Prezentace se nahrává, počkejte prosím

Prezentace se nahrává, počkejte prosím

NUMERICKÁ ANALÝZA PROCESů NAP3 Modely „černých krabiček“ a experimentální identifikace charakteristik lineárních systémů: Přenosové charakteristiky systému.

Podobné prezentace


Prezentace na téma: "NUMERICKÁ ANALÝZA PROCESů NAP3 Modely „černých krabiček“ a experimentální identifikace charakteristik lineárních systémů: Přenosové charakteristiky systému."— Transkript prezentace:

1 NUMERICKÁ ANALÝZA PROCESů NAP3 Modely „černých krabiček“ a experimentální identifikace charakteristik lineárních systémů: Přenosové charakteristiky systému. Volterrova rovnice a identifikace přenosu. Konvoluce a dekonvoluce. Fourierova analýza (spojitá a diskrétní Fourierova transformace). Rudolf Žitný, Ústav procesní a zpracovatelské techniky ČVUT FS 2010

2 NAP3 Do kategorie modelů „černé krabičky“ patří i modely přenosových charakteristik systémů, které vyjadřují vztah mezi vstupy x(t) a výstupy y(t) systému, např. vztah mezi průběhem vlhkosti vzduchu  (t) a vlhkostí sušeného materiálu X(t) vztah mezi časovým průběhem teploty potraviny a koncentrací mikroorganizmů vztah mezi časovými průběhy koncentrací na vstupu a výstupu průtočného reaktoru vztah mezi časovým průběhem zavírání ventilu a tlakem v potrubí (hydraulický ráz) vztah mezi průběhy teploty kapaliny a záznamem plášťového termočlánku Přenosové charakteristiky x(t) y(t) x y t [s]

3 NAP3 Přenosové charakteristiky E(t) x(t) y(t) x y t [s] E U nelineárních systémů může i nepatrná změna vstupního signálu vyvolat nestability a tím se dostáváme do komplikovaně strukturované říše deterministického chaosu, podivných atraktorů (viz příští přednáška)…. Raději se jí zatím vyhneme: u lineárních systémů je to jednodušší, protože vztah mezi vstupní a výstupní funkcí lze vždy vyjádřit integrálním vztahem, tzv. konvolucí slovy: odezva y(t) je konvolucí vzruchu x(t) a přenosové funkce E(t), symbolický zápis y=E*x proč to tak je viz následující folie…

4 Diracovu funkci lze vyjádřit i jako limitu Gaussovy funkce NAP3 Přenosové charakteristiky E(t)  (t) E(t) Uvažujme speciální případ vstupní funkce x(t) ve tvaru nekonečně krátkého impulzu o jednotkové ploše. To je tzv. delta funkce  (t) rovná nule pro t  0 a nekonečnu pro t=0. Její integrál od minus do plus nekonečna je ale 1, takže konvoluční integrál je přímo roven funkci E(t): proto se funkce E(t) nazývá impulzní odezva x=  (t) t [s] E Experimentálně se impulzní odezva stanoví měřením odezvy systému na kratičký impulz, například mžikový nástřik značkovací látky do vstupního proudu. Impulzní odezva E(t) je pak měřená koncentrace značkovače na výstupu.

5 NAP3 Přenosové charakteristiky E(t) x(t) y(t) Obecnou vstupní funkci lze nahradit sekvencí nekonečně mnoha nekonečně krátkých pulzů s plochou x(  )d . Každému takovému impulzu odpovídá impulzní odezva, která je ale posunutá o čas  a násobená plochou vstupního pulzu x(  )d  (hovoříme o lineárních systémech, kde výstup je přímo úměrný vstupu). Součtem těchto elementárních odezev je pak konvoluční integrál E * x x(  )d  t [s] E(t-  )x(  )d   to plyne z toho, že impulzní odezva i x(t) jsou pro záporné časy nulové

6 NAP3 Jsou dva základní typy problémů Konvoluce, když známe charakteristiku systému E(t) a časový průběh vstupu x(t). Odezvu y(t) stanovíme integrací, nepříjemné je ale to, že pro každý čas t je třeba počítat jiný integrál. Dekonvoluce, když máme například změřené vstupy i výstupy x(t) a y(t) a chceme z nich stanovit impulzní odezvu E(t) (identifikace systému). Pak je třeba řešit integrální rovnici. Nástrojem pro řešení obou těchto problémů je Fourierova transformace Řešení Volterrovy rovnice Leger

7 Fourierova transformace Duchamp NAP3 Funkce x(t),y(t),E(t) by bylo možné aproximovat běžnými polynomy (viz regresní modely) a konvoluci vyjádřit vztahy mezi koeficienty těchto polynomů. Jenže: každý polynom „uteče“ k nekonečnu pro t  a regresní polynomy vyššího stupně než 7 ani nemají smysl (jejich koeficienty nejsou optimalizací určeny přesně, protože funkce 1,t,t 2,t 3,…,t 7,t 8 jsou si dost podobné a nejsou dostatečně lineárně nezávislé. Nakonec vždy převáží vliv zaokrouhlovacích chyb.). Místo těchto funkcí je proto užitečnější použít ortogonální funkce, např. ortogonální polynomy nebo goniometrické funkce a aproximovat funkce x,y,E Fourierovými rozvoji Ale co to vůbec znamená, když řekneme, že funkce P m (t) a P n (t) jsou ortogonální? Vlastně byste to měli vědět, viz předchozí přednáška ☺.

8 Například goniometrické funkce (sin, cos) jsou ortogonální v intervalu (-1,1). Ortogonalita P m (t)=cos 2  mt plyne z pro m=n, jinak =0 Zcela stejně lze dokázat ortogonalitu sin 2  mt. Z Eulerovy formule pak plyne i ortogonalita komplexní funkce Dokaž!!! i-imaginární jednotka NAP3 Ortogonalita Funkce P m (t) a P n (t) jsou ortogonální, když integrál jejich součinu (přes určitý interval) je roven nule. funkce cos jsou dokonce ortonormální, protože integrál jejich druhé mocniny je roven jedné. integrálu součinu se říká skalární součin dvou funkcí

9 Lineární kombinace ortogonálních funkcí P j (t) je Fourierovým rozvojem libovolné funkce c(t) NAP3 Fourierův rozvoj přičemž koeficienty rozvoje jsou funkcí c(t) určeny jednoznačně (a přiřazení se nazývá diskrétní Fourierova transformace) Dokaž!!! Koeficienty rozvoje lze jak vidno stanovit bez řešení soustavy lineárních algebraických rovnic (porovnej s příkladem regresní analýzy a obyčejných polynomů). Použití ortogonálních funkcí místo P 0 (t)=1, P 1 (t)=t, P 2 (t)=t 2,… je často výhodné i v regresní analýze, vezme se prostě jen několik prvních členů Fourierovy řady a jako ortogonální funkce např. Legendreovy, Čebyševovy, Hermiteovy nebo Laguerrovy zobecněné polynomy (odlišnost vyplývá z různé definice skalárního součinu, třeba u Laguerrových polynomů je integrační interval, zatímco u Legendreových. Volba vhodného typu ortogonální funkce je dána požadovaným definičním intervalem regresní funkce: když bude, použijeme Laguerrovy, pro interval Hermiteovy, pro konečný interval Legendreovy nebo Čebyševovy polynomy).LegendreovyČebyševovy HermiteovyLaguerrovy V dalším textu se však budeme zabývat jen Fourierovými rozvoji na bázi goniometrických funkcí (za okamžik dokážeme jejich ortogonalitu i na jiném intervalu než )

10 Spojitá dopředná Fourierova transformace funkce času na funkci frekvence Sumu nekonečného počtu členů Fourierovy řady lze nahradit integrálem. Místo přirozených čísel (indexů j) se použije spojitá veličina, frekvence f. Například NAP3 Fourierův rozvoj čímž se dostáváme k pojmu spojité integrální Fourierovy transformace. Zpětná Fourierova transformace z frekvenčního do časového prostoru Úžasnou výhodou FT je praktická shodnost dopředné a zpětné transformace (použije se stejný podprogram)! FT je komplexní funkce i když je c(t) funkce reálná Fourierova řada Fourierův integrál

11 Důkaz (nepřesný, spíše ilustrativní) NAP3 Fourierova transformace dále dokážeme, že funkce e 2  if  jsou ortonormální a jejich skalární součin je delta funkce  (  -t) Substituce 2  a(  - t)=x dx=2  ad 

12 Výkonová spektrální hustota (PSD Power Spectral Density ) Energie nízkých frekvencí Energie vysokých frekvencí (šum) NAP3 Fourierova transformace Graf PSD ukáže dominantní frekvence v signálu a umožní nastavení frekvenčních filtrů pro odstranění šumu

13 Půvab Fourierovy transformace tkví v tom, že 1.integrál součinu (typu konvoluce nebo korelace) převádí na prostý součin transformovaných funkcí 2.derivaci funkce převádí na násobení transformované funkce frekvencí (viz další přednáška) 3.dá se snadno provést zpětná transformace (snadný přechod z časového do frekvenčního prostoru a vice versa) NAP3 Fourierova transformace

14 Konvoluce dvou funkcí (určuje jak se změní funkce x(t), když projde filtrem y(t)) Korelace dvou funkcí (vyjadřuje míru shody funkcí x,y při vzájemném posunutí o čas t) Střední doba vstupu x(t)=0.5 Střední doba y(t)=2.1 Střední doba kros-korelace R xy (t)=1.6 reprezentuje časový posun mezi x(t) a y(t) NAP3 Fourierova transformace

15 Výpočet odezvy systému na daný vstupní signál x(t)  Stanoví se FT vstupu a impulzní odezvy (dopředná FT)  FT výstupu je součin FT (součin komplexních čísel)  Výstup se stanoví inverzní FT transformací NAP3 FT aplikace Identifikace systému ze změřeného vstupu a výstupu x(t),y(t)  Stanoví se FT vstupu a výstupu (dopředná FT)  FT impulzní odezvy je podíl FT (podíl komplexních čísel)  Impulzní odezva se stanoví inverzní FT transformací

16 Vzorkování signálu V reálu (i v numerice) pracujeme jen s bodovou reprezentací funkcí vzorkovaných obvykle s konstantním časovým krokem . Funkci reprezentuje N-bodů dat a N-frekvencí (sudé číslo) Nyquistova frekvence Nyquistova frequence je maximální frekvence rozlišitelná v datech vzorkovaných s krokem  22 NAP3

17 Diskrétní FT (Fourierova Transformace) DFT má stejné vlastnosti (konvoluce, korelace) jako spojitá Fourierova Transformace. NAP3 Diskrétní DFT     1 0 /2 )()( ~ N k Nikn kn etcfc  kde n=-N/2,-N/2+1,…,0,1,…,N/2 t: t 0 =0,t 1 = ,t 2 =2 ,3 ,......,t N-1 = (N-1) , f: f -N/2 =   2 1,f -N/2+1 =   1 ) ( N,.. f -1 =   N 1, f 0 =0, f 1 =  N 1,.. f N/2-1 =   1 ) ( N, f N/2 =  2 1

18 Diskrétní FT (Fourierova Transformace) N-Fourierových koeficientů reprezentuje funkci c(t) definovanou od -  do + , která prochází zadanými body c 0, c 1,…c N-1 a je periodická s periodou N . NAP3 ale sin(k  )=0 pro libovolné k Fourierovy koeficienty kladných a záporných Nyquistových frekvencí jsou totožné:

19 Záporné frekvence? NAP3 Při práci s DFT působí někdy problém zjistit, jaká frekvence odpovídá indexu vypočteného Fourierova koeficientu. Příklad: Bylo navzorkováno 8 dat s frekvencí 1 Hz, tj.  =1s. Nyquistova (maximální) frekvence je 0.5 Hz. Těmto osmi číslům (c 0,…,c 7 ) odpovídá vektor devíti koeficientů Fourierovy transformace (c -4,c -3,…c 0,…c 3,c 4 ) pro frekvence (-4/8,-3/8,-2/8,-1/8,0,1/8,2/8,3/8,4/8). Jenomže Fourierovy koeficienty kladných a záporných Nyquistových frekvencí jsou totožné (c -4 =c 4 ) takže těch koeficientů je vlastně jen osm a obvykle se uspořádají do vektoru, který začíná nulovou frekvencí, tj. (c 0, c -1, c -2, c -3,c 4 =c -4, c 3, c 2,, c 1 ), viz MATLAB. Když se jedná o FT reálné funkce úplně stačí uvažovat jen kladné (nebo záporné) frekvence, protože Fourierovy koeficienty kladných a záporných frekvencí nejsou nezávislé (jsou komplexně sdružené). FT je transformace 1:1, tzn. 8 reálných čísel se transformuje na jiných 8 reálných čísel, což jsou reálné a imaginární části pouze čtyř Fourierových koeficientů. Cosinové složky kladných a záporných frekvencí jsou totožné Sinusové složky kladných a záporných frekvencí mají jen obrácené znaménko

20 Dopředná a zpětná FFT NAP3 Diskrétní FFT (Fast FT) mezi DFT a FFT není žádný rozdíl- Fast Fourier Transform označuje jen velmi rychlý algoritmus vyčíslení sumy, který se dá použít tehdy, když N je mocnina dvou, tedy např. 512,1024,2048,… všimněte si, že FFT je transformace N-čísel c k na N-koeficientů, která odpovídá vzorkovacímu intervalu  =1s. Na to je třeba si dát pozor při výpočtu konvoluce a korelace. fnfn tktk Na této foliii se pokouším vysvětlit souvislosti mezi spojitou a diskrétní FT (když si pamatujete spojitou snadno odvodíte diskrétní). Jen si dejte pozor na roli časového kroku .

21 Parsevalův teorém NAP3 Diskrétní FFT (Fast FT) Slovy: výkon signálu počítaný z časového průběhu je stejný jako výkon, počítaný z frekvenčního průběhu (proč výkon? u elektrického signálu je výkon na konstantním odporu úměrný kvadrátu napětí).

22 NAP3 MATLAB příklady aplikací FFT Braque

23 FFT funkce v MATLABu Dopředná transformace vektoru c cf=fft(c,N) Inverzní transformace c=ifft(cf,N) Vektor vzorků dat c(1),c(2),….,c(N) Vektor vypočtených Fourierových koeficientů cf(1),…,cf(N) NAP3

24 FFT funkce v MATLABu NAP3 Na následující folii porovnáme definici Fourierovy transformace uvedenou dříve (s kladnými a zápornými frekvencemi) s definicí, kterou používá MATLAB.

25 FFT funkce v MATLABu NAP3 MATLAB (n=1 až N) FFT (n=-N/2 až N/2 index vyjadřuje přímo frekvenci) Vztahy pro výpočet Fourierových koeficientů dle původní definice FFT a MATLABu nejsou úplně stejné a mohlo by se zdát, že MATLAB operuje s frekvencemi, které jsou i vyšší než Nyquistova frekvence. Oba vztahy jsou ale správně a vypočtené koeficienty jsou totožné (jen jinak uspořádané). Je to důsledek periodicity goniometrických funkcí (exp(2  i(k-1))=1), takže např. MATLAB frekvence= f index koeficientu v MATLABu Nyquistova frekvence FFT takto jsme si definovali FT a tak je to v MATLABu

26 FFT MATLAB příklad PSD Běžnou aplikací FFT je nalezení dominantních frekvencí signálu, utopených v náhodném šumu. Uvažujme data vzorkovaná s frekvencí 1000 Hz. Vytvořte signál obsahující složky s frekvencí 50 Hz a 120 Hz na které je superponován náhodný šum s nulovou střední hodnotou: t = 0:0.001:0.6;x = sin(2*pi*50*t)+sin(2*pi*120*t); y = x + 2*randn(size(t)); Je asi těžké rozeznat základní frekvence v zaznamenaném signálu. Převedeme ho tedy do frekvenční oblasti použitím N=512ti bodů a FFT: Y = fft(y,512); Výkonové spektrum Pyy = Y.* conj(Y) / 512; Smysl má jen první polovina bodů (symetrie je daná tím, že y(t) byla reálná funkce a pro reálnou funkci jsou koeficienty záporných frekvencí komplexně sdružené s koeficienty kladných frekvencí) Normální distribuce náhodných čísel (střední hodnota=0, variance=1) DFT z 512ti vzorků (mocnina dvou) PSD Dominantní frekvence NAP3

27 FFT MATLAB příklad PSD Dominantní frekvence NAP3 V grafu PSD jsou na horizontální ose jen indexy Fourierových koeficientů, a my vidíme, že ty dominantní frekvence odpovídají Fourierovým koeficientům zhruba v rozsahu indexů 25 až 30 (první vrchol) a 60 až 65 (druhý vrchol). Frekvence odpovídající indexům plynou z definice inverzní transformace k je index vektoru vypočítaných Fourierových koeficientů, začínající od 1 Pro N=512 a  =0.001s je tudíž f 25 =47 Hz, f 30 =57 Hz, f 60 =115 Hz, f 65 =125 Hz tady je kladná a současně záporná Nyquistova frekvence případ, kdy pouze k- tý Fourierův koeficient je nenulový f = 1000*(0:256)/512;

28 PSD filtr šumu Nejjednodušší způsob filtrace šumu je potlačení Fourierových koeficientů vyšších frekvencí, např. komponent Y(65),Y(66),…Y(449) (přiřaď těmto prvkům nuly). Výsledná PSD je Filtrovaný signál je rekonstruován inverzní FT y=ifft(Y,512) Originální signál pro srovnání Vynulované fourierovy koeficienty NAP3 n 514-n prosím, vezměte v úvahu, že poslední koeficient Y(512) neodpovídá nulové, ale nejmenší frekvenci.

29 FFT konvoluce a korelace for i=1:512 c1(i)=t(i)*exp(-2*t(i)); c2(i)=t(i)^4*exp(-t(i)*3); end f1=fft(c1,512); f2=fft(c2,512); for i=1:512 c12(i)=f1(i)*f2(i); r12(i)=f1(i)*conj(f2(i)); end cc=ifft(c12,512)*0.001; rr=ifft(r12,512)*0.001; Fourierovy koef. pro konvoluci a korelaci efekt zrcadlení (periodicity FT) NAP3 Efekt zrcadlení je projev periodicity diskrétní Fourierovy transformace. Dá se potlačit jen volbou hodně dlouhého intervalu vzorkování. při konvoluci a korelaci se počítá součin FT a výsledek je třeba násobit , při dekonvoluci se počítá podíl FT a výsledek se musí dělit  Inverzní Fourierova transformace

30 FFT identifikace E(t) NAP3 Následující folie ilustrují základní techniku zpracování experimentů s radioizotopovými indikátory, používanou pro identifikaci impulsní odezvy průtočných systémů. Desítky konkrétních aplikací v průmyslu (fluidní spalování, pece, reaktory, absorbéry, kolony, filtry, aerační nádrže, mlýny, zásobníky) jsou uvedeny v monografii Thýn J.,Žitný R.:Analysis and diagnostics of industrial processes by radiotracers. ČVUT Praha 2000

31 FFT identifikace E(t) NAP3 dt=0.01; t=0:dt:10.23; n=2; tm=1; x=n^n.*t.^(n-1)/(factorial(n-1)*tm^n).*exp(-n.*t/tm); n=6; tm=3; y=n^n.*t.^(n-1)/(factorial(n-1)*tm^n).*exp(-n.*t/tm); x=x+0.01*randn(size(t)); y=y+0.005*randn(size(t));  (t) y(t) x(t) Uvažujme modelový systém, tvořený kaskádou 4 ideálně promíchávaných nádob. Impulzní odezva E(t) takové kaskády se dá vyjádřit v analytickém tvaru (třeba Laplaceovou transformací, ale to teď není důležité) N-počet míchaných nádob, t m je střední doba prodlení (celkový objem/průtok) Na vstupu budeme měřit signál x(t) (třeba koncentraci značkovací látky) a na výstupu signál y(t). Tyto signály vytvoříme uměle: x(t) jako odezvu na mžikový nástřik do systému tvořenému dvěma mísiči (N=2). Výstup y(t) pak musí být impulzní odezva kaskády šesti identických misičů (N=2+4) se střední dobou odpovídající součtu středních dob t m vstupního a identifikovaného systému. Takto vygenerované signály x(t) a y(t) pak zatížíme náhodným šumem x(t) y(t) úplně totéž se dá napsat v MATLABu na 4 řádky n^n.*t.^(n-1)./(factorial(n-1)*tm^n).*exp(-n.*t/tm) t=linspace(0,10.23,1024); x=e(t,1,2)+0.01*randn(size(t)); y=e(t,3,6)+0.005*randn(size(t)); anonymní se třemi parametry. Linspace je standardní funkce.

32 FFT identifikace E(t) NAP3 xf=fft(x); yf=fft(y); ef=yf./xf; e=ifft(ef)/dt; plot(t,e) Impulzní odezvu identifikovaného systému získáme dekonvolucí, tj. aplikací FFT na signály vstupu i výstupu (vektory Fourierových koeficientů xf(1:1024), yf(1:1024)), Fourierovy koeficienty funkce E(t) jsou prostě jen podíl koeficientů yf(i)/xf(i) a impulzní odezva se získá zpětnou FFT xf=fft(x); yf=fft(y); ef=yf./xf; ef(17: )=0; e=ifft(ef)/dt; Výsledek je divoce rozkmitaná funkce mající jen pramálo společného s teoretickou impulzní odezvou (modrá křivka n=4; tm=2;et=n^n.*t.^(n-1)/(factorial(n-1)*tm^n).*exp(-n.*t/tm); ). Dekonvoluce je totiž tzv. špatně podmíněný problém, kdy i malá odchylka výstupního signály y(t) zapříčiní velkou odchylku řešení integrální rovnice. Šum výsledku je možné potlačit vynulováním vyšších frekvencí, např. teoretická impulzní odezva

33 FFT identifikace E(t) Wiener NAP3 V předchozím případu jsme filtrovali šum z výsledné impulzní odezvy. Možná trochu správnější je filtrovat šum jen z výstupní funkce y(t) a to tak, že potlačíme vyšší frekvence v koeficientech Fourierovy transformace yf tzv.Wienerovou filtrací (její teoretický popis najdete např. v Teukolski et al.: Numerical recipes). Opět se vychází z grafu PSD zašuměné odezvy, z něhož se odhadnou frekvence „užitečného“ signálu a frekvence, které je třeba potlačit. PSD „zašuměného“ signálu odhadnutá PSD „čistého“ signálu touto korekční funkcí se pak násobí Fourierova transformace změřeného výstupu log PSD to je jen ukázka prvních 100 frekvencí PSD. Červená čára je extrapolací šumu a umožňuje odseparovat šum a užitečný signál.

34 FFT posunutí signálu NAP3 Transformace „posunutého“ signálu v čase se realizuje jen násobením FT exponenciálou. To usnadňuje modelování systémů v nichž se například objevuje dopravní zpoždění (a které působí problémy při numerickém řešení soustavy diferenciálních rovnic). dt=0.01; t=0:dt:10.23; for i=1:1024 f(i)=(i-1)/(1024*dt); end % vstup tm=1, N=2 n=2; tm=1; x=n^n.*t.^(n-1)/(factorial(n-1)*tm^n).*exp(-n.*t/tm); xf=fft(x); tau=-2; xfp=xf.*exp(2*pi*tau*complex(0,1).*f); yf=xfp.*xf; xp=ifft(xfp); y=ifft(yf)*dt;  (t) y(t) x(t) xp(t) FT funkce posunuté o  Odezva serie dvou mísičů Zona pístového toku (zdržení  ) x(t) xp(t) y(t) Vektor frekvencí Posunutí o tau

35 Korelace stimulovaného nebo náhodného signálu ze dvou míst (technicky třeba korelace signálu dvou termočlánků) T1T1 T2T2 Ohřívač (zdroj náhodných pulzů) NAP3 FFT vzájemná korelace Z korelační funkce lze vyhodnotit časový posun signálů a z něho pak třeba rychlost, průtok,… Ale třeba též deformace povrchu zatížené součásti snímané digitálními kamerami (image processing)

36 Příklad simulovaný v MATLABu Ohřívač Náhodný signál posunutý o 100 časových kroků NAP3 FFT vzájemná korelace z polohy tohoto vrcholku lze usuzovat na dobu průchodu a průtok

37 NAP3 Co je třeba si pamatovat Přednáška byla věnována Fourierově transformaci a jejím aplikacím. Zapamatujte si alespoň to, co je na následující folii

38 NAP3 Co je třeba si pamatovat Co je konvoluce, dekonvoluce, přenos a korelace Fourierova transformace Fourierova transformace konvoluce a korelace Diskrétní Fourierova transformace Nyquistova frekvence 1/2  Jak se změní signál x(t) po průchodu filtrem E(t) Korelace dvou signálů posunutých o čas t


Stáhnout ppt "NUMERICKÁ ANALÝZA PROCESů NAP3 Modely „černých krabiček“ a experimentální identifikace charakteristik lineárních systémů: Přenosové charakteristiky systému."

Podobné prezentace


Reklamy Google