Prezentace se nahrává, počkejte prosím

Prezentace se nahrává, počkejte prosím

Řešení rovnic Kvadratické rovnice (řešení pomocí diskriminantu) Autorem materiálu a všech jeho částí, není-li uvedeno jinak, je Ing. Šárka Macháňová. Dostupné.

Podobné prezentace


Prezentace na téma: "Řešení rovnic Kvadratické rovnice (řešení pomocí diskriminantu) Autorem materiálu a všech jeho částí, není-li uvedeno jinak, je Ing. Šárka Macháňová. Dostupné."— Transkript prezentace:

1 Řešení rovnic Kvadratické rovnice (řešení pomocí diskriminantu) Autorem materiálu a všech jeho částí, není-li uvedeno jinak, je Ing. Šárka Macháňová. Dostupné z Metodického portálu ISSN: , financovaného z ESF a státního rozpočtu ČR. Provozováno Výzkumným ústavem pedagogickým v Praze.

2 Princip řešení rovnic ‒ hledání kořenů rovnice: Hledání kořenů rovnice je proces, při kterém místo dané rovnice píšeme nové rovnice, většinou takové, které mají stejná řešení, jako rovnice původní. O takové nové rovnici řekneme, že je s tou naší původní rovnicí ekvivalentní. Úpravy, které budeme provádět s příslušnou rovnicí, se nazývají ekvivalentní úpravy. Ekvivalentní úpravy jsou takové úpravy rovnice, při nichž žádný kořen neztratíme a také obráceně, žádný kořen nedostaneme navíc. Množiny kořenů původní rovnice a nové rovnice jsou si vždy po celou dobu řešení rovny.

3 Ekvivalentní úpravy využívané při řešení rovnic: 1. Vzájemná výměna obou stran rovnice. 2. Nahrazení některé strany rovnice výrazem, který je této straně rovnice roven Úprava (zjednodušení) strany rovnice provedením možných početních operací a úprav – sčítání, odčítání, krácení zlomku, roznásobení závorek,… 3. Přičtení (odečtení) téhož čísla nebo výrazu majícího smysl v celém oboru řešení rovnice k jejím (od jejích) oběma stranám (obou stran). 4. Násobení/dělení obou stran rovnice stejným číslem různým od nuly.

4 Kvadratická rovnice: Kvadratickou rovnicí s neznámou x se nazývá rovnice typu: ax 2 + bx + c = 0, a, b, c  R, a  0 Čísla a, b, c se nazývají koeficienty kvadratické rovnice. Výraz ax 2 se nazývá kvadratický člen kvadratické rovnice. Výraz bx se nazývá lineární člen kvadratické rovnice. Výraz c se nazývá absolutní člen kvadratické rovnice. Například: nebo rovnice, které můžeme ekvivalentními úpravami převést na rovnici typu : ax 2 + bx + c = 0.

5 Kvadratická rovnice: Kvadratický koeficient a je vždy nenulový. ax 2 + bx = 0, a, b  R, a  0 Nastat však mohou případy, kdy buď b = 0 nebo c = 0. Rovnice bude neúplná. Je-li b = 0, rovnici nazveme ryze kvadratickou rovnicí. Má tvar: Je-li c = 0, rovnici nazveme kvadratickou rovnicí bez absolutního členu. Má tvar: ax 2 + c = 0, a, c  R, a  0 Například: Nejčastějším typem jsou však kvadratické rovnice úplné, tzn. se všemi koeficienty, a těm se nyní budeme věnovat.

6 Kvadratické rovnice (úplné): O řešitelnosti libovolné kvadratické rovnice rozhoduje výraz D = b 2 – 4ac zvaný diskriminant. Pro výpočet hodnot kořenů kvadratické rovnice platí následující vzorec. Úplná kvadratická rovnice je tedy rovnice tvaru ax 2 + bx + c = 0. …a po dosazení za diskriminant, pak...

7 Kvadratické rovnice (úplné): O řešitelnosti libovolné kvadratické rovnice rozhoduje výraz D = b 2 – 4ac zvaný diskriminant. Pro výpočet hodnot kořenů kvadratické rovnice platí následující vzorec. Úplná kvadratická rovnice je tedy rovnice tvaru ax 2 + bx + c = 0. Kořeny kvadratické rovnice lze vypočítat užitím vzorce, kde stěžejní roli hrají koeficienty kvadratické rovnice. Ty je tedy nutné určit a dosadit bezchybně! O řešitelnosti kvadratické rovnice rozhoduje diskriminant. Pojďme si tedy na následujících řešených příkladech ukázat jednak použití uvedeného vzorce pro výpočet kvadratických rovnic a jednak si na nich i ukážeme možné druhy řešení úplných kvadratických rovnic.

8 Kvadratické rovnice (úplné): Řešte v R rovnici: Nejprve si správně stanovíme koeficienty dané kvadratické rovnice: a = 1, b = 3, c = -10 Nyní tedy koeficienty správně dosadíme do vzorce: Rovnice se nám nyní „větví“ na dvě části, tzn. na dvě řešení, dva kořeny!

9 Kvadratické rovnice (úplné): Řešte v R rovnici: Nejprve si správně stanovíme koeficienty dané kvadratické rovnice: a = 1, b = 3, c = -10 Nyní tedy koeficienty správně dosadíme do vzorce: Na závěr provedeme zkoušku pro oba kořeny kvadratické rovnice.

10 Kvadratické rovnice (úplné): Řešte v R rovnici: Zkouška:

11 Kvadratické rovnice (úplné): Řešte v R rovnici: Nejprve si správně stanovíme koeficienty dané kvadratické rovnice: a = -2, b = 16, c = -32 Nyní tedy koeficienty správně dosadíme do vzorce: Rovnice má jedno řešení! Správnost řešení ověříme opět provedením zkoušky.

12 Kvadratické rovnice (úplné): Řešte v R rovnici: Zkouška:

13 Kvadratické rovnice (úplné): Řešte v R rovnici: Nejprve si správně stanovíme koeficienty dané kvadratické rovnice: a = 3, b = -6, c = 8 Nyní tedy koeficienty správně dosadíme do vzorce: Rovnice nemá v oboru reálných čísel řešení, neboť druhá odmocnina záporného čísla neexistuje!

14 Kvadratické rovnice (úplné): Shrňme si nyní všechny příklady a zaměřme se na jejich řešení:

15 Kvadratické rovnice (úplné): Shrňme si nyní všechny příklady a zaměřme se na jejich řešení: Přijdete na to, na čem závisí řešitelnost a počet kořenů kvadratické rovnice? Trošku vám pomohu. Mimochodem řeč o tom byla již na některém z předchozích snímků. Ano, jde o hodnotu diskriminantu. Pojďme si ji tedy podrobně rozebrat!

16 Kvadratické rovnice (úplné): O řešitelnosti libovolné kvadratické rovnice a počtu řešení rozhoduje výraz D = b 2 – 4ac zvaný diskriminant. 1) D < 0 V takovém případě je ve vzorci pro výpočet kořenů druhá odmocnina záporného čísla, a ta neexistuje! Kvadratická rovnice v případě záporné hodnoty diskriminantu nemá v oboru reálných čísel řešení! … K =  2) D = 0 V takovém případě je ve vzorci pro výpočet kořenů kvadratické rovnice člen s diskriminantem nulový. Kvadratická rovnice v případě nulové hodnoty diskriminantu má v oboru reálných čísel jen jeden kořen! … K = {x} 3) D > 0 V takovém případě je ve vzorci druhá odmocnina kladného čísla! Kvadratická rovnice v případě kladné hodnoty diskriminantu má v oboru reálných čísel vždy dva kořeny! … K = {x 1, x 2 }

17 Kvadratické rovnice (úplné): Většinou nebývají kvadratické rovnice zadány přímo ve tvaru, z něhož by šly koeficienty rovnou určit. Takovým rovnicím říkáme rovnice vedoucí k řešení kvadratické rovnice. První úkol pak spočívá v úpravě na tvar, ze kterého budeme schopni koeficienty kvadratické rovnice určit a pomocí nich rovnici vypočítat. Ukážeme si to opět na konkrétním příkladu. Vyřeš v R rovnici: Nejdříve pomocí známých postupů při počítání s výrazy a pomocí ekvivalentních úprav upravíme rovnici do základního tvaru ax 2 + bx + c = 0.

18 Kvadratické rovnice (úplné): Ukážeme si to opět na konkrétním příkladu. Vyřeš v R rovnici: Nyní provedeme zkoušku.

19 Kvadratické rovnice (úplné): Vyřeš v R rovnici: Zkouška:

20 Kvadratické rovnice (úplné) ‒ příklad k procvičení řešení: Řešte v R rovnici:

21 Kvadratické rovnice (úplné) ‒ příklad k procvičení řešení: Řešte v R rovnici:

22 Kvadratické rovnice (úplné) ‒ příklad k procvičení řešení: Řešte v R rovnici: Zkouška:

23 Všechny uveřejněné odkazy [cit ]. Dostupné pod licencí Public domain na WWW: Použité obrázky:

24 Citace: MACHÁŇOVÁ, Šárka. Kvadratická rovnice – úplná. Metodický portál : Digitální učební materiály [online] , [cit ]. Dostupný z WWW:. ISSN


Stáhnout ppt "Řešení rovnic Kvadratické rovnice (řešení pomocí diskriminantu) Autorem materiálu a všech jeho částí, není-li uvedeno jinak, je Ing. Šárka Macháňová. Dostupné."

Podobné prezentace


Reklamy Google