Prezentace se nahrává, počkejte prosím

Prezentace se nahrává, počkejte prosím

GRAFOVÉ ALGORITMY A ZÁKLADY TEORIE SLOŽITOSTI Doc. RNDr. Josef Kolář, CSc. Katedra teoretické informatiky FIT České vysoké učení technické v Praze BI-GRA,

Podobné prezentace


Prezentace na téma: "GRAFOVÉ ALGORITMY A ZÁKLADY TEORIE SLOŽITOSTI Doc. RNDr. Josef Kolář, CSc. Katedra teoretické informatiky FIT České vysoké učení technické v Praze BI-GRA,"— Transkript prezentace:

1 GRAFOVÉ ALGORITMY A ZÁKLADY TEORIE SLOŽITOSTI Doc. RNDr. Josef Kolář, CSc. Katedra teoretické informatiky FIT České vysoké učení technické v Praze BI-GRA, LS 2013/2014, Lekce 1 Evropský sociální fond. Praha & EU: Investujeme do vaší budoucnosti Doc. Josef Kolář (ČVUT)Grafové modelyGRA, LS 2013/14, Lekce 1 1 / 40

2 Doc. Josef Kolář (ČVUT)Grafové modelyGRA, LS 2013/14, Lekce 1 2 / 40 Info o výuce předmětu BI-GRA je předmět teoretického základu. Jeho hlavním cílem je seznámit se –se základními grafovými pojmy a jejich vlastnostmi –s grafovými algoritmy a jejich složitostí –s možnostmi přizpůsobení těchto algoritmů specifickým potřebám Bodové hodnocení studia: –cvičení  26 bodů (2 testy...  20 + aktivita...  18), minimum 13 –midterm  30 bodů, minimum 15 –zkouška  44 bodů (malá... 24, velká , ústní ) Cvičení mají seminární formu, kde se –předpokládá základní seznámení s pojmy zavedenými na přednášce –posiluje pochopení těchto pojmů a jejich vzájemných vztahů –procvičují a upravují/doplňují základní grafové algoritmy –píší se dva testy (midterm bude mimo rozvrh) Účast na cvičeních se kontroluje Přednášky – zadání kontrolních úloh –řešením lze získat max. 10 bodů (nahrazují případnou ústní část zkoušky) –řešení se odevzdávají přes Moodle (http://ocw.cvut.cz/moodle/, pokyny viz edux)http://ocw.cvut.cz/moodle/

3 Doc. Josef Kolář (ČVUT)Grafové modelyGRA, LS 2013/14, Lekce 1 3 / 40 Stručný obsah předmětu Hlavní tématické celky: Neorientované a orientované grafy 70% –základní grafové pojmy a jejich vlastnosti („teorie“) 30% –počítačová reprezentace grafů, typické algoritmy 40% Toky v sítích 16% Algoritmy umělé inteligence 7% P/NP třídy složitosti, NP-úplné problémy 7% Většina témat je pokryta ve skriptu Kolář, J.: Teoretická informatika. Vyd. ČVUT 2009 (?)

4 Doc. Josef Kolář (ČVUT)Grafové modelyGRA, LS 2013/14, Lekce 1 4 / 40 BI-GRA silně navazuje na předměty BI-EFA – využívají se datové struktury vhodné pro práci s grafy, provádí se analýza složitosti algoritmů BI-ZDM – indukce v důkazech, rekurze v algoritmech O CO tedy půjde (kromě jiného)? NEBÁT SE MYSLET! JAK na to ? –určitě NE jenom čtením (těchto) příprav –(radši) chodit na přednášky –chodit připravený(-á) na cvičení –ptát se (radši dřív než pozdě nebo vůbec) –sledovat Web a skripta –řešit kontrolní úlohy Obsah a návaznosti...

5 Doc. Josef Kolář (ČVUT)Grafové modelyGRA, LS 2013/14, Lekce 1 5 / 40 Několik ukázkových příkladů (problémů)

6 Doc. Josef Kolář (ČVUT)Grafové modelyGRA, LS 2013/14, Lekce 1 6 / 40 Systém pražské MHD zahrnuje linky tramvají, autobusů a metra. Každou z linek máme zadánu jako seznam zastávek od jedné konečné do druhé. Předpokládejme, že z linky na linku lze přesedat pouze na stejně pojmenované zastávce. Jak zjistit, zda je možné projet všechny úseky všech linek v rámci jediné okružní jízdy s libovolným počtem přestupů tak, aby se každý usek (příp. každá zastávka) projel právě jednou? (???) Příklad 1 – Okružní jízda s MHD

7 Doc. Josef Kolář (ČVUT)Grafové modelyGRA, LS 2013/14, Lekce 1 7 / 40 Jakým minimálním počtem "otevřených" jízd je možné projet všechny úseky (zastávky) všech linek pokud to nelze zvládnout jedinou okružní jízdou? Jak určit způsob dopravy ze zastávky A do zastávky B nějakých linek se zaručeně minimálním počtem přestupů ? (???) Příklad 2 – Optimální trasy v MHD

8 Doc. Josef Kolář (ČVUT)Grafové modelyGRA, LS 2013/14, Lekce 1 8 / 40 Příklad 3 - Dispečer hasičů Dispečer má k dispozici aktualizovanou mapu města (neprůjezdné a jednosměrné ulice,...) zná polohu a stav n hasičských stanic. Pro hašení požáru na nějakém místě potřebuje určit k (  n) stanic, které jsou nejblíže požáru, a určit jejich příjezdovou trasu. Jak vybrat oněch k stanic a jejich trasy?

9 Doc. Josef Kolář (ČVUT)Grafové modelyGRA, LS 2013/14, Lekce 1 9 / 40 Příklad 4 – skladování ocelových nosníků Konstrukční firma používá ocelové nosníky téhož profilu v délkách L 1 < L 2 <...< L n, od každé délky potřebuje mít k dispozici D 1, D 2,..., D n kusů. Nevyplatí se jí skladovat všechny délky, nosníky lze řezat.  K i – cena za vybavení skladu policemi pro skladování nosníků délky L i  C i – cena jednoho nosníku délky L i Jaké nosníky vybrat pro skladování, aby se minimalizovaly náklady na skladování a cena odpadu při řezání? Vytvoříme graf s uzly označenými 0, 1, 2,..., n a hranami (i,j) pro všechna i,j = 0,..., n, i

10 Doc. Josef Kolář (ČVUT)Grafové modelyGRA, LS 2013/14, Lekce 1 10 / 40 Příklad 5 – Internet Internet = obrovská (grafová) struktura Směrování paketů na internetu –směrovací tabulky (statické/dynamické) –algoritmy tvorby tabulek PageRank - vyhledávač Google hodnotí důležitost www stránky podle toho –z kolika stránek na ni vede odkaz –hodnota každého odkazu současně závisí na důležitosti výchozí stránky Obrovský graf vzájemných odkazů mezi stránkami na Webu –500*10 6 proměnných –2*10 9 položek

11 Doc. Josef Kolář (ČVUT)Grafové modelyGRA, LS 2013/14, Lekce 1 11 / 40 NEORIENTOVANÉ A ORIENTOVANÉ GRAFY

12 Doc. Josef Kolář (ČVUT)Grafové modelyGRA, LS 2013/14, Lekce 1 12 / 40 (Neorientované) grafy a grafové operace Seznámíme se s následujícími pojmy: neorientovaný graf, hrany, uzly, incidence, krajní uzly hrany multigraf, prostý graf, obyčejný graf, úplný graf, prázdný graf, diskrétní graf, izolovaný uzel podgraf, faktor, indukovaný podgraf operace s grafy (sjednocení, průnik, rozdíl, symetrická diference a doplněk), disjunktní a hranově disjunktní grafy, konečný / nekonečný graf izomorfismus grafů Skripta odstavec 2.1, str

13 Doc. Josef Kolář (ČVUT)Grafové modelyGRA, LS 2013/14, Lekce 1 13 / 40 Co je to neorientovaný graf ?  : H  U  U (množina neuspořádaných dvojic, též jedno- a dvoj- prvkových podmnožin množiny uzlů) (uzly  vrcholy)  (h) = [u, v]... krajní uzly hrany h, u a v jsou sousedi  (h 1 ) =  (h 2 )... rovnoběžné hrany  multigraf prostý graf = graf bez rovnoběžných hran, tzn. hranu určují její krajní uzly   je zbytečné, stačí G =  H, U  (graf jako struktura z hran a uzlů) obyčejný graf = prostý graf bez smyček G = H, U,  hrany grafu G, H(G), H G uzly grafu G, U(G), U G incidence, (G),  G

14 Doc. Josef Kolář (ČVUT)Grafové modelyGRA, LS 2013/14, Lekce 1 14 / 40 Příklad neorientovaného grafu Nakreslení grafu G =  {a,b,c,d,e,f,g,h}, {u,v,w,x,y},  = jeho grafické znázornění (v rovině) (a)=[v,v] - smyčka (b)=[u,v] (d)=[u,x] = (e) (h)=[x,y] (c)=[x,v]... a b c e d f g v w u y x h

15 Doc. Josef Kolář (ČVUT)Grafové modelyGRA, LS 2013/14, Lekce 1 15 / 40 Speciální případy grafů úplný graf: K n =  ( ), U , |U|=n úplný bipartitní graf K m,n má všechny hrany z m do n uzlů úplný k-partitní graf - obdobně K k,m,n,..., K n1,n2,...nk ?? počet hran v takovém grafu ?? U2U2 prázdný graf:  ,  diskrétní graf: D n = , U  (jen n izolovaných uzlů) K3K3 K4K4 K5K5

16 Doc. Josef Kolář (ČVUT)Grafové modelyGRA, LS 2013/14, Lekce 1 16 / 40 Speciální případy grafů K 3,2 K 3,4 K 2,4,3 kružnice C 5 hvězdice

17 Doc. Josef Kolář (ČVUT)Grafové modelyGRA, LS 2013/14, Lekce 1 17 / 40 podgraf... G’ =  H’, U’,  ’ , G =  H, U,  : G’  G  H’  H & U’  U &  ’(h)=  (h) pro všechny h  H' faktor grafu … podgraf se všemi uzly (hranový podgraf ) podgraf indukovaný podmínkou:  podmnožina uzlů U 1  podmnožina hran H 1  vypuštění uzlů U 2  vypuštění hran H 2 G U2U2 G-U 2 H2H2 G-H 2 G 1 indukovaný U 1 U1U1 H1H1 G 2 indukovaný H 1 Podgrafy

18 Doc. Josef Kolář (ČVUT)Grafové modelyGRA, LS 2013/14, Lekce 1 18 / 40 G 1 =  H 1, U 1,  1 , G 2 =  H 2, U 2,  2 ... dva neorientované grafy sjednocení a průnik grafů G 1 a G 2 G 1 G 2 = H 1 H 2, U 1 U 2,  1  2  (výsledkem musí G 1 G 2 = H 1 H 2, U 1 U 2,  1  2  být opět grafy!!!) disjunktní a hranově disjunktní grafy U 1 U 2 =  (tedy i H 1 H 2 =  ) H 1 H 2 =  G1G1 G2G2 G 1  G 2 G 1  G 2 Operace s grafy

19 Doc. Josef Kolář (ČVUT)Grafové modelyGRA, LS 2013/14, Lekce 1 19 / 40 rozdíl G - G 1 grafů G a G 1 G je takový minimální graf G 2, pro který platí G = G 1  G 2 rozdíl pro obecné grafy G a G': G – G' = G – (G  G') doplněk (obyčejného) grafu G= H, U,   : -G = K U – G symetrická diference grafů G a G' : G  G' = (G  G') – (G  G') konečný x nekonečný graf Operace s grafy (pokračování)

20 Doc. Josef Kolář (ČVUT)Grafové modelyGRA, LS 2013/14, Lekce 1 20 / 40 G 1  G 2 … izomorfní grafy(neumíme snadno zjistit!!) automorfismus grafu – izomorfismus na sebe, počet automorfismů ~ míra symetrie grafu morfismus grafů … zachovává incidenci, ale není nutně bijekcí Izomorfismus grafů G 1 =  H 1, U 1,  1  a G 2 =  H 2, U 2,  2  je zobrazení  množiny H 1  U 1 na H 2  U 2 takové, že:  / H 1 : H 1  H 2 je bijekce  / U 1 : U 1  U 2 je bijekce  zachovává incidenci, t.zn.  :  1 (h) = [u,v]   2 (  (h)) = [  (u),  (v)] Izomorfismus (isomorfismus) grafů

21 AB CD G1G1 a b c d G2G2 Jak je to s izomorfismem G 1 a G 2 jsou izomorfní G 1  G 2 Doc. Josef Kolář (ČVUT)Grafové modelyGRA, LS 2010/11, Lekce 1 21 / 40 Doc. Josef Kolář (ČVUT)GRA, LS 2011/12, Lekce 1 21 / 40Grafové modely

22 A B CD G1G1 abc d G2G2 G 1 a G 2 jsou izomorfní G 1  G 2 Doc. Josef Kolář (ČVUT)Grafové modely Jak je to s izomorfismem Doc. Josef Kolář (ČVUT)Grafové modely GRA, LS 2011/12, Lekce 1 22 / 40

23 AB C D G1G1 abc d G2G2 G 1 : U 1 = {A, B, C, D}, H 1 = { [A,B], [A,C], [A,D], [B,D], [C,D] } G 2 : U2 = {a, b, c, d}, H2 = { [a,b], [a,c], [b,c], [b,d], [c,d] } IZOMORFIZMUS: (A) = c, (B) = d, (C) = a, (D) = b ([A,B])=[c,d], ([A,C])=[c,a], ([A,D])=[c,b], ([B,D])=[d,b], ([C,D])=[a,b] Doc. Josef Kolář (ČVUT)Grafové modely Jak je to s izomorfismem Doc. Josef Kolář (ČVUT)Grafové modely GRA, LS 2011/12, Lekce 1 23 / 40

24 AB C D G1G1 abc d G2G2  2 : A  c, B  a, C  d, D  b AB C D G1G1 a bc d G2G2  3 : A  b, B  a, C  d, D  c Doc. Josef Kolář (ČVUT)Grafové modely Jak je to s izomorfismem Doc. Josef Kolář (ČVUT)Grafové modely GRA, LS 2011/12, Lekce 1 24 / 40

25 AB C D G1G1 a bc d G2G2  4 : A  b, B  d, C  a, D  c Máme celkem 4 různé izomorfismy:  1 : A  c, B  d, C  a, D  b  2 : A  c, B  a, C  d, D  b  3 : A  b, B  a, C  d, D  c  4 : A  b, B  d, C  a, D  c ? Jak jsme je zjistili ? Doc. Josef Kolář (ČVUT)Grafové modely Jak je to s izomorfismem Doc. Josef Kolář (ČVUT)Grafové modely GRA, LS 2011/12, Lekce 1 25 / 40

26 A --- b D --- c B --- a C --- d JAK LZE PŘIŘAZOVAT UZLY: {A,D}  {b,c} A {B,C}  {a,d} A --- c D --- b B --- d C --- a AB CD G1G1 abcd G2G2 A --- b D --- c B --- d C --- a A --- c D --- b B --- a C --- d B --- a C --- d A --- b D --- c B --- d C --- a B --- a C --- d B --- d C --- a A --- c D --- b Doc. Josef Kolář (ČVUT)Grafové modely Jak je to s izomorfismem Doc. Josef Kolář (ČVUT)Grafové modely GRA, LS 2011/12, Lekce 1 26 / 40

27 A  6, B  5, C  4, D  3, E  2, F  1 VŠECHNY IZOMORFISMY MEZI G 1 A G 2 AE G2G2 BCDF G1G1 5 6 A  1, B  2, C  3, D  4, E  5, F  6 Skupiny: krajní uzly {A,F}  {1,6}, vnitřní uzly {B,C,D,E}  {2,3,4,5} (pořadí!!) Doc. Josef Kolář (ČVUT)Grafové modely Jak je to s izomorfismem Doc. Josef Kolář (ČVUT)Grafové modely GRA, LS 2011/12, Lekce 1 27 / 40

28 VŠECHNY IZOMORFISMY MEZI G 1 A G 2 A  Cn Cn B C E D F GH I G1G n  Cn Cn G2G2 A B C D E F A --- n B C D E F A --- n-1 B --- n C D E F A B C D E F A --- n B --- n-1 C --- n-2 D --- n-3 E --- n-4 F --- n A B --- n C --- n-1 D --- n-2 E --- n-3 F --- n A B C --- n D --- n-1 E --- n-2 F --- n A --- n-1 B --- n-2 C --- n-3 D --- n-4 E --- n-5 F --- n CELKEM 2n IZOMORFISMŮ Doc. Josef Kolář (ČVUT)Grafové modely Jak je to s izomorfismem Doc. Josef Kolář (ČVUT)Grafové modely GRA, LS 2011/12, Lekce 1 28 / 40

29 A G1G1 G2G2 BC D EF abc def Skupiny uzlů podle počtu incidujících hran: {A,F}  {a,c}, {B,D}  {b,d}, {C,E}  {e,f} Postupně přiřazujeme: {A  a, F  c}  (hrany [A,B]  [a,d]) {B  d, D  b}   (hrany [B,C]  [d,e]) {C  e, E  f} Získaný izomorfismus mezi G 1 a G 2 je jediný. Doc. Josef Kolář (ČVUT)Grafové modely Jak je to s izomorfismem Doc. Josef Kolář (ČVUT)Grafové modely GRA, LS 2011/12, Lekce 1 29 / 40

30 Doc. Josef Kolář (ČVUT)Grafové modelyGRA, LS 2013/14, Lekce 1 30 / 40 Další příklady na počty izomorfismů C9C Kolika způsoby lze na sebe izomorfně zobrazit kružnici C n bez dvou hran? Graf už není symetrický, uzly tvoří přirozenou posloupnost – kontrolní otázka: Kolik to bude dělat? 1.Kolika způsoby lze úplný graf K n zobrazit izomorfně na sebe? Graf je zcela symetrický, za izomorfismus lze vzít libovolnou permutaci uzlů (a odpovídající přiřazení hran) => n! 3.Kolika způsoby lze na sebe izomorfně zobrazit úplný bipartitní graf K m,n ? Graf je velmi symetrický, ale uzly tvoří dvě skupiny: m!.n! (pro mn) a 2.n!.n! (pro m=n)

31 Doc. Josef Kolář (ČVUT)Grafové modelyGRA, LS 2013/14, Lekce 1 31 / 40 Kontrolní otázky 1.1Lze určit maximální počet hran obyčejného (resp. prostého, resp. obecného) neorientovaného grafu o n uzlech ? 1.2Jaká je role incidence v definici neorientovaného grafu ? 1.3Kolik různých faktorů má neorientovaný graf o m hranách a n uzlech ? 1.4Kolik různých faktorů má úplný graf K n ? 1.5Který graf o n uzlech má pouze jeden faktor ? 1.6Charakterizujte podgraf úplného grafu K n indukovaný libovolnou podmnožinou jeho uzlů. 1.7Zvažte pravdivost tvrzení: Je-li graf G 1 podgrafem grafu G, pak existuje taková podmnožina uzlů U 1, že G 1 je podgrafem indukovaným touto podmnožinou uzlů. 1.8Zvažte pravdivost tvrzení: Je-li graf G 1 podgrafem grafu G, pak existuje taková podmnožina hran H 1, že G 1 je podgrafem indukovaným touto podmnožinou hran.

32 Doc. Josef Kolář (ČVUT)Grafové modelyGRA, LS 2013/14, Lekce 1 32 / 40 Kontrolní otázky 1.9Nechť G 1, resp. G 2 je podgraf grafu G indukovaný podmnožinou uzlů U 1, resp. U 2. Za jakých podmínek bude platit, že G 1  G 2 je roven podgrafu indukovanému podmnožinou uzlů U 1  U 2 ? 1.10Kolik neizomorfních faktorů má úplný graf K 4 (K 5 ) ? 1.11 Kolika různými izomorfismy lze zobrazit graf následujícího tvaru na sebe? Graf je tvořen do kruhu propojenými r (  3) malými kružnicemi K 1, … K r, z nichž každá obsahuje stejný počet 2s uzlů (a hran). Propojovací hrany spojují vždy uzly 1 a s+1 ze soused- ních kružnic. K1K1 K2K2 K3K3 K4K4 KrKr...

33 Doc. Josef Kolář (ČVUT)Grafové modelyGRA, LS 2013/14, Lekce 1 33 / 40 Sousedi a stupeň uzlu v grafu Seznámíme se s následujícími pojmy: sousední uzly, sousední hrany množina sousedů uzlu/podmnožiny uzlů stupeň uzlu, soubor stupňů pravidelný graf Skripta strana

34 uvx rwz y dvojice sousedních uzlů dvojice sousedních hran množina sousedů uzlu u...  (u) množina sousedů podmnožiny uzlů A  (A) =   (u) pro u  A  (u) = {v},  (v) = {u,x,r,w,z},  (y) =   ({u,z}) = {v,w,r}  ({v,w}) = {u,v,x,z,w,r} Sousedi a stupeň uzlu v grafu Doc. Josef Kolář (ČVUT)Grafové modelyGRA, LS 2011/12, Lekce 1 34 / 40

35 Věta:   (u) = 2|H| uUuU Důvod: Každá hrana přispívá do celkového součtu stupňů právě dvěma jednotkami. y x Graf   (u) = = 18 uUuU |H| = 9 Stupeň  (u) uzlu u je počet hran, které s uzlem incidují. Doc. Josef Kolář (ČVUT)Grafové modely Stupeň uzlu v grafu GRA, LS 2011/12, Lekce 1 35 / 40

36 Soubor stupňů grafu – (neklesající) posloupnost sestavená ze stupňů všech uzlů grafu. G1G Soubor stupňů grafu G 1 : (2, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 5) Jak určíme stupně uzlů se smyčkami ??? Doc. Josef Kolář (ČVUT)Grafové modely Věta: G 1  G 2  G 1 a G 2 mají stejný soubor stupňů. Důvod: Obrazy hran incidujících s u jsou hrany incidující s  (u). Stupeň uzlu v grafu GRA, LS 2011/12, Lekce 1 36 / 40

37 Pozor: Když mají grafy G 1 a G 2 stejný soubor stupňů, zdaleka nemusí být izomorfní. G2 G2 (1, 2, 2, 2, 3) G1 G G1 G1 G2 G2 G3 G3 (1, 2, 2, 3, 3, 3) Doc. Josef Kolář (ČVUT)Grafové modely Stupeň uzlu v grafu GRA, LS 2011/12, Lekce 1 37 / 40

38 Věta: V každém grafu je sudý počet uzlů lichého stupně. Důkaz: Např.: Soubor stupňů: (1, 3, 4, 4, 4, 5, 6, 6, 7) Doc. Josef Kolář (ČVUT)Grafové modely Stupeň uzlu v grafu Pravidelný grafu stupně k (k  0) - všechny uzly mají stupeň právě k. Jak vypadá pravidelný graf stupně 0, 1, 2, (n-1) ? GRA, LS 2011/12, Lekce 1 38 / 40

39 Doc. Josef Kolář (ČVUT)Grafové modelyGRA, LS 2013/14, Lekce 1 39 / 40 Kontrolní otázky 1.11Může být uzel obyčejného (resp. prostého, resp. obecného) grafu sousedem sám sobě ? 1.12Jak souvisí stupeň uzlu obyčejného (resp. obecného) grafu s počtem sousedů tohoto uzlu? 1.13Jak bude vypadat obyčejný graf G =  H,U  s n uzly a minimálním počtem hran, pro jehož nějaký uzel u platí  (u) = U - {u} ? 1.14Vyslovte tvrzení o struktuře pravidelného grafu stupně 1, resp Může být graf se souborem stupňů (1,1,1,1,1,1,1,3,4) stromem ? 1.16Obyčejný graf G má n 1 uzlů stupně k 1, dále n 2 uzlů stupně k 2 a už žádné další uzly. Jaký maximální počet různých automorfismů může mít graf G ? 1.17Je možné nalézt nějaký pravidelný graf stupně 3, který má 7 uzlů ? 1.18Nalezněte příklady alespoň dvou neizomorfních obyčejných grafů se shodným souborem stupňů (1, 1, 2, 2, 3, 3). 1.19Nechť u je uzel stupně k grafu G a u' jeho obraz v izomorfním grafu G'. Vyslovte nějaké tvrzení o stupních sousedů uzlu u a sousedů uzlu u'.

40 Doc. Josef Kolář (ČVUT)Grafové modelyGRA, LS 2013/14, Lekce 1 40 / 40 Kontrolní otázky 1.20Mějme graf G =  H,U  a libovolnou podmnožinu jeho uzlů A  U. Označme jako B množinu sousedů uzlů z množiny A: B=  (A). Lze tvrdit, že platí  (B) = A ? 1.21Vytvořte návod, jak pro danou neklesající posloupnost přirozených čísel (d 1, d 2,..., d n ) určit nějaký obecný graf (pokud existuje), jehož je tato posloupnost souborem stupňů. 1.22Nechť G 1 a G 2 jsou dva různé faktory neorientovaného grafu G, označíme  1 (u i ), resp.  2 (u i ) stupeň uzlu u i v grafu G 1, resp. G 2. Vyjádřete pomocí  1 (u i ) a  2 (u i ) možné rozpětí hodnot pro stupeň  '(u i ) uzlu u i ve faktoru G' grafu G vytvořeném jako symetrická diference faktorů G 1 a G 2 (G' = G 1  G 2 ).


Stáhnout ppt "GRAFOVÉ ALGORITMY A ZÁKLADY TEORIE SLOŽITOSTI Doc. RNDr. Josef Kolář, CSc. Katedra teoretické informatiky FIT České vysoké učení technické v Praze BI-GRA,"

Podobné prezentace


Reklamy Google