – p. 38 březen 2017