TENTO PROJEKT JE SPOLUFINANCOVÁN EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČESKÉ REPUBLIKY Vypracoval: Mgr. Lukáš Bičík Logaritmické rovnice

Logaritmus (resp. jeho výsledek) vyjadřuje, na kolikátou je nutno umocnit základ logaritmu, aby vyšel argument. Příklad: Urči hodnotu log 2 8. Logaritmus základ argument výsledek Základ a je kladné číslo různé od nuly, argument b je kladné číslo a výsledek c může být libovolné reálné číslo. Tedy Na kolikátou musíme umocnit číslo 2, aby vyšlo 8? Na třetí. Výsledek je tedy log 2 8 = 3.

Je obecné označení pro rovnice, ve kterých se neznámá vyskytuje v argumentu, příp. v základu logaritmu. Typů těchto rovnic je celá řada. Při jejich řešení se používají následující postupy: Logaritmické rovnice 1)běžné ekvivalentní i neekvivalentní úpravy rovnic (sečtení členů, vytknutí před závorku, přičtení výrazu k rovnici, vynásobení nenulovým výrazem apod.), 2)úprava výrazů pomocí vzorečků pro počítání s logaritmy, 3)zavedení substituce. Poznámka: –jednotlivé postupy se nemusí použít všechny, –postupy nemusí být použity právě v tomto pořadí, –stejný typ postupu se při řešení rovnice může vyskytnout několikrát. –na závěr nutno stanovit podmínky!

Cílem těchto úprav je rovnici zjednodušit a s pomocí dalších typů úprav převést do tvaru log a (výraz1) = log a (výraz2), nebo do tvaru log a (výraz) = reálné číslo. Vzhledem k tomu, že logaritmus je funkce prostá, lze v prvním případě odstranit „log a “ (a dále počítat jako rovnici výraz1 = výraz2), ve druhém případě rovnici převedeme na tvar a reálné číslo = výraz. Běžné úpravy Příklad zjednodušení logaritmické rovnice pomocí běžných úprav:

Cílem těchto úprav je opět rovnici zjednodušit. Lze použít tyto vzorce: Úpravy rovnice pomocí vzorců pro práci s logaritmy Příklad zjednodušení logaritmické rovnice pomocí vzorců:

Smyslem substituce je zpřehlednit zápis rovnice tím, že místo složitého výrazu zapisujeme zpravidla pouze nějaké písmeno. Pokud dáváme substituci za výraz s neznámou, nesmí se neznámá vyskytovat v jiném (odlišném) výrazu – po zavedení substituce bychom totiž v rovnici měli dvě neznámé, původní a neznámou substituovanou neznámou. Po vyřešení zjednodušené rovnice je nutné substituci „vrátit“ a dopočítat původní neznámou! Příklad užití substituce: Substituce

Logaritmické nerovnice Logaritmické rovnice se řeší obdobně jako rovnice. Avšak vzhledem k tomu, že logaritmus se základem větším jak jedna je funkce rostoucí a se základem mezi nulou a jedničkou funkce klesající, je třeba pozorně hlídat, zda se neotáčí znaménko nerovnosti. Spolehlivý postup je tedy následující: 1) Nerovnici vyřešit jako rovnici. 2) Určit podmínky. 3) Řešení i podmínky nanést na číselnou osu. 4) Otestovat intervaly a zapsat množinu řešení. 26 Příklad: Otestováním intervalů zjistíme, že řešením je interval (–1;26>.

Shrnutí Při řešení logaritmických rovnic používáme několika postupů. Jejich smyslem je rovnici co nejvíce zjednodušit, případně přes substituci převést na rovnici jiného (jednoduššího) typu.postupů Podmínky řešitelnosti vyplývají jednak z argumentu logaritmu, jednak ze základu logaritmu, ale také ze zlomků a odmocnin (viz definiční obory), obdobně jako u jiných typů rovnic. Podmínka pro argument je jeho hodnota větší než nula. Podmínka pro základ je jeho hodnota větší než nula a různá od jedné. Pozor! Výsledkem logaritmu však může být i záporné číslo, tedy lze log x = –8, ale nelze log (–8).