Rovnost versus rovnice Úvod do lineárních rovnic

znaménko = je znaménko rovnosti čili rovnítko 3 auta = 3 auta Stejné množství aut v modré i zelené kružnici vyjádříme matematicky zápisem: 3 = 3 (3 se rovná 3) znaménko = je znaménko rovnosti čili rovnítko

Matematicky vyjádříme zápisem: Obdobně: a = 3 a 2 auta = 5 aut dohromady 5 aut Matematicky vyjádříme zápisem: 3 + 2 = 5 5 = 5

Matematicky vyjádříme zápisem: A stejně tak: X X X X a a = 3x a 4x = 2x a 5x dohromady 7x dohromady 7x Matematicky vyjádříme zápisem: 3x + 4x = 2x + 5x 7x = 7x

L = P Všechny uvedené příklady nazýváme ROVNOST. Rovnost je zápis toho, že se dvě čísla (číselné výrazy) nebo dva výrazy sobě rovnají. 8 - 5 = 37 - 34 24 = 24 2 . (4x – 1) = 8x - 2 5 . 6 = 15 . 2 8 . 3 = 24 4x = 4x 2 . 16 = (5 + 3) . 4 4 . 6 - 4 = 20 7 = 63 : 9 7x = 9x – 2x 3a + 4 . 5a = 26a – 3a 6 + 9 = 15 5y + 6y = 11y 8 - 5 = 37 - 34 3 + 7 = 5 + 5 L = P Levá strana rovnosti = Pravá strana rovnosti

Jak dokážeme, že se jedná o rovnost? Př: 3 . (4 + 2x) – (4x – 6) = 2 . (9 + x) 1. Úpravou obou stran rovnosti: L = 3 . (4 + 2x) – (4x – 6) = 12 + 6x – 4x + 6 = 18 + 2x P = 2 . (9 + x) = 18 + 2x L = P … jedná se o rovnost 2. Dosazením libovolného přirozeného čísla za neznámou: např.: x = 2 L = 3 . (4 + 2x) – (4x – 6) = 3 . (4 + 2 . 2) – (4 . 2 – 6) = = 3 . (4 + 4) – (8 – 6) = 3 . 8 – 2 = 24 – 2 = 22 P = 2 . (9 + x) = 2 . (9 + 2) = 2 . 11 = 22 L = P … jedná se o rovnost

A co když se stane, že se levá strana pravé nerovná? Př: 6x – (2x – 5) . 3 = 5x + 4 . (3 – x) – 12 Zjednodušíme obě strany: L = 6x – (2x – 5) . 3 = 6x – (6x – 15) = 6x – 6x + 15 = 15 P = 5x + 4 . (3 – x) – 12 = 5x +12 – 4x – 12 = x L ≠ P Nejedná se o rovnost, nýbrž o ROVNICI

Řešení, kořen rovnice: x = 4 Rovnice je zápis rovnosti dvou výrazů, ve kterém máme najít neznámé číslo tak, aby po jeho dosazení za proměnnou do levé a do pravé strany zápisu nastala rovnost. Př: x + 6 = 10 Hledanému číslu říkáme neznámá a označujeme ji libovolným písmenem. Najdeme-li takové číslo, hovoříme o řešení nebo kořenu rovnice. Řešení, kořen rovnice: x = 4 Zkouška dosazením: 4 + 6 = 10 10 = 10 L = P

Zjisti, zda se jedná o rovnost. Př. 1: 3 . (2x + 1) = 6 – 3x – 3 + 9x L = 3 . (2x + 1) = 6x + 3 P = 6 – 3x – 3 + 9x = 3 + 6x = 6x + 3 L = P … jedná se o rovnost Př. 2: 7y + 10 + 3y = (2y + 3) . 5 L = 7y + 10 + 3y = 10 y + 10 P = (2y + 3) . 5 = 10y + 15 L ≠ P … nejedná se o rovnost

Zjisti, zda se jedná o rovnost. Př. 3: 3 . (2x + 2) = 2 . (3x – 3) L = 3 . (2x + 2) = 6x + 6 P = 2 . (3x – 3) = 6x – 6 L ≠ P … nejedná se o rovnost Př. 4: 12z – 2 . (2 + 3 . 2z) = 8 + (2z – 3) . 4 – 8z L = 12 . (2 + 3 . 2z) = 12z – 2 . (2 + 6z) = = 12z – 4 – 12z = – 4 P = 8 + (2z – 3) . 4 – 8z = 8 + 8z – 12 – 8z = – 4 L = P … jedná se o rovnost