Prezentace se nahrává, počkejte prosím

Prezentace se nahrává, počkejte prosím

1 AB CD G1G1 abcd G2G2 G 1 a G 2 jsou izomorfní G 1  G 2 Jak je to s izomorfismem.

Podobné prezentace


Prezentace na téma: "1 AB CD G1G1 abcd G2G2 G 1 a G 2 jsou izomorfní G 1  G 2 Jak je to s izomorfismem."— Transkript prezentace:

1 1 AB CD G1G1 abcd G2G2 G 1 a G 2 jsou izomorfní G 1  G 2 Jak je to s izomorfismem

2 2 A B CD G1G1 abc d G2G2 G 1 a G 2 jsou izomorfní G 1  G 2 Jak je to s izomorfismem

3 3 AB C D G1G1 abc d G2G2 IZOMORFIZMUS A --- c B --- d C --- a D --- b U 1 = {A, B, C, D} H 1 = { [A,B], [A,C], [A,D], [B,D], [C,D] } G1:G1: U 2 = {a, b, c, d} H 2 = { [a,b], [a,c], [b,c], [b,d], [c,d] } G2:G2: Jak je to s izomorfismem

4 4 IZOMORFIZMUS ? U 2 = {a, b, c, d} H 2 = { [a,b], [a,c], [b,c], [b,d], [c,d] } G2:G2: U 1 = {A, B, C, D} H 1 = { [A,B], [A,C], [A,D], [B,D], [C,D] } G1:G1: Jak je to s izomorfismem

5 5 IZOMORFIZMUS ! A --- c B --- d C --- a D --- b U 1 = {A, B, C, D} H 1 = { [A,B], [A,C], [A,D], [B,D], [C,D] } G1:G1: U 2 = {a, b, c, d} H 2 = { [a,b], [a,c], [b,c], [b,d], [c,d] } G2:G2: Jak je to s izomorfismem

6 6 A --- c B --- d C --- a D --- b IZOMORFIZMUS U = {c, d, a, b} H = { [c,d], [c,a], [c,b], [d,b], [a,b] } obraz G 1 : U 1 = {A, B, C, D} H 1 = { [A,B], [A,C], [A,D], [B,D], [C,D] } G1:G1: U = {a, b, c, d} H = { [a,b], [a,c], [b,c], [b,d], [c,d] } obraz G 1 : pouze seřaď uzly a hrany U 2 = {a, b, c, d} H 2 = { [a,b], [a,c], [b,c], [b,d], [c,d] } G2:G2: totéž... Jak je to s izomorfismem

7 7 A --- c B --- d C --- a D --- b IZOMORFIZMUS U = {A, B, C, D} H = { [A,B], [A,C], [A,D], [B,D], [C,D] } U 1 = {A, B, C, D} H 1 = { [A,B], [A,C], [A,D], [B,D], [C,D] } G1:G1: U = {C, D, A, B} H = { [C,D], [C,A], [D,A], [D,B], [A,B] } pouze seřaď uzly a hrany obraz G 2 : U 2 = {a, b, c, d} H 2 = { [a,b], [a,c], [b,c], [b,d], [c,d] } G2:G2: obraz G 2 : totéž... Jak je to s izomorfismem

8 8 AB C D G1G1 abc d G2G2 AB C D G1G1 a bc d G2G2

9 9 AB C D G1G1 a bc d G2G2 DALŠÍ IZOMORFIZMUS A --- b B --- a C --- d D --- c C D A B a b c d Jak je to s izomorfismem

10 10 U = {b, a, d, c} H = { [b,a], [b,d], [b,c], [a,c], [d,c] } obraz G 1 : U 1 = {A, B, C, D} H 1 = { [A,B], [A,C], [A,D], [B,D], [C,D] } G1:G1: U = {a, b, c, d} H = { [a,b], [a,c], [b,c], [b,d], [c,d] } obraz G 1 : pouze seřaď uzly a hrany U 2 = {a, b, c, d} H 2 = { [a,b], [a,c], [b,c], [b,d], [c,d] } G2:G2: DALŠÍ IZOMORFIZMUS A --- b B --- a C --- d D --- c totéž... Jak je to s izomorfismem

11 11 U 1 = {A, B, C, D} H 1 = { [A,B], [A,C], [A,D], [B,D], [C,D] } G1:G1: U = {B, A, D, C} H = { [B,A], [C,A], [D,A], [D,B], [A,B] } pouze seřaď uzly a hrany obraz G 2 : U 2 = {a, b, c, d} H 2 = { [a,b], [a,c], [b,c], [b,d], [c,d] } G2:G2: DALŠÍ IZOMORFIZMUS A --- b B --- a C --- d D --- c U = {A, B, C, D} H = { [A,B], [A,C], [A,D], [B,D], [C,D] } obraz G 2 : totéž... Jak je to s izomorfismem

12 12 A --- b B --- a C --- d D --- c VŠECHNY IZOMORFIZMY A --- c B --- d C --- a D --- b AB CD G1G1 abcd G2G2 A --- b B --- d C --- a D --- c A --- c B --- a C --- d D --- b G1G1 G2G2 MEZI a : Jak se to zjistilo? Jak je to s izomorfismem

13 13 A --- b D --- c B --- a C --- d JAK LZE PŘIŘAZOVAT UZLY: {A,D}  {b,c} A {B,C}  {a,d} A --- c D --- b B --- d C --- a AB CD G1G1 abcd G2G2 A --- b D --- c B --- d C --- a A --- c D --- b B --- a C --- d B --- a C --- d A --- b D --- c B --- d C --- a B --- a C --- d B --- d C --- a A --- c D --- b Jak je to s izomorfismem

14 14 A B C D E F VŠECHNY IZOMORFIZMY AE G2G2 G1G1 G2G2 MEZI a : BCDF G1G1 5 6 A B C D E F Skupiny: krajní uzly {A,F}  {1,6}, vnitřní uzly {B,C,D,E}  {2,3,4,5} Jak je to s izomorfismem

15 15 VŠECHNY IZOMORFIZMY G1G1 G2G2 MEZI a : A  Cn Cn B C E D F GH I... G1G n  Cn Cn G2G2 A B C D E F A --- n B C D E F A --- n-1 B --- n C D E F A B C D E F A --- n B --- n-1 C --- n-2 D --- n-3 E --- n-4 F --- n A B --- n C --- n-1 D --- n-2 E --- n-3 F --- n A B C --- n D --- n-1 E --- n-2 F --- n A --- n-1 B --- n-2 C --- n-3 D --- n-4 E --- n-5 F --- n CELKEM 2n IZOMORFIZMŮ Jak je to s izomorfismem

16 16 A G1G1 G2G2 BC D EF abc def G1G1 G2G2  Kn,  Kn,  Kn,  Kn, kolik je mezi nimi různých izomorfizmů? Otázka: Jak je to s izomorfismem Skupiny uzlů podle počtu incidujících hran: {A,F}  {a,c}, {B,D}  {b,d}, {C,E}  {e,f} Postupně přiřazujeme: {A  a, F  c}  (hrany [A,B]  [a,d]) {B  d, D  b}   (hrany [B,C]  [d,e]) {C  e, E  f} Získaný izomorfismus mezi G 1 a G 2 je jediný.

17 17 Jaké pojmy zavedeme v další části: sousední uzly, sousední hrany, množina sousedů uzlu (podmnožiny uzlů), stupeň uzlu, soubor stupňů, pravidelný graf Skripta strana uvx rwz y sousední uzlysousední hrany množina sousedů uzlu u...  (u) množina sousedů podmnožiny uzlů A...  (A)  (u) = {v},  (v) = {u,x,r,w,z},  (y) =   ({u,z}) = {v,w,r}  ({v,w}) = {u,v,x,z,w,r} Sousedi

18 18 Věta:   (u) = 2|H| uUuU y x Důvod: Každá hrana přispívá do celkového součtu stupňů právě dvěma jednotkami. Graf   (u) = = 18 uUuU |H| = 9 Názvosloví: Stupeň uzlu u je počet hran, které s uzlem incidují -  (u). Stupeň uzlu

19 19 G1G1  G2 G2 Věta: Soubor stupňů grafu (Neklesající) posloupnost sestavená ze stupňů všech uzlů grafu G1G Soubor stupňů grafu G1: (2, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 5)  G 1 a G 2 mají stejný soubor stupňů. Důvod: Snad alespoň intuitivně zřejmý. (V nejhorším formálně např. indukcí...) Soubor stpňů Jak určíme stupně uzlů se smyčkami ???

20 20 Pozorování: Když mají grafy G 1 a G 2 stejný soubor stupňů, zdaleka nemusí být izomorfní. G1 G1 G2 G2 G3 G3 (1, 2, 2, 3, 3, 3) G2 G2 (1, 2, 2, 2, 3) G1 G Soubor stpňů a izomorfismus

21 21 Věta: V každém grafu je sudý počet uzlů lichého stupně. Důkaz (sporem): Kdyby byl počet uzlů lichého stupně liché číslo, přispívaly by tyto uzly do celkového součtu stupňů lichým číslem (protože součet lichého počtu lichých čísel je číslo liché). Ostatní uzly by do celkového součtu přispívaly jen sudými čísly, a tak by součet všech stupňů bylo číslo liché (přičtením sudého čísla k lichému získáme opět číslo liché). Jenomže součet všech stupňů je roven dvojnásobku počtu hran, tudíž je to číslo sudé Např.: Soubor stupňů: (1, 3, 4, 4, 4, 5, 6, 6, 7) Stpeň uzlu

22 22 Pravidelný graf stupně 1 Pravidelný graf stupně 2 Názvosloví: V pravidelném grafu stupně k (k  0) mají všechny uzly stupeň právě k. Pravidelné grafy

23 23 Pravidelný graf stupně 3 Pravidelný graf stupně 4 Pravidelné grafy

24 24 D n je pravidelný graf stupně 0 K n je pravidelný graf stupně (n-1) Graf W 1 není pravidelný W1 W1 Pravidelné grafy

25 25 Kontrolní otázky 1.Může být uzel obyčejného (resp. prostého, resp. obecného) grafu sousedem sám sobě ? 2.Jak souvisí stupeň uzlu u prostého (resp. obecného) grafu s počtem sousedů uzlu u ? 3.Jak bude vypadat obyčejný graf G =  H,U  s n uzly a minimálním počtem hran, pro jehož nějaký uzel u platí  (u) = U - {u} ? 4.Vyslovte tvrzení o struktuře pravidelného grafu stupně 1 (resp. 2). 5.Může být graf se souborem stupňů 1,1,1,1,1,1,1,3,4 stromem ? 6.Obyčejný graf G má n 1 uzlů stupně k 1, n 2 uzlů stupně k 2 a už žádné další uzly. Jaký maximální počet různých automorfismů může mít graf G ? 7.Je možné nalézt nějaký pravidelný graf stupně 3, který má 7 uzlů ? 8.Nalezněte příklady dvou neizomorfních obyčejných grafů se shodným souborem stupňů 1,1,2,2,3,3. 9.Nechť u je uzel stupně k grafu G a u' jeho obraz v izomorfním grafu G'. Vyslovte nějaké tvrzení o stupních sousedů uzlu u a sousedů uzlu u'. 10.Lze tvrdit, že v grafu G =  H,U  pro libovolné A  U, B=  (A) platí  (B)=A ? 11.Vytvořte návod, jak pro danou neklesající posloupnost přirozených čísel d 1, d 2,..., d n určit nějaký obecný graf (pokud existuje), jehož je souborem stupňů.

26 26 Jaké pojmy zavedeme v další části: sled (otevřený / uzavřený), složení sledů, tah, cesta, kružnice, souvislý graf, komponenta grafu, strom, kostra grafu Skripta strana Sled grafu G =  H,U,  s krajními uzly u a v : posloupnost uzlů a hran S =  u 0, h 1, u 1, h 2,..., u n-1, h n, u n , kde u = u 0, v = u n,  (h i ) = [u i-1,u i ] pro i = 1, 2,..., n, délka sledu S je n, vnitřní uzly jsou u 1,... u n-1 Jinými slovy - sled s krajními uzly u a v je posloupnost uzlů a hran, které projdeme, když se grafem libovolně neuspořádaně pohybujeme z uzlu u do uzlu v. Každý průchod hranou zvětší délku sledu o 1. Uzavřený sled: u=v a n  1Navazující sledy můžeme Otevřený sled: u  v nebo n=0skládat. Sledy v grafu

27 27 ab cd (Otevřený) sled s 1 délky 5 z uzlu a do uzlu b: ab cd (Otevřený) sled s 2 délky 8 z uzlu a do uzlu b: < a, [a,c], c, [c,d], d, [d,a], a, [a,c], c, [c,d], d, [d,c], c, [c,d], d, [d,b], b > Sledy v grafu

28 28 Tah s krajními uzly u a v je sled s krajními uzly u a v, v němž se žádná hrana neopakuje (uzel může). ab cd (Otevřený) tah t 1 délky 4 z uzlu c do uzlu d: a ed (Otevřený) tah t 2 délky 8 z uzlu e do uzlu d: < e, [e,d], d, [d,a], a, [a,c], c, [c,b], b, [b,a], a, [a,e], e, [e,c], c, [c,d], d > b c Tahy

29 29 Cesta s krajními uzly u a v je tah s krajními uzly u a v, v němž se žádný uzel neopakuje. Je to tedy sled v němž se neopakuje žádná hrana ani žádný uzel. abcd efgh (Otevřená) cesta c 1 délky 4 z uzlu a do uzlu d: < a, [a,b], b, [b,g], g, [g,c], c, [c,d], d, > a bc d e fg hi (Otevřená) cesta c 2 délky 5 z uzlu e do uzlu h: < e, [e,b], b, [b,a], a, [a,c], c, [c,f], f, [f,h], h > Cesty

30 30 abcd efgh Kružnice k 1 délky 5 procházející uzly b, c, d, g, f: < b, [b,c], c, [c,d], d, [d,g], g, [g,f], f, [f, b], b > a bc d e fg hi V tomto grafu neexistuje žádná kružnice (ani žádný uzavřený tah). Uzavřený sled ano, např. Kružnice je uzavřená cesta (tj. uzavřený sled délky aspoň 1, v němž se žádná hrana ani uzel neopakuje). Kružnice

31 31 Pozorování: Z každého sledu z uzlu u do uzlu v lze vybrat cestu z u do v. Konstrukce: Opakuj Jestliže se ve sledu vyskytuje uzel x vícekráte, odstraň ze sledu vše mezi prvním a posledním výskytem x. dokud lze sled takto„zkracovat“. Ve výsledku se žádný uzel neopakuje, je to tedy cesta. Graf u v Odstranitelné části sledu Cesty

32 32 ab cd < a, [a,c], c, [c,d], d, [d,a], a, [a,c], c, [c,d], d, [d,c], c, [c,d], d, [d,b], b > ab cd ab cd Cesty

33 33 Pozorování: Z každého uzavřeného sledu liché délky (alespoň 3) lze vybrat kružnici liché délky. Zdůvodnění: Pokud se v uzavřeném sledu S z uzlu u do u žádný uzel neopakuje, je sled již sám kružnicí. Pokud se ve sledu S některý uzel x (x ≠ u) vyskytuje (alespoň) dvakrát, rozdělíme S na sledy S 1 a S 2 : S 1 bude sled vedoucí z prvního výskytu x v S do posledního výskytu x v S. V S 2 bude všechno ostatní, tj. S 2 = S – S 1. S 1 i S 2 jsou uzavřené sledy a právě jeden z nich má lichou délku. Není-li pak sám kružnicí, aplikujeme na něj opět stejný postup, dokud nedojdeme ke kružnici liché délky. u x S2S2 S1S1 Cesty G

34 34 Předchozí pozorování neplatí pro sledy sudé délky – z takového sledu vůbec nemusí být možné vybrat žádnou kružnici. a ed b c Uzavřený sled má délku 6 a žádnou kružnici neobsahuje Pozorování tedy neplatí pro sledy sudé délky proto, že nejkratší uzavřený sled sudé nenulové délky má délku 2 – je to cesta po jedné hraně „tam a zpět“ a neobsahuje kružnici. Naopak, nejkratší uzavřený(!) sled liché délky má délku 1 (v obyčejném grafu dokonce 3) – a to už je kružnice. Cesty

35 35 Souvislý graf je takový, v němž existuje sled mezi libovolnými dvěma uzly. Pozorování: V souvislém grafu existuje cesta mezi libovolnými dvěma uzly. Zdůvodnění: Z každého sledu lze vybrat cestu. Komponenta grafu je každý jeho maximální souvislý podgraf ( = souvislý podgraf, který už “nelze zvětšit”). G1G1 Graf G 1 má 5 komponent. Souvislost

36 36 Poznámka: Graf obsahuje jednu komponentu (je-li souvislý) nebo více komponent (není-li souvislý). Důležité pozorování: Je-li G =  H,U,  souvislý graf, potom platí |H|  |U| - 1. Zdůvodnění (indukcí podle počtu uzlů |U|=n) Pozorování: Každý souvislý graf G s n (  2) uzly obsahuje uzel u, po jehož odebrání vznikne souvislý podgraf G-{u} s n-1 uzly. (Je to libovolný krajní uzel cesty maximální délky v G.) Souvislost

37 37 Takže: K vytvoření souvislého grafu o n uzlech potřebujeme alespoň (n-1) hran. Strom je souvislý graf, který neobsahuje žádnou kružnici. Kostra grafu G je takový jeho faktor, který je stromem. Jak vypadají souvislé grafy s minimálním počtem hran ? a ed b c a ed b c Souvislost

38 38 1.Je-li G prostý graf, je možné každý jeho sled vyjádřit pouze jako odpovídající posloupnost uzlů? Jak je to s vyjádřením pomocí posloupnosti hran ? 2.Máme dva souvislé grafy G 1 a G 2. Je sjednocení G 1  G 2 souvislý graf ? 3.Nechť G je obyčejný graf s n uzly. Stanovte podmínky pro počet jeho hran, které zaručí, že a)určitě není souvislý b)určitě je souvislý 4.Kolik různých kružnic délky k (k  3) obsahuje úplný graf K n (n  3) ? Za různé nepovažujte kružnice, které se jakožto posloupnosti uzlů liší pouze volbou počátečního uzlu nebo opačným pořadím procházení uzlů. 5.Nechť stromy T1 a T2 mají alespoň jednu společnou hranu. Je symetrická diference T1  T2 souvislým grafem ? 6.Vyjádřete podmínku souvislosti grafu G pomocí (tranzitivního uzávěru) relace sousednosti . 7.Určete minimální a maximální možný počet komponent obyčejného grafu, který má 10 uzlů a 16 hran. Kontrolní otázky


Stáhnout ppt "1 AB CD G1G1 abcd G2G2 G 1 a G 2 jsou izomorfní G 1  G 2 Jak je to s izomorfismem."

Podobné prezentace


Reklamy Google