Prezentace se nahrává, počkejte prosím

Prezentace se nahrává, počkejte prosím

Náhodná veličina. Nechť ( , , P) je pravděpodobnostní prostor:  je základní prostor,  je  -algebra (všechny podmnožiny  ), P je pravděpodobnost.

Podobné prezentace


Prezentace na téma: "Náhodná veličina. Nechť ( , , P) je pravděpodobnostní prostor:  je základní prostor,  je  -algebra (všechny podmnožiny  ), P je pravděpodobnost."— Transkript prezentace:

1 Náhodná veličina. Nechť ( , , P) je pravděpodobnostní prostor:  je základní prostor,  je  -algebra (všechny podmnožiny  ), P je pravděpodobnost. Náhodná veličina X je reálná měřitelná funkce X:   R. Poznámka: Měřitelná funkce: vzorem otevřeného intervalu je prvek , neboli je podmnožina . Příklad. Házíme kostkou.  = {padne 1, padne 2, …, padne 6}  jsou všechny podmnožiny  P je pravděpodobnostní funkce definovaná na . Definujeme náhodnou veličinu X: padne i  i. Rozlišujeme diskrétní a spojité náhodné veličiny. Diskrétní náhodná veličina má obor hodnot diskrétní (například konečný). Spojitá náhodná veličina má obor hodnot interval, nebo jejich spočetné sjednocení.

2 p je tak zvaná pravděpodobnostní funkce. Jestliže obor hodnot náhodné veličiny X je {x 1, x 2, …, x n }, pak Ke každé hodnotě oboru hodnot definujeme pravděpodobnost, s níž hodnota nastane. Postup je následující: Diskrétní náhodná veličina. Předpis a pravděpodobnostní funkce definují náhodnou veličinu X. Další možnost je definovat náhodnou funkci předpisem a distribuční funkcí F takto:

3 Příklad. Auto musí projet 4 křižovatky řízené semafory. Na každém semaforu může být buď zelená, nebo červená (oranžovou neuvažujeme). Označme náhodnou veličinu X počet projetých křižovatek na zelenou do první, kam dojede na červenou. Napište pravděpodobnostní funkci p a distribuční funkci F. Obor hodnot X je {0, 1, 2, 3, 4} p(0) = 0.5 p(1) = = 0.25 p(2) = = p(3) = = p(4) = = p(x) = 0, x > 4. F(x) =pro

4 Příklad. V osudí je 5 bílých a 7 červených míčků. Náhodná veličina X představuje počet bílých míčků mezi pěti vybranými. Vytvořte pravděpodobnostní a distribuční funkci této náhodné veličiny. Obor hodnot X je {0, 1, 2, 3, 4, 5}, x = 0, 1, 2, 3, 4, 5

5 Spojitá náhodná veličina. K popisu se používá distribuční funkce F. F (x) = P (X (  ) < x) Vlastnosti F(x) (společné pro spojitou i diskrétní náhodnou veličinu):  0 ≤ F(x) ≤ 1  P(x 1 ≤ X (  ) < x 2 ) = F(x 2 ) - F(x 1 ) pro x 1 < x 2  F(x) je neklesající funkce  F(- ∞) = 0, F(∞) = 1  F(x) je zleva spojitá v bodech x = x i, i = 1,2,..., diskrétní náhodné veličiny a spojitá v ostatních bodech. Místo pravděpodobnostní funkce u diskrétní náhodné veličiny definujeme funkci hustoty f takto: Je to reálná funkce definovaná a nezáporná na intervalu,, x, x+h , f (x) = 0, x 

6 Vlastnosti f (x) a F (x) spojité náhodné veličiny X:  pro x ∈ R platí: f (x) ≥ 0, f(x) > 0, x      Příklad. Náhodná veličina X je dána distribuční funkcí F: Určete f (x), znázorněte graficky F (x), f (x), vypočtěte P(0.4 ≤ X (  ) < 1.6). F (x) = 0, x  0, F (x) = x 2 / 4, 0 2.

7 f (x) = 0, x  0, f (x) = x / 2, 0 2.

8 Definice náhodné veličiny pomocí momentů. Obecná náhodná veličina může mít nekonečně mnoho nenulových momentů (k  +  ). To znamená, že pro její charakterizaci je nutno spočítat nekonečně mnoho momentů. V praxi se  používají náhodné veličiny, které mají jen několik nenulových momentů  počítá jen několik prvních momentů, i když se jedná o obecnou náhodnou veličinu. (nejčastěji 2). Obecná definice momentu  k : pro diskrétní náhodnou veličinu pro spojitou náhodnou veličinu Obecná definice centrálního momentu k (  je 1. moment náhodné veličiny podle definice výše): pro diskrétní náhodnou veličinu pro spojitou náhodnou veličinu

9 Nejčastěji používané momenty. 1. moment  1 označuje střední hodnotu náhodné veličiny X,  1  E ( X )   pro diskrétní náhodnou veličinu pro spojitou náhodnou veličinu Pro střední hodnotu platí: 1. E(c) = c, kde c je konstanta 2. E(c.X) = c.E(X) 3. E(X±Y) = E(X) ± E(Y) 4. E(X.Y) = E(X).E(Y), jsou-li X a Y nezávislé 2. Centrální moment označuje rozptyl náhodné veličiny X, 2   2 pro diskrétní náhodnou veličinu pro spojitou náhodnou veličinu

10 Pro rozptyl D (X)   2 platí: 1. D(c) = 0, kde c je konstanta 2. D(c.X) = c 2.D(X) 3. D(X + Y) = D(X) + D(Y), jsou-li X a Y nezávislé 4. σ se nazývá směrodatná odchylka 3. centrální moment slouží k určení asymetrie rozdělení náhodné veličiny X, 3 se nazývá šikmost. 3 = E[(X – EX) 3 ] /  3 4. centrální moment 4 se nazývá špičatost 4 = E[(X – EX) 4 ] /  4

11 Kvantily. Nechť F(x) je distribuční funkce spojité náhodné veličiny X. Pak hodnota x p, pro kterou platí F(x p ) = p, kde p ∈, se nazývá p-kvantil. Nejužívanější kvantily: kvartily: x 0.25, x 0.50, x rozdělí obor možných hodnot na čtyři části, v nichž se náhodná veličina nachází s pravděpodobností 0.25 decily: x 0.1, x 0.2,..., x rozdělí obor možných hodnot na deset částí se stejnou pravděpodobností výskytu percentily: x 0.01, x 0.02,..., x rozdělí obor možných hodnot na sto částí se stejnou pravděpodobností výskytu medián: x rozdělí obor možných hodnot na 2 části se stejnou pravděpodobností výskytu.

12  u diskrétní náhodné veličiny je to hodnota, v níž pravděpodobnostní funkce p(x i ) dosahuje maxima.  u spojité náhodné veličiny je to hodnota, v níž hustota pravděpodobnosti f (x) nabývá lokálního maxima. Modus.

13 Hustota pravděpodobnosti náhodné veličiny X má tvar: f (x) = 0, x < 0; f (x) = a sin x, 0 ≤ x <  ; f (x) = 0, x  . Určete koeficient a, distribuční funkci F(x) a P(  /2 < X < 2  ). Náhodná veličina X je dána tabulkou. Určete její první moment, 2. centrální moment. Cvičení. Náhodná veličina X má hustotu pravděpodobnosti: f (x) = x 2 e -x /2, x  (0, +  ), f (x) = 0, jinak. Určete modus. Náhodná veličina X má hustotu pravděpodobnosti: f (x) = 2x, x , f (x) = 0 jinak. Spočtěte střední hodnotu a varianci. Určete první decil a třetí kvartil pro náhodnou veličinu danou hustotou takto: f (x) = 1/2, x , f (x) = 0 jinak. Třikrát vystřelíme na cíl. Pravděpodobnost zásahu při každém výstřelu je p = 0.7. Určete: a)pravděpodobnostní funkci počtu zásahů při třech nezávislých výsledcích, b) distribuční funkci a její graf. Náhodná veličina X je dána distribuční funkcí: F (x) = 0, x < 3, F (x) = x/3 – 1, 3 ≤ x < 6, F (x) = 1, x  6. Určete f(x), znázorněte graficky f(x), F(x) a P(1.5 ≤ X ≤ 4).

14 Určete, a) pro jaká A, B bude F (x) = A + B/(1 + x 2 ) funkcí rozložení náhodné proměnné pro x ∈ (0, +∞), b) příslušnou hustotu rozložení. V městě byl po dobu 60 dnů evidován počet dopravních nehod v průběhu každého dne a podle počtu nehod v jednom dni vytvořena tabulka.Pro počet nehod v jednom dni jako náhodnou proměnnou sestrojit zákon rozložení, střední hodnotu a varianci. Výsledkem náhodného pokusu je náhodná veličina nabývající hodnot 1/ n (n je přirozené číslo) s pravděpodobnostmi nepřímo úměrnými 3 n. Určit střední hodnotu této náhodné veličiny. Funkce f (x) = C (2x – x 2 ) má být hustotou rozložení pravděpodobnosti pro x ∈. Určete a) konstantu C, b) funkci rozložení F(x), c) střední hodnotu příslušné náhodné veličiny, d) varianci a směrodatnou odchylku, e) pravděpodobnost P(X<1).


Stáhnout ppt "Náhodná veličina. Nechť ( , , P) je pravděpodobnostní prostor:  je základní prostor,  je  -algebra (všechny podmnožiny  ), P je pravděpodobnost."

Podobné prezentace


Reklamy Google