Charakteristický polynom uzavřená a otevřená smyčka Out of topic Charakteristický polynom uzavřená a otevřená smyčka

Analýza lineárních regulačních systémů v časové doméně V Modelice (ale i v Simulinku) máme blok TransfeFunction

Studijní materiály http://physiome.cz/atlas/sim/RegulaceSys/ Khoo: Physiological Control Systems Analýza systémů na fyziologických příkladech http://patf-biokyb.lf1.cuni.cz/wiki/cvut/mos_materialy usr:pwd biokyb:a6m33mos

výstup Přenos systému: Výstup/Vstup vstup

Systémy Spojité vs diskrétní Deterministické vs stochastické Časově proměnné vs časově invariantní Nezávisí na tom, „kolik je hodin“ Kauzální vs nekauzální Kauzální systém závisí pouze na minulých a současných hodnotách Derivace je přirozeně NEKAUZÁLNÍM výpočtem Tato kauzalita nemá nic společného s tím, že je modelica „akauzální“ Lineární vs nelineární

Lineární systémy Lineární systém (soustava) je systém, v němž platí princip superpozice. To znamená, že za předpokladu, že platí: Aditivita (výstupem pro součet dvou signálů bude stejný, jako součet výstupů pro tyto signály jednotlivě) Homogenita (výstup pro násobek jiného vstupu bude roven stejnému násobku výstupu pro tento vstup): Tyto podmínky lze také zapsat jako jedinou:

Superpozice řešení průtoku elektrického proudu skládání působení sil na hmotný bod je-li systém lineární a lze využít superpozice, je řešení takového systému často velmi jednoduché a jednoznačné. Chování takových systémů lze předpovědět i do budoucnosti.  Nelineární – nelze využít (např. dioda)

Linearizace Zvolím pracovní oblast (bod)

Linear time indiferent systems Systémová analýza Linear time indiferent systems LTI

LTI systémy Matematicky elegantní vztahy mezi vstupy a výstupy Lze určit výstupní odezvu na jakýkoli vstup Lze určit vstup při pozorování výstupu Čili: znám-li reakci na krátký vstup, mohu seskládat libovolný vstup a tím i libovolný výstup Nevytváří nové frekvenční složky, pouze zesiluje či potlačuje

Nejjednodušší model mechaniky dýchání Ventilátor - zdroj tlaku Setrvačnost Odpor Pružný vak Vnější atmosferický tlak

Nejjednodušší model mechaniky dýchání Ventilátor - zdroj tlaku Q - Průtok Pao   L - Inertance Setrvačnost   Odpor R- Rezistance PA   Po C - Kapacitance Pružný vak Vnější atmosferický tlak  

Nejjednodušší model mechaniky dýchání Ventilátor - zdroj tlaku Q - Průtok Pao Pao Vstup   L – Inertance   R- Rezistance Výstup PA PA     Po   C - Kapacitance     Vnější atmosferický tlak             řesení

Nejjednodušší model mechaniky dýchání     řesení ?

Logaritmické zrcadlo sčítání a odečítání násobení a dělení       sčítání a odečítání   násobení a dělení   Prostor obrazu   umocňování /odmocňování Prostor originálu     řesení

Laplaceovo zrcadlo Oblast komplexní proměnné (s) L{ } L-1{ }   L{ } L-1{ }   Prostor obrazu Oblast reálné proměnné (oblast času t) Prostor originálu     řesení ?

Laplaceovo zrcadlo Oblast komplexní proměnné (s) - úloha v obraze   - úloha v obraze Snadnější L{ }   - řešení úlohy v obraze Úloha v originále:   L-1{ } Nesnadné Řešení v originále:   Prostor obrazu Oblast reálné proměnné (oblast času t) Prostor originálu     řesení ?

Laplaceovo zrcadlo Derivování originálu Oblast komplexní proměnné (s)   Oblast komplexní proměnné (s)   - úloha v obraze Snadné L{ }   - řešení úlohy v obraze Úloha v originále:   L-1{ } Nesnadné Řešení v originále:   Prostor obrazu Oblast reálné proměnné (oblast času t) Prostor originálu

Laplaceovo zrcadlo Derivování originálu Oblast komplexní proměnné (s)   Oblast komplexní proměnné (s)   - úloha v obraze Snadnější L{ }   - řešení úlohy v obraze Úloha v originále:   L-1{ } Nesnadné Řešení v originále:   Prostor obrazu Oblast reálné proměnné (oblast času t) Prostor originálu

Laplaceovo zrcadlo Derivování originálu Oblast komplexní proměnné (s)   Oblast komplexní proměnné (s)   - úloha v obraze Snadnější L{ }   - řešení úlohy v obraze Úloha v originále:   L-1{ } Nesnadné Řešení v originále:   Prostor obrazu Oblast reálné proměnné (oblast času t) Prostor originálu

Laplaceovo zrcadlo Integrování originálu Oblast komplexní proměnné (s)   Oblast komplexní proměnné (s)   - úloha v obraze Snadnější L{ }   - řešení úlohy v obraze Úloha v originále:   L-1{ } Nesnadné Řešení v originále:   Prostor obrazu Oblast reálné proměnné (oblast času t) Prostor originálu

Laplaceovo zrcadlo Linearita obrazu a originálu   Oblast komplexní proměnné (s)     - úloha v obraze Snadnější L{ }   - řešení úlohy v obraze Úloha v originále:   L-1{ } Nesnadné Řešení v originále:   Prostor obrazu Oblast reálné proměnné (oblast času t) Prostor originálu

Laplaceovo zrcadlo Posun originálu (zpoždění) = útlum obrazu   Oblast komplexní proměnné (s)   - úloha v obraze Snadné L{ }   - řešení úlohy v obraze Úloha v originále:   L-1{ } Nesnadné Řešení v originále:   Prostor obrazu Oblast reálné proměnné (oblast času t) Prostor originálu

Laplaceovo zrcadlo Posun obrazu = útlum originálu   Oblast komplexní proměnné (s)   - úloha v obraze Snadné L{ }   - řešení úlohy v obraze Úloha v originále:   L-1{ } Nesnadné Řešení v originále:   Prostor obrazu Oblast reálné proměnné (oblast času t) Prostor originálu

Laplaceovo zrcadlo Změna měřítka (podobnost)   Oblast komplexní proměnné (s)     - úloha v obraze Snadné L{ }   - řešení úlohy v obraze Úloha v originále:   L-1{ } Nesnadné Řešení v originále:   Prostor obrazu Oblast reálné proměnné (oblast času t) Prostor originálu

Laplaceovo zrcadlo Příklady Wolfram Mathematica: Prostor obrazu Originál: f(t) Obraz: F(s)   1             Wolfram Mathematica:         Prostor obrazu …atd.   Prostor originálu  

Laplaceovo zrcadlo Příklady Prostor obrazu Prostor originálu Originál: y(t), x(t) Obraz: Y(s), X(s)     Prostor obrazu Prostor originálu

Laplaceovo zrcadlo Příklady Prostor obrazu Prostor originálu Originál: y(t), x(t) Obraz: Y(s), X(s)     Prostor obrazu Prostor originálu

Laplaceovo zrcadlo Příklady Prostor obrazu Prostor originálu Originál: y(t), x(t) Obraz: Y(s), X(s)     Prostor obrazu Prostor originálu

Laplaceovo zrcadlo Příklady Při nulových počátečních podmínkách: Originál: y(t), x(t) Obraz: Y(s), X(s) Při nulových počátečních podmínkách:     Prostor obrazu Prostor originálu

Laplaceovo zrcadlo Příklady Při nulových počátečních podmínkách: Originál: f(t) Obraz: F(s) Při nulových počátečních podmínkách:             Prostor obrazu Prostor originálu

Nejjednodušší model mechaniky dýchání Oblast komplexní proměnné (s)   - úloha v obraze Snadnější L{ }   - řešení úlohy v obraze Úloha v originále:   L-1{ } Nesnadné Řešení v originále:   Prostor obrazu Oblast reálné proměnné (oblast času t) Prostor originálu     řesení ?

PA(s)= LC s2 Pao(s) + RC s Pao(s) + Pao(s) Laplaceovo zrcadlo Oblast komplexní proměnné (s) Úloha v obraze:   PA(s)= LC s2 Pao(s) + RC s Pao(s) + Pao(s) Úloha v originále: Snadnější   L{ } Řešení úlohy v obraze: snadné   L-1{ } Nesnadné Řešení v originále:   ????????? nesnadné Prostor obrazu Oblast reálné proměnné (oblast času t) Prostor originálu

Nejjednodušší model mechaniky dýchání V Modelice (ale i v Simulinku) máme blok TransfeFunction      

Stejné výsledky   Parameters: a: {L*C,R*C,1} b: {1}

  Stejné výsledky

Přenosová funkce poměr Laplaceova obrazu výstupní veličiny k Laplaceovu obrazu vstupní veličiny při nulových počátečních podmínkách

Sestavení přenosové funkce Vnější popis systému diferenciální rovnice přenos a poloha pólů a nul přenosu systému přechodová funkce impulsní funkce kmitočtový přenos Vnitřní popis systému (okamžitý stav) Stavový popis (stavové veličiny)

Sestavení přenosové funkce Systém se vstupní u(t) a výstupní y(t) veličinou Laplaceova transformace Výsledný přenos

Paralelní kombinace přenosových funkcí Prostý součet přenosů

Seriová kombinace přenosových funkcí

V záporné zpětné vazbě

V kladné zpětné vazbě

Přechodová charakteristika Odezva na jednotkový (Haevisideův) skok časový průběh výstupní veličiny systému h(t)

Impulsní charakteristika Odezva na jednotkový (Diracův) impuls časový průběh výstupní veličiny systému h(t)

Nuly, póly, zesílení Kořeny charakteristické rovnice: Jsou v čitateli nuly (-n1..-nm) Jsou ve jmenovateli póly (-p1, … -pn) Zesílení je bm/an Např. Nuly 0, 0, -2, póly 0,0, -5, -6, -2, zesílení 3

Nejjednodušší model mechaniky dýchání Otevřená smyčka Uzavřená smyčka           k   Ventilátor - zdroj tlaku Q - Průtok Pao L - Inertance Setrvačnost   Odpor R- Rezistance   PA   Po C - Kapacitance Pružný vak   Vnější atmosferický tlak  

Přechodové odezva systému prvního řádu Otevřená smyčka Uzavřená smyčka Nebudeme uvažovat setrvačnost: L=0                               k  

Přechodové odezva systému prvního řádu na jednotkový impuls Otevřená smyčka Uzavřená smyčka Nebudeme uvažovat setrvačnost: L=0             k       Otevřená smyčka Uzavřená smyčka   1          

Přechodové odezva systému prvního řádu na jednotkový skok Otevřená smyčka Uzavřená smyčka Nebudeme uvažovat setrvačnost: L=0             k       Otevřená smyčka Uzavřená smyčka            

Přechodové odezva systému druhého řádu Otevřená smyčka Uzavřená smyčka Budeme uvažovat setrvačnost:           k

Přechodové odezva systému druhého řádu na jednotkový impuls   1 Budeme uvažovat setrvačnost:           4 typy chování  

Přechodové odezva systému druhého řádu na jednotkový impuls   1 Budeme uvažovat setrvačnost:           4 typy chování   1) Netlumená odezva L=0.01 cmH2O s2/L C=0.1 L /cm H2O Otevřená smyčka Uzavřená smyčka Když R=0: Imaginární kořeny            

Přechodové odezva systému druhého řádu na jednotkový impuls   1 Budeme uvažovat setrvačnost:           4 typy chování   2) Tlumená odezva L=0.01 cmH2O s2/L Otevřená smyčka Uzavřená smyčka C=0.1 L /cm H2O R=0.5 cm H2O/L   Komplexně sdružené kořeny          

Přechodové odezva systému druhého řádu na jednotkový impuls   1 Budeme uvažovat setrvačnost:           4 typy chování   3) Kriticky tlumená odezva Otevřená smyčka Uzavřená smyčka   dva stejné reálné kořeny      

Přechodové odezva systému druhého řádu na jednotkový impuls   1 Budeme uvažovat setrvačnost:           4 typy chování   L=0.01 cmH2O s2/L 4) Přetlumená odezva Otevřená smyčka Uzavřená smyčka C=0.1 L /cm H2O R=1 cm H2O/L   dva různé reálné kořeny      

Přechodové odezva systému druhého řádu na jednotkový skok (Podrobnosti viz kniha) 1) Netlumená odezva L=0.01 cmH2O s2/L C=0.1 L /cm H2O 2) Tlumená odezva L=0.01 cmH2O s2/L C=0.1 L /cm H2O R=0.5 cm H2O/L 3) Kriticky tlumená odezva L=0.01 cmH2O s2/L 4) Přetlumená odezva C=0.1 L /cm H2O R=1 cm H2O/L

Zobecnění dynamiky systémů druhého řádu                

Zobecnění dynamiky systémů druhého řádu X(s)     X(s)             k 1) Netlumená (undamped) odezva     Impuls:   Skok:    

Zobecnění dynamiky systémů druhého řádu X(s)     X(s)             k 2) Tlumená (underdamped) odezva     Impuls:     Skok:   kde:

Zobecnění dynamiky systémů druhého řádu X(s)     X(s)             k 3)Kriticky tlumená (underdamped) odezva     Impuls:     Skok:

Zobecnění dynamiky systémů druhého řádu X(s)     X(s)             k 4)Přetlumená (overdamped) odezva     Impuls:     Skok:

Charakteristika odezvy na impuls

Charakteristika odezvy na skok

Zpětné vazby –proporcionální, integrační a derivační

Statická analýzy fyziologických systémů Příklad Regulace srdečního výdeje

Regulace srdečního výdeje

Regulace srdečního výdeje Na konci diastoly: Na konci systoly: Systolický objem: Minutový objem: Qc>=0

Regulace srdečního výdeje Sympaticus - parasympaticus Diastolická dysfunkce

Regulace srdečního výdeje Sympaticus - parasympaticus Diastolická dysfunkce Intrapleurální tlak

Regulace srdečního výdeje Venózní návrat Mean systemic pressure Pms

Regulace srdečního výdeje Venózní návrat Mean systemic pressure Pms CV=18 CA

Regulace srdečního výdeje Uzavřená smyčka Sympatikus f Vasodilatace, RA venokonstrikce CV CA cvičení

Regulace srdečního výdeje Uzavřená smyčka Sympatikus f Vasodilatace, RA venokonstrikce CV CA CS CD Vv VA cvičení infarkt

Viz http://www. physiome

Frekvenční analýza lineárních regulačních systémů

Studijní materiál Chapter 5 Frequency-Domain Analysis of Linear Control Systems

Nejjednodušší model mechaniky dýchání Ventilátor - zdroj tlaku Setrvačnost Odpor Pružný vak Vnější atmosferický tlak

Nejjednodušší model mechaniky dýchání Ventilátor - zdroj tlaku Q - Průtok Pao ∆ 𝑃 𝐿 =𝐿 𝑑𝑄 𝑑𝑡 L - Inertance Setrvačnost ∆ 𝑃 𝑅 =𝑅𝑄 Odpor R- Rezistance PA ∆ 𝑃 𝐴 Po C - Kapacitance Pružný vak Vnější atmosferický tlak ∆ 𝑃 𝐶 = 1 𝐶 𝑄 𝑑𝑡

Nejjednodušší model mechaniky dýchání Ventilátor - zdroj tlaku Q - Průtok Pao Pao Vstup ∆ 𝑃 𝐿 =𝐿 𝑑𝑄 𝑑𝑡 L – Inertance ∆ 𝑃 𝑅 =𝑅𝑄 R- Rezistance Výstup PA PA ∆ 𝑃 𝑣 =∆ 𝑃 𝐿 +∆ 𝑃 𝑅 +∆ 𝑃 𝐶 ∆ 𝑃 𝐴 Po ∆ 𝑃 𝐴 = ∆𝑃 𝐶 C - Kapacitance 𝑃 𝑎𝑜 − 𝑃 𝑜 =𝐿 𝑑𝑄 𝑑𝑡 +𝑅𝑄+ 1 𝐶 𝑄 𝑑𝑡 ∆ 𝑃 𝑣 =𝐿 𝑑𝑄 𝑑𝑡 +𝑅𝑄+ 1 𝐶 𝑄 𝑑𝑡 Vnější atmosferický tlak ∆ 𝑃 𝐶 = 1 𝐶 𝑄 𝑑𝑡 𝑃 𝐴 − 𝑃 𝑜 = 1 𝐶 𝑄 𝑑𝑡 ∆ 𝑃 𝐴 = 1 𝐶 𝑄 𝑑𝑡 𝑉ý𝑠𝑡𝑢𝑝 𝑉𝑠𝑡𝑢𝑝 = 𝑃 𝐴 𝑡 𝑃 𝑎𝑜 𝑡 𝑃 𝑎𝑜 =𝐿𝐶 𝑑 2 𝑃 𝐴 𝑑 𝑡 2 +𝑅𝐶 𝑑𝑃 𝐴 𝑑𝑡 + 𝑃 𝐴 𝑃 𝑎𝑜 =𝐿𝐶 𝑑 2 𝑃 𝐴 𝑑 𝑡 2 +𝑅𝐶 𝑑𝑃 𝐴 𝑑𝑡 + 𝑃 𝐴 přenos

Nejjednodušší model mechaniky dýchání Pao PA 𝑉ý𝑠𝑡𝑢𝑝 𝑉𝑠𝑡𝑢𝑝 = 𝑃 𝐴 𝑡 𝑃 𝑎𝑜 𝑡 𝑃 𝑎𝑜 =𝐿𝐶 𝑑 2 𝑃 𝐴 𝑑 𝑡 2 +𝑅𝐶 𝑑𝑃 𝐴 𝑑𝑡 + 𝑃 𝐴 přenos

𝑃 𝑎𝑜 =𝐿𝐶 𝑑 2 𝑃 𝐴 𝑑 𝑡 2 +𝑅𝐶 𝑑𝑃 𝐴 𝑑𝑡 + 𝑃 𝐴

Stejné výsledky 𝑃 𝑎𝑜 =𝐿𝐶 𝑑 2 𝑃 𝐴 𝑑 𝑡 2 +𝑅𝐶 𝑑𝑃 𝐴 𝑑𝑡 + 𝑃 𝐴 Parameters: a: {L*C,R*C,1} b: {1}

𝐻 𝑠 = 𝑉ý𝑠𝑡𝑢𝑝 𝑉𝑠𝑡𝑢𝑝 = 𝑃 𝐴 𝑡 𝑃 𝑎𝑜 𝑡 = 1 𝐿𝐶 𝑠 2 +𝑅𝐶𝑠+1 Stejné výsledky

Budící vstup - 1 Hz Pao PA

Budící vstup - 3 Hz Pao PA

Budící vstup - 8 Hz Pao PA

Viz http://physiome.cz/atlas/sim/RegulaceSys/

𝑥 𝑖 = 𝐴 𝑖 sin 𝜔𝑡 𝑥 𝑎 = 𝐴 𝑎 sin (𝜔𝑡+𝜑) 𝑋 𝑖 = 𝐴 𝑖 𝑒 𝑗𝜔𝑡 𝑋 𝑎 = 𝐴 𝑎 𝑒 𝑗(𝜔𝑡+𝜑) 𝑋 𝑎 𝑋 𝑖 =F 𝑗𝜔 𝑇 𝑥 2 + 𝑥 2 = 𝑥 1 𝑋 ′ 𝑎 (𝜔𝑗) 𝑗𝜔 𝑋 𝑎 𝑗𝜔 𝑋 𝑖 𝑗𝜔 𝑋 ′ 𝑎 (𝜔𝑗)=𝑗𝜔 𝐴 𝑎 𝑒 𝑗𝜔𝑡 =𝑗𝜔 𝑋 𝑎 𝑗𝜔 𝑇𝑗𝜔 𝑋 𝑎 𝑗𝜔 + 𝑋 𝑎 𝑗𝜔 = 𝑋 𝑖 𝑗𝜔 (𝑇𝑗𝜔 +1) 𝑋 𝑎 𝑗𝜔 = 𝑋 𝑖 𝑗𝜔 F 𝑗𝜔 = 𝑋 𝑎 (𝑗𝜔) 𝑋 𝑖 (𝑗𝜔) = 1 1+𝑇𝑗𝜔

𝑇 𝑥 2 + 𝑥 2 = 𝑥 1 F 𝑗𝜔 = 𝑋 𝑎 (𝑗𝜔) 𝑋 𝑖 (𝑗𝜔) = 1 1+𝑇𝑗𝜔 𝑇 2 2 𝑥 2 + 𝑇 1 𝑥 2 + 𝑥 2 = 𝑥 1 F 𝑗𝜔 = 𝑋 𝑎 (𝑗𝜔) 𝑋 𝑖 (𝑗𝜔) = 1 1+ 𝑇 1 𝑗𝜔+ 𝑇 2 2 (𝑗𝜔) 2 𝑗𝜔=𝑠 F 𝑠 = 𝑋 𝑎 (𝑠) 𝑋 𝑖 (𝑠) = 1 1+ 𝑇 1 𝑠+ 𝑇 2 2 (𝑠) 2

𝐹 𝑠 = 𝑋 3 (𝑠) 𝑋 1 (𝑠) 𝑥 1 𝐹 1 𝑥 2 𝐹 2 𝑥 3 𝑥 1 𝐹 1 𝐹 2 𝑥 3 𝐹 1 𝑠 = 𝑋 2 (𝑠) 𝑋 1 (𝑠) 𝐹 2 𝑠 = 𝑋 3 (𝑠) 𝑋 2 (𝑠) 𝑋 2 (𝑠)= 𝐹 1 𝑠 𝑋 1 (𝑠) 𝑋 3 (𝑠)= 𝐹 2 𝑠 𝑋 2 (𝑠) 𝑋 3 (𝑠)= 𝐹 2 𝑠 𝐹 1 𝑠 𝑋 1 (𝑠) 𝑋 3 (𝑠)= 𝐹 2 𝑠 𝐹 1 𝑠 𝑋 1 (𝑠) 𝐹 𝑠 = 𝑋 3 (𝑠) 𝑋 1 (𝑠) = 𝐹 2 𝑠 𝐹 1 𝑠 𝑋 1 (𝑠) 𝑋 1 (𝑠) = 𝐹 2 𝑠 . 𝐹 1 𝑠

𝐹 𝑠 = 𝑋 4 (𝑠) 𝑋 1 (𝑠) = 𝐹 1 𝑠 + 𝐹 2 𝑠 𝐹 1 𝑥 2 𝑥 1 + 𝑥 4 𝑥 1 𝐹 1 +𝐹 2 𝑥 3 + 𝑥 3 𝐹 2

𝐹 𝑠 = 𝑋 2 (𝑠) 𝑋 1 (𝑠) = 𝐹(𝑠) 1+𝐹(𝑠) 𝑥 1 + 𝑥 0 𝐹 𝑥 2 𝑥 2 𝑥 1 1 1+𝐹 𝑥 2 - 𝑥 2 𝑋 2 𝑠 =𝐹 𝑠 . 𝑋 0 (𝑠) 𝑋 0 𝑠 = 𝑋 1 𝑠 − 𝑋 2 𝑠 𝑋 2 𝑠 =𝐹 𝑠 . 𝑋 1 𝑠 − 𝑋 2 𝑠 𝐹 𝑠 = 𝑋 2 (𝑠) 𝑋 1 (𝑠) = 𝐹(𝑠) 1+𝐹(𝑠)

𝐹 𝑠 = 𝑋 2 (𝑠) 𝑋 1 (𝑠) = 1 1+ 𝐹 1 (𝑠) 𝐹 2 (𝑠) 𝑥 1 + 𝑥 0 𝐹 1 𝑥 2 𝑥 2 𝑥 1 1 1+ 𝐹 1 𝐹 2 - 𝐹 2 𝐹 𝑠 = 𝑋 2 (𝑠) 𝑋 1 (𝑠) = 1 1+ 𝐹 1 (𝑠) 𝐹 2 (𝑠) 𝐹 1 𝑥 2 𝑥 0 1 1− 𝐹 1 𝐹 2 𝑥 1 + 𝐹 2 𝐹 𝑠 = 𝑋 2 (𝑠) 𝑋 1 (𝑠) = 1 1− 𝐹 1 (𝑠) 𝐹 2 (𝑠)

𝑥 1 + 𝑥 0 𝐹 𝑥 2 𝑥 2 𝑥 1 1 1+𝐹 𝑥 2 - 𝑥 2 𝑥 1 𝐹 1 𝑥 2 𝐹 2 𝑥 3 𝑥 1 𝐹 1 𝐹 2 𝑥 3 𝑥 1 + 𝑥 0 𝐹 1 𝑥 2 1 1+ 𝐹 1 𝐹 2 𝑥 2 𝑥 1 - 𝐹 2 𝑥 1 + 𝑥 0 𝐹 1 𝑥 2 𝑥 2 𝑥 1 1 1− 𝐹 1 𝐹 2 + 𝐹 2 Logaritmické vyjádření usnadní násobení

Logaritmické vyjádření usnadní násobení 𝑥 1 𝐹 1 𝑥 2 𝐹 2 𝑥 3 𝑥 1 𝐹 1 𝐹 2 𝑥 3 𝐹 𝑗𝜔 = 𝐹 1 𝑗𝜔 * 𝐹 2 𝑗𝜔 = 𝐹 1 𝑗𝜔 𝑒 𝑗 𝜑 1 𝜔 ∗ 𝐹 2 𝑗𝜔 𝑒 𝑗 𝜑 2 𝜔 Pro přenos pak platí: log 𝐹 𝑗𝜔 = log 𝐹 1 𝑗𝜔 + log 𝐹 2 𝑗𝜔 a: 𝜑 𝜔 = 𝜑 1 𝜔 + 𝜑 2 𝜔

Nyquistovy diagramy Viz též http://physiome.cz/atlas/sim/RegulaceSys/

Viz též http://physiome.cz/atlas/sim/RegulaceSys/

Frekvenční charakteristika biologického systému:

Frekvenční charakteristika biologického systému: Impulsní oscilometrie Klinické vyhodnocení RLC parametrů dýchacího systému

Niquistovo kritérium stability Frekvenční analýza rozpojeného regulačního obvodu Niquistovo kritérium stability Jednotkový budící signál S + - im R -1 1 re

Niquistovo kritérium stability Frekvenční analýza rozpojeného regulačního obvodu Niquistovo kritérium stability Jednotkový budící signál S + - im R -1 1 re

Niquistovo kritérium stability Frekvenční analýza rozpojeného regulačního obvodu Niquistovo kritérium stability Jednotkový budící signál S + - im R -1 1 re

Bodeovy diagramy 𝐹 𝑗𝜔 = 𝑋 2 (𝑗𝜔) 𝑋 1 (𝑗𝜔) = 𝐹(𝑗𝜔) 𝑒 𝑗𝜑 𝜔 poměr amplitud: 𝐹(𝑗𝜔) fáze přenosu: 𝜑 𝜔 ln 𝐹 𝑗𝜔 ln 𝐹(𝑗𝜔) +𝑗𝜑 𝜔 Amplitudové hodnoty jsou vyjádřeny v decibelech, což je dekadický logaritmus vstupního a výstupního signálu násobený dvaceti: 𝐹(𝑗𝜔) 𝑑𝑏 =20 log 10 𝐹 𝑗𝜔 dB Amplitudová logaritmická frekvenční charakteristika Fázová logaritmická frekvenční charakteristika

Přenos členu prvního řádu: F 𝑗𝜔 = 𝐾 0 1+𝑇𝑗𝜔 Amplitudová charakteristika: Fázová charakteristika: 𝐹 𝑗𝜔 𝑑𝑏 =20 log 𝐾 0 −20 log 1+𝑇𝑗𝜔 𝜑 𝜔 = arctg 𝜔𝑇 konstanta −20 log 1+𝑇𝑗𝜔 =−20 log 1+ 𝜔 2 𝑇 2 𝜔≪ 1 𝑇 Když: 𝜔 2 𝑇 2 ≈0 20 log 1+ 𝜔 2 𝑇 2 ≈20 log 1=0 𝜔= 1 𝑇 Když: 20 log 1+ 𝜔 2 𝑇 2 =20 log 1=0 𝜔≫ 1 𝑇 Když: 20 log 1+ 𝜔 2 𝑇 2 ≈ 20 log 𝜔 2 𝑇 2 =20 log 𝜔𝑇=20 log 𝜔+20 log 𝑇

𝝎≪ 𝟏 𝑻 𝝎≫ 𝟏 𝑻

Přenos členu druhého řádu: Amplitudová charakteristika Fázová charakteristika

Kmitočtový přenos Z Eulerova vztahu: Vstupní funkce: 𝑢 𝑡 = 𝑢 0 sin 𝜔𝑡 ⁡ 𝑢 𝑡 = 𝑢 0 𝑒 𝑗𝜔𝑡 Výstup po ustálení: 𝑦 𝑡 = 𝑦 0 sin 𝜔𝑡+𝜑 𝑦 𝑡 = 𝑦 0 𝑒 𝑗 𝜔𝑡+𝜑 𝜑=𝜔 𝑡 0 𝑦 0 𝑢 0 𝜑 modul: argument: Kmitočtový přenos: H 𝑗𝜔 = 𝑦(𝑡) 𝑢(𝑡) = 𝑦 0 𝑒 𝑗 𝜔𝑡+𝜑 𝑢 0 𝑒 𝑗𝜔𝑡 = 𝑦 0 𝑢 0 𝑒 𝑗𝜑 S 𝑢(𝑡) 𝑦(𝑡) +j y0 𝜑=−𝜔 𝑡 0 u0 𝜔

Kmitočtový přenos S 𝑢(𝑡) 𝑦(𝑡) +j y0 𝜑=−𝜔 𝑡 0 u0 𝜔 𝑎 𝑛 𝑦 𝑛 𝑡 + …+ 𝑎 1 𝑦 ′ 𝑡 + 𝑎 0 𝑦 𝑡 = 𝑏 𝑚 𝑢 𝑚 𝑡 +…+ 𝑏 0 𝑢(𝑡) 𝑦 𝑡 = 𝑦 0 𝑒 𝑗 𝜔𝑡+𝜑 𝑢 𝑡 = 𝑢 0 𝑒 𝑗𝜔𝑡 𝑦′ 𝑡 = 𝑗𝜔𝑦 0 𝑒 𝑗 𝜔𝑡+𝜑 𝑢′ 𝑡 = 𝑗𝜔𝑢 0 𝑒 𝑗𝜔𝑡 𝑦′′ 𝑡 = 𝑗𝜔 2 𝑦 0 𝑒 𝑗 𝜔𝑡+𝜑 𝑢′′ 𝑡 = 𝑗𝜔 2 𝑢 0 𝑒 𝑗𝜔𝑡 … … 𝑦 (𝑛) 𝑡 = 𝑗𝜔 𝑛 𝑦 0 𝑒 𝑗 𝜔𝑡+𝜑 𝑢 (𝑚) 𝑡 = 𝑗𝜔 𝑚 𝑢 0 𝑒 𝑗𝜔𝑡 𝑦 0 𝑒 𝑗 𝜔𝑡+𝜑 𝑎 𝑛 𝑗𝜔 𝑛 +…+ 𝑎 1 𝑗𝜔+ 𝑎 0 = 𝑢 0 𝑒 𝑗𝜔𝑡 𝑏 𝑚 𝑗𝜔 𝑚 +…+ 𝑏 1 𝑗𝜔+ 𝑏 0 Kmitočtový přenos: = 𝑏 𝑚 𝑗𝜔 𝑚 +…+ 𝑏 1 𝑗𝜔+ 𝑏 0 𝑎 𝑛 𝑗𝜔 𝑛 +…+ 𝑎 1 𝑗𝜔+ 𝑎 0 H 𝑗𝜔 = 𝑦(𝑡) 𝑢(𝑡) = 𝑦 0 𝑒 𝑗 𝜔𝑡+𝜑 𝑢 0 𝑒 𝑗𝜔𝑡

Kmitočtový přenos 0 ∞ 𝑓(𝑡) 𝑑𝑡< ∞ Kmitočnový přenos je také: podíl Furierova obrazu výstupní veličiny systému a Furierova obrazu vstupní veličiny (při nulových počátečních podmínkách systému a vstupního signálu) Aby funkce měla Furierův obraz, musí být absolutně integrovatelná, tj.: 0 ∞ 𝑓(𝑡) 𝑑𝑡< ∞ H 𝑗𝜔 = 𝑌(𝑗𝜔) 𝑈(𝑗𝜔) H 𝑠 = 𝑌(𝑠) 𝑈(𝑠) = 𝑏 𝑚 𝑠 𝑚 +…+ 𝑏 1 𝑠+ 𝑏 0 𝑎 𝑛 𝑠 𝑛 +…+ 𝑎 1 𝑠+ 𝑎 0 Obrazový přenos v Laplaceově transformaci: Kmitočtový přenos systému získáme z Laplaceovy transformace formální záměnou proměnných 𝑠→𝑗𝜔: H 𝑗𝜔 =𝐻 𝑠 | 𝑠=𝑗𝜔 = 𝑏 𝑚 𝑗𝜔 𝑚 +…+ 𝑏 1 𝑗𝜔+ 𝑏 0 𝑎 𝑛 𝑗𝜔 𝑛 +…+ 𝑎 1 𝑗𝜔+ 𝑎 0 Takže, když např. máme k dispozici kmitočtovou funkci, můžeme její Laplaceovou transformací získat kmitočtový přenos: H 𝑗𝑤 = 0 ∞ 𝑔 𝑡 𝑒 −𝑗𝜔𝑡 𝑑𝑡

Amplitudo-fázová kmitočtová charakteristika ve fázové rovině 𝐺 𝑗𝜔 =𝑃 ω +𝑗𝑄 𝜔 =𝑅𝑒 𝐺 𝑗𝜔 +𝑗 𝐼𝑚 𝐺(𝑗𝜔) 𝐺 𝑗𝜔 =A ω 𝑒 𝑗𝜑(𝜔) = 𝐺(𝑗𝜔) +𝑗 𝐼𝑚 𝐺(𝑗𝜔) Im Re 𝜑( 𝜔 𝑖 ) 𝐺(𝑗 𝜔 𝑖 ) 𝑃( 𝜔 𝑖 ) Q( 𝜔 𝑖 ) 𝜔=0 A ω =𝑚𝑜𝑑 𝐺 𝑗𝜔 = 𝑃 2 𝜔 + 𝑄 2 (𝜔) φ ω =𝑎𝑟𝑔 𝐺 𝑗𝜔 =𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 𝑄(𝜔) 𝑃(𝜔)

Pao PA 𝑃 𝑎𝑜 =𝐿𝐶 𝑑 2 𝑃 𝐴 𝑑 𝑡 2 +𝑅𝐶 𝑑𝑃 𝐴 𝑑𝑡 + 𝑃 𝐴 𝐻 𝑠 = 𝑉ý𝑠𝑡𝑢𝑝 𝑉𝑠𝑡𝑢𝑝 = 𝑃 𝐴 𝑡 𝑃 𝑎𝑜 𝑡 = 1 𝐿𝐶 𝑠 2 +𝑅𝐶𝑠+1 𝐻 𝜔 = 𝑉ý𝑠𝑡𝑢𝑝 𝑉𝑠𝑡𝑢𝑝 = 𝑃 𝐴 𝑡 𝑃 𝑎𝑜 𝑡 = 1 𝐿𝐶 (𝑗𝜔) 2 +𝑅𝐶𝑗𝜔+1

𝐻 𝜔 = 𝑉ý𝑠𝑡𝑢𝑝 𝑉𝑠𝑡𝑢𝑝 = 𝑃 𝐴 𝑡 𝑃 𝑎𝑜 𝑡 = 1 𝐿𝐶 (𝑗𝜔) 2 +𝑅𝐶𝑗𝜔+1

Nejjednodušší model mechaniky dýchání Otevřená smyčka Uzavřená smyčka 𝑃 𝑎𝑜 1 𝐿𝐶 𝑠 2 +𝑅𝐶𝑠+1 1 𝐿𝐶 𝑠 2 +𝑅𝐶𝑠+𝜆 𝑃 𝐴 1 𝐿𝐶 𝑠 2 +𝑅𝐶𝑠+1 𝑃 𝑎𝑜 + − 𝑃 𝐴 k 1 𝐿𝐶 𝑠 2 +𝑅𝐶𝑠+𝜆 Ventilátor - zdroj tlaku Q - Průtok Pao L - Inertance Setrvačnost 𝑃 𝐴 𝑠 𝑃 𝑎𝑜 𝑠 = 1 𝐿𝐶 𝑠 2 +𝑅𝐶𝑠+1 Odpor R- Rezistance 𝑃 𝐴 𝑠 𝑃 𝑎𝑜 𝑠 −𝑘 𝑃 𝐴 𝑠 = 1 𝐿𝐶 𝑠 2 +𝑅𝐶𝑠+1 PA ∆ 𝑃 𝐴 Po C - Kapacitance Pružný vak 𝑃 𝐴 𝑠 𝑃 𝑎𝑜 𝑠 = 1 𝐿𝐶 𝑠 2 +𝑅𝐶𝑠+(1+𝑘) Vnější atmosferický tlak 𝑃 𝐴 𝑠 𝑃 𝑎𝑜 𝑠 = 1 𝐿𝐶 𝑠 2 +𝑅𝐶𝑠+𝜆 Otevřená smyčka: 𝜆=1 Uzavřená smyčka: 𝜆>1

𝑃 𝑎𝑜 𝑃 𝐴 1 𝐿𝐶 𝑠 2 +𝑅𝐶𝑠+𝜆 1 𝐿𝐶 𝑠 2 +𝑅𝐶𝑠+1 𝑃 𝑎𝑜 + − 𝑃 𝐴 k

Kmitočtové charakteristiky v logaritmických souřadnicích 𝐻 𝑗𝜔 =𝐴(𝜔) 𝑒 𝑖𝜑(𝜔) ln H 𝑗𝜔 = ln 𝐴 𝜔 +𝑗𝜑 𝜔 = ln 𝐻(𝑗𝜔) +𝑗 arg 𝐻(𝑗𝜔) Logaritmická amplitudová charakteristika: ln 𝐻(𝑗𝜔) Logaritmická fázová charakteristika: 𝜑 𝜔 =𝑓(𝜔) (osa kmitočtu má logaritmické měřítko) Ve skutečnosti se užívá dekadický logaritmus pro osu úhlového kmitočtu 𝜔, tj. 𝑙𝑜𝑔 10 𝜔 A na osu pořadnic amplitudové charakteristiky se vynáší absolutní hodnota kmitočtového přenosu v decibelech: 𝐴 𝑑𝐵 = 𝐻 (𝑗𝜔) | 𝑑𝐵 =20 𝑙𝑜𝑔 10 𝐻 (𝑗𝜔) Výhoda: násobení přenosů v logaritmických souřadnicích přechází na sčítání.

Frekvenční analýza modelů fyziologických systíémů Simulink

Frekvenční analýza modelů fyziologických systíémů

Frekvenční analýza modelů fyziologických systíémů