Prezentace se nahrává, počkejte prosím

Prezentace se nahrává, počkejte prosím

© Institut biostatistiky a analýz SPEKTRÁLNÍ ANALÝZA Č ASOVÝCH Ř AD prof. Ing. Jiří Holčík, CSc. UKB, A29, RECETOX,

Podobné prezentace


Prezentace na téma: "© Institut biostatistiky a analýz SPEKTRÁLNÍ ANALÝZA Č ASOVÝCH Ř AD prof. Ing. Jiří Holčík, CSc. UKB, A29, RECETOX,"— Transkript prezentace:

1 © Institut biostatistiky a analýz SPEKTRÁLNÍ ANALÝZA Č ASOVÝCH Ř AD prof. Ing. Jiří Holčík, CSc. UKB, A29, RECETOX, dv.č.112

2 © Institut biostatistiky a analýz LITERATURA  Holčík,J.: přednáškové prezentace  Proakis,J.G., Rader,C.M., Ling,F., Nikias,C.L.: Advanced Digital Signal Processing. Macmillan Publ. Comp, New York 1992, 608s.  Kay, S.M., Marple, S.L.: Spectrum Analysis - A Modern Perspective. Proc. IEEE, roč.69, č.11, Nov. 1981, s  Bloomfield,P.: Fourier Analysis of Time Series. An Introduction. J.Wiley&Sons, N.York 2000.

3 © Institut biostatistiky a analýz

4 I. CO U Ž UMÍME?

5 © Institut biostatistiky a analýz SIGNÁL

6 SIGNÁL DEFINICE Signál je jev fyzikální, chemické, biologické, ekonomické či jiné materiální povahy, nesoucí informaci o stavu systému, který jej generuje, a jeho dynamice.

7 © Institut biostatistiky a analýz SIGNÁL  primární oblast popisu (prostor definovaný nezávislými původními proměnnými)– čas, prostorové souřadnice, pořadí  sekundární oblast popisu – transformace (zobrazení) z primární oblasti – vytváříme obraz (latinsky spectrum) signálu

8 © Institut biostatistiky a analýz FREKVEN Č NÍ SPEKTRUM Frekvenční spektrum signálu je vyjádření rozložení amplitud a počátečních fází jednotlivých harmonických složek, ze kterých se signál skládá, v závislosti na frekvenci. ! ZAPAMATOVAT NA VĚKY !

9 © Institut biostatistiky a analýz SIGNÁL na vlastnosti popisu signálu v sekundární oblasti má vliv:  vlastnosti signálu v primární oblasti;  transformační vztah

10 © Institut biostatistiky a analýz SIGNÁL na vlastnosti popisu signálu v sekundární oblasti má vliv:  vlastnosti signálu v primární oblasti;  transformační vztah (je paráda, když je lineární!)

11 © Institut biostatistiky a analýz SIGNÁL na vlastnosti popisu signálu v sekundární oblasti má vliv:  vlastnosti signálu v primární oblasti;  transformační vztah (je paráda, když je lineární!) Co to je, když je lineární?

12 © Institut biostatistiky a analýz INTEGRÁLNÍ LINEÁRNÍ TRANSFORMACE Je-li jádro transformace a(f,t)=e -j2ft, resp. a kn =e -j2kFnT, pak realizujeme rozklad signálu na jeho harmonické složky  Fourierovské spektrum spojitý signáldiskrétní signál (časová řada)

13 © Institut biostatistiky a analýz FOURIEROVSKÉ SPEKTRUM jeho výpočet závisí na vlastnostech primárního popisu signálu

14 © Institut biostatistiky a analýz ! URČITĚ SI ZAPAMATOVAT !  spojitý periodický signál má diskrétní frekvenční spektrum – pro rozklad jsme použili Fourierovu řadu;  spojitý jednorázový signál má spojité frekvenční spektrum– pro rozklad jsme použili Fourierovu transformaci. ! A VĚDĚT PROČ ! FOURIEROVSKÉ SPEKTRUM

15 © Institut biostatistiky a analýz ! URČITĚ SI ZAPAMATOVAT !  diskrétní periodický signál má diskrétní frekvenční spektrum – diskrétní Fourierova transformace;  diskrétní jednorázový signál z nekonečného časového intervalu má spojité frekvenční spektrum – Fourierova transformace s diskrétním časem transformace;  diskrétní jednorázový signál z konečného časového intervalu má diskrétní frekvenční spektrum – diskrétní Fourierova transformace; ! A VĚDĚT PROČ ! FOURIEROVSKÉ SPEKTRUM

16 © Institut biostatistiky a analýz JAKÉ MÁME NÁSTROJE K JEHO VÝPOČTU? FOURIEROVSKÉ SPEKTRUM

17 © Institut biostatistiky a analýz JAKÉ MÁME NÁSTROJE K JEHO VÝPOČTU? Fourierova řada Fourierova transformace diskrétní Fourierova řada Fourierova transformace s diskrétním časem diskrétní Fourierova transformace FOURIEROVSKÉ SPEKTRUM

18 © Institut biostatistiky a analýz  každou periodickou funkci f(t+kT)=f(t), (která vyhovuje Dirichletovým podmínkám), můžeme rozložit ve Fourierovu řadu kde c n jsou komplexní Fourierovy koeficienty Ω – úhlový kmitočet základní harmonické složky (základní harmonická); FOURIEROVA Ř ADA

19 © Institut biostatistiky a analýz FOURIEROVA TRANSFORMACE Fourierova transformace Funkci S(ω) nazveme spektrální funkcí signálu. Ta už nevyjadřuje skutečné zastoupení jednotlivých harmonických složek signálu, nýbrž jen jejich poměrné zastoupení. Pro časovou funkci můžeme psát vztah zpětná Fourierova transformace

20 © Institut biostatistiky a analýz DISKRÉTNÍ FOURIEROVA Ř ADA  nechť x(kT vz ) je periodický signál s periodou NT vz ; pak x(kT vz ) lze rozložit pomocí komplexní exponenciální Fourierovy řady kde

21 © Institut biostatistiky a analýz FOURIEROVA TRANSFORMACE S DISKRÉTNÍM Č ASEM kde ω je pro N →  spojitá (nediskrétní) veličina.

22 © Institut biostatistiky a analýz DISKRÉTNÍ FOURIEROVA TRANSFORMACE

23 © Institut biostatistiky a analýz FOURIEROVSKÉ SPEKTRUM jeho výpočet závisí na vlastnostech primárního popisu signálu:  Signál -1) periodický 2) neperiodický  s konečnou energií;  s nekonečnou energií

24 © Institut biostatistiky a analýz ENERGIE  okamžitá práce vykonaná na odporu R: A(t) = u(t).i(t)  podle Ohmova zákona: U = R.I, a tedy můžeme po dosazení psát A(t) = R.i(t). i(t) = R.i 2 (t) = u(t). u(t)/R = u 2 (t)/R. Když je R = 1 Ω je A(t) = i 2 (t) = u 2 (t) a celková práce (energie) vykonaná (spotřebovaná) za čas T na jednotkovém odporu je

25 © Institut biostatistiky a analýz ENERGIE  z té úvahy energie spojitého signálu s(t)  energie diskrétního signálu

26 © Institut biostatistiky a analýz VÝKON  výkon je práce (energie) vykonaná (spotřebovaná) za časovou jednotku, tj.

27 © Institut biostatistiky a analýz KORELA Č NÍ FUNKCE  vzájemná či křížová korelační funkce (cross-correlation function) dvou periodických signálů (funkcí) o téže periodě T je definována  popisuje podobnost průběhů obou signálů v závislosti na jejich posunutí  je periodická s periodou T

28 © Institut biostatistiky a analýz AUTOKORELA Č NÍ FUNKCE  výpočet korelační funkce má smysl i v případě, že jsou oba signály totožné – autokorelační funkce

29 © Institut biostatistiky a analýz AUTOKORELA Č NÍ FUNKCE  vypočtená autokorelační funkce je:  sudá;  je-li funkce periodická s periodou T, je periodická s toutéž periodou i její autokorelační funkce;  R(0) je rovno kvadrátu efektivní hodnoty signálu;   R : R(0)  R().  tyto čtyři vlastnosti mají autokorelační funkce všech periodických signálů.

30 © Institut biostatistiky a analýz KORELA Č NÍ FUNKCE NÁHODNÝCH PROCES Ů  korelační funkce R(t 1,t 2 ) je mírou souvztažnosti mezi hodnotami náhodného procesu v okamžiku t 1 a hodnotami náhodného procesu v okamžiku t 2. Může být spočítána pomocí vztahu  kovarianční funkce (covariance function) K(t 1,t 2 ) je mírou souvztažnosti mezi odchylkami náhodného procesu v okamžiku t 1 od m(t 1 ) a odchylkami náhodného procesu v okamžiku t 2 od m(t 2 ). Může být spočítána pomocí vztahu

31 © Institut biostatistiky a analýz  tyto poměrně obecné vztahy se mohou zjednodušit, pokud se zjednoduší vlastnosti náhodných procesů  stacionarita ergodicita KORELA Č NÍ FUNKCE NÁHODNÝCH PROCES Ů

32 © Institut biostatistiky a analýz STACIONARITA NÁHODNÉHO PROCESU zhruba:  stacionární náhodný proces (stationary random process) je proces se stálým chováním

33 © Institut biostatistiky a analýz přesněji:  stacionární náhodný proces je takový proces, jehož libovolné statistické charakteristiky nejsou závislé na poloze počátku časové osy (nezávisí na absolutních hodnotách času, jen na délkách časových intervalů mezi okamžiky t 1 a t 2 ) v tom případě, tj. s  = t 2 – t 1, můžeme funkce p(x 1,x 2,t 1,t 2 ), R(t 1,t 2 ) a K(t 1,t 2 ) nahradit funkcemi p(x 1,x 2,  ), R(  ) a K(  ) stacionarita  v užším slova smyslu  v širším slova smyslu (stálé momenty 1. a 2. řádu) STACIONARITA NÁHODNÉHO PROCESU

34 © Institut biostatistiky a analýz Ergodický náhodný proces (ergodic random process) se vyznačuje tím, že všechny jeho realizace mají stejné statistické vlastnosti (stejné chování) – to umožňuje odhadovat parametry náhodného procesu z jediné libovolné realizace  aritmetický průměr nebo Odhad bude tím věrohodnější, čím bude úsek T delší. ERGODICITA NÁHODNÉHO PROCESU

35 © Institut biostatistiky a analýz  disperze  autokorelační funkce  křížová korelační funkce mezi dvěma vzájemně ergodickými procesy ξ(t) a η(t) s realizacemi x(t) a y(t) ERGODICITA NÁHODNÉHO PROCESU

36 © Institut biostatistiky a analýz  křížová korelační funkce mezi dvěma vzájemně ergodickými procesy ξ(t) a η(t) s realizacemi x(t) a y(t)  pro diskrétní případ ERGODICITA NÁHODNÉHO PROCESU

37 © Institut biostatistiky a analýz DFT DFT Ω 1 = 2 Ω = 4  /NT VZ

38 © Institut biostatistiky a analýz DFT DFT Ω 1 = 2,5 Ω = 5  /NT VZ


Stáhnout ppt "© Institut biostatistiky a analýz SPEKTRÁLNÍ ANALÝZA Č ASOVÝCH Ř AD prof. Ing. Jiří Holčík, CSc. UKB, A29, RECETOX,"

Podobné prezentace


Reklamy Google