Prezentace se nahrává, počkejte prosím

Prezentace se nahrává, počkejte prosím

RF 5.2.Zpomalování v nekonečném prostředí při prostorové nezávislosti hustoty toku neutronů - studium energetického rozložení zpomalovaných neutronů v.

Podobné prezentace


Prezentace na téma: "RF 5.2.Zpomalování v nekonečném prostředí při prostorové nezávislosti hustoty toku neutronů - studium energetického rozložení zpomalovaných neutronů v."— Transkript prezentace:

1 RF 5.2.Zpomalování v nekonečném prostředí při prostorové nezávislosti hustoty toku neutronů - studium energetického rozložení zpomalovaných neutronů v nekonečném homogenním a izotropním prostředí Hustota zpomalení - charakterizuje rychlost, s jakou zpomalující se neutrony procházejí určitou hodnotou energie E - nezávisí na proměnné, která charakterizuje pohybový stav neutonu

2 RF Zpomalování v nekonečném homogenním prostředí bez absorpce - platí: n(E) - počet neutronů v objemové jednotce, který připadá na jednotkový interval energie okolo E  (E) - rychlost neutronů odpovídající energii E - z rovnosti diferenciálních hustoto toku neutronů vyjádřených pomocí proměnných E a u dostaneme:

3 RF I. Zpomalování ve vodíku - A=1,  =0 - při jedné srážce může neutron ztratit všechnu svoji energii Obr. 5.6 – Energetický diagram pro zpomalování ve vodíku

4 RF Hustota srážek – F(E’) – počet rozptylových srážek uskutečněných v jednotkovém objemu za jednotku času v jednotkovém intervalu energie v okolí energie E' Počet rozptylových srážek uskutečněných v 1cm 3 za 1s v intervalu energie od E' do E'+dE' je F(E')dE'. Po těchto srážkách budou energie neutronů, které měly energii E' v intervalu mezi E' a nulou. Pak bude: - část neutronů, které se rozptýlí do elementárního intervalu energie dE, - počet neutronů rozptýlených z intervalu dE' do intervalu dE v 1m 3 za 1s, - celkový počet neutronů rozptýlených do dE za předpokladu, že předtím prodělaly alespoň jednu srážku

5 RF Celkový počet neutronů rozptýlených z elementu dE v 1m 3 za 1s je v ustáleném stavu roven počtu neutronů rozptýlených do tohoto elementu: Hustota srážek: -v diferenciálním tvaru: Obecné řešení diferenciální rovnice: Použitím okrajové podmínky dostaneme: hustota srážek: hustota toku:

6 RF Z celkového počtu neutronů, které prodělaly srážky v elementu dE', část E/dE' se zpomalí pod energii E. Pak bude: - počet neutronů v 1m 3 za 1s, které se následkem rozptylu v intervalu dE' zpomalí pod energii E - celkový počet neutronů, které se zpomalí pod energii E a které předtím prodělají alespoň jednu srážku Přičteme počet neutronu, které se zpomalí pod energii E při prvních srážkách po emisi ze zdroje.  hustota zpomalení ve vodíkovém prostředí: V nekonečném vodíkovém prostředí bez absorpce neutronů je hustota zpomalení konstantní, nezávislá na energii a je rovna vydatnosti zdroje.

7 RF II. Zpomalování v prostředí s A >1 - energetický interval rozdělíme na několik částí a každou část budeme zkoumat zvlášť 1. Interval první srážky (  E 0 < E < E 0 ) Obr.5.7– Energetický diagram pro zpomalování intervalu první srážky

8 RF - podíl neutronů rozptýlených do elementu dE - počet neutronů, které se po srážce v elementu dE' rozptýlí do elementu dE - celkový počet neutronů, které se rozptýlí do elementu dE po předchozím rozptylu v intervalu energie od E 0 do E - část neutronů ze zdroje, která se rozptýlí do elementu dE - celkový počet neutronů rozptýlených do elementu dE po první srážce

9 RF Podmínka rovnováhy v ustáleném stavu – počet neutronů, které v 1m 3 opouštějí za 1s element dE a celkový počet neutronů, které jsou do elementu dE rozptýleny musí být stejný  hustota srážek: resp. Řešení diferenciální rovnice: kde Hustota srážek v závislosti na letargii:

10 RF 2. Oblast energií menších než  E 0 (E <  E 0 ) Obr.5.8– Energetický diagram pro zpomalování v intervalu druhé srážky - zdroje neutronů nemohou bezprostředně přispívat k počtů neutronů rozptýlených do elementu dE po srážce v elementu dE' Hustota srážek připadající na jednotkový interval energie v okolí E:

11 RF - Integraci rozdělíme na dvě části podle přechodu z intervalu druhých srážek do intervalu prvních srážek: resp. Řešení diferenciální rovnice: Využili jsme limitní hodnoty:

12 RF Srovnáme hustoty srážek F 1 (E) a F 2 (E) při E=  E: můžeme napsat: Hustota srážek F(E) je nespojitou funkcí pro E=  E 0. Rozdíl F 1 (  E 0 )-F 2 (  E 0 ) udává hodnotu skoku funkce F(E) v bodě E=  E 0 Pokud odvodíme hustoty srážek F n (E), n=1, 2, …, zjistíme, že nespojitost se projeví vždy při (n-1) derivaci.

13 RF 3. Asymptotická oblast (E <<  E 0 ) Obr. 5.9 Energetický diagram pro odvození hustoty zpomalení v asymptotické oblasti:

14 RF Hustota srážek v n-tém intervalu je vyjádřena vztahem: Pro vysoké n můžeme psát: Řešení rovnice má tvar:, kde C je konstanta - zavedeme distribuční funkci H(E), potom celkový počet neutronů rozptýlených z elementu dE' pod energií E bude F(E’)dE’

15 RF - Integrací dostaneme hustotu zpomalení: - k hustotě zpomalení nemohou bezprostředně přispívat neutrony zdroje - dosazením předpokládaného tvaru řešení dostaneme: - při zpomalování v nekonečném rozptylujícím prostředí nedochází k absorpci ani k úniku, je hustota zpomalení konstantní a musí se rovnat vydatnosti zdroje q 0 : 

16 RF Obr.5.10– Hustota srážek F 0 (u) v rozptylujícím prostředí pro různé hodnoty A

17 RF Aproximace průměrného logaritmického dektementu energie - pokud dE odpovídá du, pak počet srážek potřebný pro snížení energie o dE bude roven počtu srážek při změně letargie o du, kde  je průměrná změna letargie na jednu srážku Obr – Aproximace veličiny  Víme, že q(u)=q(E) a Po dosazení: 

18 RF Zpomalování v nekonečném prostředí s absorpcí Při každé srážce neutronu s jádrem existuje jistá pravděpodobnost pohlcení neutronu. Pravděpodobnost pohlcení neutronu při srážce je rovna: a pravděpodobnost rozptylu: kde  t (E)=  a (E)+  s (E) je totální makroskopický účinný průřez při energii E. Neutron může být během zpomalovacího procesu pohlcen.  q(E) nebude konstantní

19 RF I. Zpomalování s absorpcí ve vodíku - prostředí tvořené homogenní směsí vodíku a těžkého absorbátoru (např. uran) a)nekonečné prostředí je tvořeno pouze vodíkem (A=1); jinými slovy předpokládáme, že jádra uranu jsou nekonečně veliká (  =0); proto při rozptylu na jádrech uranu nedochází ke změně energie neutronu b)účinný průřez pro absorpci neutronů je různý od nuly (  a  0) c)vydatnost zdroje neutronů s energií E 0 se rovná q 0 d)jádra vodíku jsou v klidu - předpoklady pro přesné řešení rovnice pro hustotu zpomalení:

20 RF Hustota srážek: V ustáleném stavu je počet neutronů, které vstupují do elementárního intervalu energie dE po rozptylu na jádrech vodíku, bude roven počtu neutronů, které jsou rozptýleny z elementu dE zvětšenému o počet absorbovaných neutronů v tomto elementu, tj. První člen představuje celkový počet neutronů s energií E 0 rozptýlených do elementu dE po první srážce s respektováním absorpce.  a (E 0 ) <<  s (E 0 ), tj. P s (E 0 )  1 (absorpce je významnější pro energie menší než E 0, tj.:

21 RF V diferenciálním tvaru: Po separaci proměnných a integraci dostaneme: Víme, že:a P s (E’) = 1-P a (E’) 

22 RF Pravděpodobnost rezonančního záchytu při zpomalování ve vodíku Odpovídající integrální rovnice: S využitím vztahu pro hustotu srážek obdržíme pro hustotu zpomalení: Exponenciální funkci v předchozí rovnici označíme symbolem p(E), má význam pravděpodobnosti úniku rezonančnímu záchytu při zpomalování ve vodíku:

23 RF Obr – Rezonance v účinném průřezu pro absorpci: a) struktura rezonance b) široká rezonance

24 RF Charakteristika rezonancí: - maximální hodnotou účinného průřezu pro absorpci v rezonančním i-tém píku, - šířkou rezonance (zpravidla šířka rezonančního píku v polovině maximální hodnoty ) Rezonance je úzká  Na předchozím obrázku můžeme rezonanci při energii E r1 považovat za úzkou a rezonanci při E r2 za rezonanci širokou.

25 RF II. Zpomalování s absorpcí v prostředí s A>1 - v prostředí s A > 1 se při rezonanční absorpci uplatňují neutrony s energií nižší než je energie neutronů ze zdroje - využijeme podmínku rovnováhy pro asymptotickou oblast, tj. pro E <<  E 0 Tuto rovnici již nelze převést derivováním na jednoduchou diferenciální rovnici a řešit ji pomocí okrajové podmínky pro E=E 0, protože její pravá strana je funkcí jak E tak E/ .

26 RF Odvodíme nyní vztahy pro pravděpodobnost úniku rezonančnímu záchytu pro tyto případy : když rezonance jsou úzké a daleko od sebe - Wignerova aproximace pro velmi slabé rezonance - Fermiho aproximace když absorpční účinný průřez se mění pozvolna - Goertzel- Greulingova aproximace

27 RF a) Wignerova aproximace - víme že oblast, ve které hustota srážek osciluje, je v rozmezí od energie zdroje E 0 až asi do energie  3 E 0 a pak se ustálí na konstantní hodnotě - úzká rezonance působí jako záporný zdroj neutronů a způsobuje poruchu v hustotě srážek v oblasti energie od rezonanční energie E r až do E >>  3 E r - tento závěr vyjádříme pomocí letargie, obdržíme interval letargie, ve kterém dochází k fluktuacím hustoty srážek v rozmezí u - u r = 3 ln(1/  ) - pokud jsou další rezonance od sebe vzdáleny asi o hodnotu 4 ln(1/  ), je absorpce v oblasti další rezonance nezávislá na jejich vzdálenosti.

28 RF Pro další odvozování učiníme následující předpoklady :  Rezonance můžeme považovat za úzké, tj. šířky rezonancí ve stupnici letargie jsou malé ve srovnání s průměrnou změnou letargie při jedné srážce .  Rezonance jsou v asymptotické oblasti energie, tj.  V intervalech mezi rezonancemi je absorpční průřez nulový.  Za těchto předpokladů je hustota srážek F(u) konstantní pro E>E r1 alespoň do E r1, kde E r1 je energie maxima první rezonance. Pokud bude  E r1 šířka první rezonance,  (E r1 ) zeslabená hustota toku při E r1 a  o (E r1 ) hustota toku neutronů nezeslabená absorpcí, pak bude:  a (E r1 )  (E r1 )  E r1 - počet neutronů zachycených v intervalu  E r1,  s  E r1    r   r  - počet neutronů vstupujících do intervalu  E r1

29 RF Rovnost mezi celkovým počtem neutronů vstupujících do intervalu  E r1 a počtem neutronů opouštějících tento interval, zvětšenému o počet neutronů v něm absorbovaných: Za hustotu toku neutronů dosadíme:  Pravděpodobnost zachycení neutronu v intervalu energie  E r1 :

30 RF Pravděpodobnost, že neutrony nebudou zachyceny v první rezonanci: Pravděpodobnost, že neutrony nebudou zachyceny v druhé rezonanci: Pravděpodobnost, že neutrony při zpomalování nebudou absorbovány v prvních dvou rezonancích: Pokud má absorpční účinný průřez v dané oblasti n úzkých rezonancí, pravděpodobnost, že neutron nebude v těchto rezonancích absorbován:

31 RF Zlogaritmováním, použitím Taylorova rozvoje pro logaritmus a omezením na první člen tohoto rozvoje dostaneme: Rozdělením rezonanční oblasti na m úzkých intervalů energie šířky  E j : Pravděpodobnost, že neutron nebude rezonančně pohlcen: Dosazením za P a (E') 

32 RF Ke stejnému závěru můžeme dospět i jinak. Předpokládejme, že nekonečný monoenergetický zdroj neutronů ve zpomalujícím prostředí má při letargii u=0 jednotkovou vydatnost, tj. q 0 = 1 neutron/m 3 s, pak hustota zpomalení q(u) při u se rovná pravděpodobnosti úniku rezonančnímu záchytu p(u) při u: Počet neutronů absorbovaných v 1 m 3 za 1 s během zpomalování na letargii u je 1-p(u). Hustota srážek v asymptotické oblasti při  a = 0 a při q 0 = 1/m 3 s je rovna 1/ . Při zpomalování na letargii u je však neutronů absorbováno. Celková hustota srážek v asymptotické oblasti: Po transformaci proměnných: kde  =ln(1/  ).

33 RF Hustota zpomalování v asymptotické oblasti: Hustota zpomalení q(u) klesá s letargií u účinkem absorpce neutronů v intervalu od u do u+du z hodnoty q na hodnotu q-dq. Můžeme psát: a po úpravě: po integraci: Vztah byl odvozen za předpokladu, že neutrony ze zdroje mají vysokou energii a že absorpce se uplatňuje při energiích podstatně nižších a oscilace způsobené zdrojem nehrají žádnou roli.

34 RF Wignerova aproximace pravděpodobnosti úniku rezonančnímu záchytu: Platí přesně pouze pro vodík, to je způsobeno tím, že ve vodíku nevznikají oscilace v hustotě srážek v blízkosti zdroje. Přesnější vyjádření hustoty srážek s respektováním oscilací vyvolaných rezonancemi:

35 RF b) Fermiho aproximace - případ tzv. velmi slabé absorpce -  a (E)<<  s (E), tj. hustota srážek v asymptotické oblasti se nebude lišit od hodnoty, kterou bychom očekávali, kdyby nebylo absorpce, proto můžeme zanedbat oscilace od rezonancí 

36 RF c) Goertzel–Greulingova aproximace -účinný průřez pro absorpci se mění se změnou energie pozvolna Hustota zpomalení v nekonečném prostředí, ve kterém vznikají neutrony s energií E 0, (u 0 =0), pro letargie u >ln(1/  ): Pokud se hustota srážek F s (u) v intervalu letargie mění pomalu, můžeme použít Taylorova rozvoje v okolí bodu u = u’ ( stačí první dva členy) a po dosazení:

37 RF Po integraci: položíme: dostaneme: Změna hustoty zpomalení je způsobena ztrátou neutronů absorpcí: Pro malou absorpci v prvním přiblížení platí: 

38 RF Vyloučením derivace ze vztahu pro hustotu zpomalení dostaneme: Rovnice je vhodným přiblížením asymptotického vztahu mezi hustotou zpomalení a hustotou toku neutronů pro moderující prostředí, ve kterém se hustota srážek nemění příliš rychle se změnou letargie. Vyloučením funkce F(u) dostaneme diferenciální rovnici: a po integraci:

39 RF Pravděpodobnost úniku rezonančnímu záchytu: Po zavedení proměnné E  Goertzel-Greulingova aproximace

40 RF Zpomalování v prostředí tvořeném několika druhy jader Předpoklad: energie neutronů E<<  E 0,tj. uvažujeme asymptotickou oblast, pro kterou lze snadno odvodit vztahy pro hustotu srážek F(E) i hustotu zpomalení q(E). - počet neutronů rozptýlených v jednotkovém objemu za 1s jádry i-tého druhu v elementu dE' - podíl neutronů rozptýlených do elementu dE - počet neutronů rozptýlených do elementu dE z elementu dE’ jádry i-tého druhu - celkový počet neutronů rozptýlených do intervalu dE jádry i-tého druhu, kde

41 RF Podmínka rovnováhy neutronů v prostředí s N druhy jader : Pravděpodobnost rozptylu na jádrech i-tého druhu: platí: a Po dosazení dostaneme: Celková hustota zpomalení:

42 RF Vezmeme řešení pro hustotu srážek ve tvaru F(E) = C/E, kde C je konstanta. Potom: V asymptotické oblasti se celková hustota zpomalení rovná vydatnosti zdroje q 0, proto 

43 RF Střední hodnotu veličiny  vzhledem ke všem druhům jader obsažených ve zpomalujícím prostředí určíme jako vážený průměr hodnot  i : Dosazením do vztahu pro hustotu srážek dostaneme:


Stáhnout ppt "RF 5.2.Zpomalování v nekonečném prostředí při prostorové nezávislosti hustoty toku neutronů - studium energetického rozložení zpomalovaných neutronů v."

Podobné prezentace


Reklamy Google