EMM101 Ekonomicko-matematické metody č. 10 Prof. RNDr. Jaroslav Ramík, CSc.

EMM102 Úloha optimalizace portfolia Bikriteriální nelineární optimalizační problém R PF =  R i Z i  MAX;(1) =  MIN;(2) s.t.  Z i = 1 (3) d i  Z i  h i i = 1,2,...,M (4) Variační koeficient (namísto směrodatné odchylky): V PF =

EMM103 Úloha optimalizace portfolia X i - výnos i -tého aktiva (akcie) = náhodná veličina E(X i ) – střední (očekávaná) hodnota výnosu i -tého aktiva R i = E(X i ) - označení R PF =  R i Z i Z i – podíl i -tého aktiva v portfoliu (PF) Přitom platí:  Z i = 1, d i  Z i  h i, i = 1,2,...,M – počet aktiv =  ij = Cov(X i, X j ) Otázka: Jak odhadnout R i a  ij ? !!!Vše se vztahuje na časový interval trvání PF!!!

EMM104 Sharpeův model R PF =  R i Z i  MAX; s.t.  b  Z i = 1 d i  Z i  h i i = 1,2,...,M b, d i, h i – zadané konstanty (úrovně) Maximalizace výnosu PF za zadané úrovně rizika

EMM105 Markowitzův model  PF =  MIN; s.t.  R i Z i  c  Z i = 1 d i  Z i  h i i = 1,2,...,M c, d i, h i – zadané konstanty (úrovně) Maximalizace rizika PF za zadané úrovně výnosu

EMM106 Faktorové modely X i =  i +  i F + e i - výnos i -tého aktiva (5) Jednoindexový (jednofaktorový) model Faktor = celý kapitálový trh (reprezentovaný indexem, např. PX, DowJones apod.) Předpoklady: (I) E(e i ) = 0 pro  i (II) Cov (e i, F) = 0 pro  i (III) Cov (e i, e j ) = 0 pro  i  j Lineární závislost výnosu aktiva na zadaném faktoru F

EMM107 Faktorové modely... Z (I) a (II) :  i = (6)  i = E(X i ) -  i E(F) (7) Dosazením do (1), (2) s využitím (I) - (III): R PF =  (  i +  i E(F)) Z i  2 PF = Var(F)   i  j Z i Z j +  Var(e i )Z i 2 ● ●

EMM108 Sharpeho jednoindexový model R PF =  (  i +  i E(F)) Z i  MAX; s.t. =  Z i = 1 d i  Z i  h i i = 1,2,...,M

EMM109 Markowitzův jednoindexový model σ PF =  MIN; s.t.  (  i +  i E(F)) Z i  c  Z i = 1 d i  Z i  h i i = 1,2,...,M

EMM1010 Systematické a nesystematické riziko portfolia a aktiv Z (I) až (III) : (6) Uplatněním operátoru “ Var ” na X i =  i +  i F + e i : Var(X i ) =  i 2 Var(F) + Var(e i ) (8)  i – “beta-koeficient i -tého AK” Var(X i ) – “celkové riziko i -tého AK”  i 2 Var(F) – “systematické riziko i -tého AK” Var(F) – “systematické riziko trhu” Var(e i ) – “nesystematické (individuální) riziko i - tého AK” ● ●

EMM1011 Postup při výpočtu optimálního portfolia jednoindexový model („historická“ metoda) (Použití Excel-Solveru pro CP na BCPP) 1.Výběr vhodných AK v počtu M (např. CP obchodovaných na PBCP) a vhodného indexu F (např. F = PX) 2.Volba časového intervalu trvání PF N a délku T testovacích časových řad (cen c it vybraných AK), přitom N <<< T 3. Výpočet relativních kapitálových výnosů X i vybraných AK a relativních změn indexu F

EMM Výpočet statistických chrakteristik X i a F : R i = E ( X i ), Var ( X i ), Var(F), Cov ( X i, F ) Výpočet:  i ze vztahu (6) a Var ( e i ) z (8) 5.Ověření platnosti předpokladů modelu (I) až (III) (obvykle se vynechává) 6.Zadání hodnot b, ( resp. c ), d, h a výpočet optimálního složení portfolia Z i opt pomocí Sharpeho (resp. Markowitzova) modelu s použitím Excel - Solveru Postup při výpočtu optimálního portfolia jednoindexový model (pokračování) Priklad IND

EMM1013 Poznámky 1: Historická metoda Slouží k hodnocení portfolia za minulé (historické) období Pro sestavování portfolia do budoucnosti je vhodný tam, kde se očekává stacionární vývoj cen Sharpeho model: Optimální portfolio maximalizuje očekávaný (tj. střední) výnos při zadané úrovni očekávaného rizika ● ● ●

EMM1014 Poznámky 2: Historická metoda Markowitzův model: Optimální portfolio minimalizuje očekávané (tj. střední) riziko při zadané úrovni očekávaného výnosu. Očekávané hodnoty jsou vypočteny za období, v němž jsou známy hodnoty uvažovaných časových řad: E ( X i ), Var(X i ), Var(F), Cov(X i, F) Není potřeba znát celou kovarianční matici: Cov(X i, X j ), - má M 2 prvků, stačí znát pouze vektor Cov(X i, F) - má M prvků!!! ● ●

EMM1015 Poznámky 3: Expertní metoda Slouží k nalezení optimálního portfolia pro budoucí období Charakteristiky minulého období: (+) E ( X i ), Var ( X i ), Var ( F ), Cov ( X i, F ) se nahradí odhady, tj. prognózovanými, resp. expertními hodnotami, získanými prognostickými metodami Modifikovaný historický přístup: Pouze některé z hodnot (+) se nahradí odhady (obvykle výnosy E(X i ), resp. riziko Var ( X i ) ) ● ● ●

EMM1016 Úloha optimalizace portfolia Dvojkriteriální úloha Matemat. programování R PF =  R i Z i  MAX;(1)  PF =   ij Z i Z j  MIN;(2) za podmínek  Z i = 1 (3) d i  Z i  h i i = 1,2,...,M (4)

EMM1017 Fuzzy množina 1 fuzzy interval 1 0  (x) x Fuzzy množina - interval Funkce příslušnosti k f. množině

EMM metoda fuzzyfikace: Lineární satisfakce Krok 1. Řešte 2 úlohy LP: P1 max (P1 min ): R PF =  R i Z i  MAX (MIN); za podmínek  Z i = 1 d i  Z i  h i i = 1,2,...,M Výsledek: R max, R min

EMM1019 Fuzzy množina 2 lineární satisfakce (spokojenost s „velkými“ hodnotami výnosu PF) 1 0 x R PF R min R max

EMM1020 Lineární satisfakce 2 Krok 2. Řešte 2 úlohy Kvadratického programování: P2 min (P2 max ):  2 PF =   ij Z i Z j  MIN (MAX); za podmínek  Z i = 1 d i  Z i  h i, i = 1,2,...,M Výsledek:  max,  min

EMM1021 Fuzzy množina 3 lineární satisfakce (spokojenost s „malými“ hodnotami rizika PF) 1 0  max  PF  min

EMM1022 Lineární satisfakce 3 1 R min R max z =  (R) = Krok 3. Vytvořte lineární funkci příslušnosti satisfakce výnosu:

EMM1023 Lineární satisfakce 4 1 (  ) =  min  max Krok 4. Vytvořte lineární funkci příslušnosti satisfakce rizika:

EMM1024 Lineární satisfakce 5 min {  (  R i Z i ), (   ij Z i Z j ) }  MAX; za podmínek  Z i = 1 d i  Z i  h i, i = 1,2,...,M Krok 5. Řešte optimalizační úlohu:

EMM1025 Lineární satisfakce 6 Krok 5*. Ekvivalentní úloha LP:  MAX; za podmínek R =  R i Z i  2 =   ij Z i Z j  Z i = 1 d i  Z i  h i,i = 1,...,M  

EMM metoda fuzzyfikace: Nelineární satisfakce Nelineární funkce příslušnosti satisfakce výnosu i rizika: R min R max  min  max  > 0  > 0

EMM1027 Nelineární satisfakce 2  MAX; za podmínek   R i Z i +   R min    ij Z i Z j -   max  Z i = 1 d i  Z i  h i,i = 1,...,M Ekvivalentní úloha LP: (analogicky jako u lineární satisfakce)

EMM1028 Lineární satisfakce: Příklad Počet AK: M = 4 Počet údajů čas. řad:T = 32 Počet čas. intervalů trvání PF:N = 5

EMM1029 Příklad … Očekávané výnosy

EMM1030 Příklad … Vektor výnosů a kovarianční matice Odhady rizik akcií (rozptyly) Výnosy: 0,0660,034 0,104 0,008 Kovariance:

EMM1031 Příklad … Krok 1: R max = 0,104 R min = 0,007 Krok 2:  max = 0,190  min = 0,062 Krok 5*: Optimální řešení: fuzzyfikace.xls

EMM1032 Příklad: Řešení lineární satisfakce PF 1 0 R min  min  PF = R PF R max  max 0,62