Prezentace se nahrává, počkejte prosím

Prezentace se nahrává, počkejte prosím

6.přednáška Křivky - vytvoření, rozdělení, tečna. Šroubovice.

Podobné prezentace


Prezentace na téma: "6.přednáška Křivky - vytvoření, rozdělení, tečna. Šroubovice."— Transkript prezentace:

1 6.přednáška Křivky - vytvoření, rozdělení, tečna. Šroubovice.

2 2 Literatura: Poláček, J., Doležal, M.: Základy deskriptivní a konstruktivní geometrie, díl5, Křivky a plochy technické praxe. Skriptum VŠB-TU, Ostrava 2001 Doležal, M. - Poláček, J. - Tůma, M.: Sbírka řešených příkladů z DG a KG, díl 5. - Rotační a šroubové plochy. Ostrava, VŠB – TU Studopory

3 3 Pojmy: rovinná a prostorová křivka, matematická (analytická), empirická (grafická) křivka, sečna, tečna, dotykový bod, asymptota, regulární a singulární bod, normála, binormála, tečná rovina, oskulační rovina, rektifikační rovina normálová rovina, Frenetův (průvodní) trojhran, rektifikace křivky, řídící kuželová plocha

4 4 Co je křivka? Křivka je dráha (trajektorie) bodu při spojitém pohybu. Je to nekonečná množina bodů závislá na jediném parametru. např.: x = a cos(t) y = b sin(t), kde t je parametr: 0<=t<=2π, je parametrická rovnice elipsy, obecně: x = φ(t) y = ψ(t)

5 5 Dělení křivek: podle umístění bodů v prostoru: 1)rovinné (např. kuželosečky) nebo  1)prostorové (např.šroubovice) nebo 

6 6 Dělení křivek: podle výtvarných zákonů: 1)matematické (analytické) – např. kuželosečky, grafy funkcí (lze je zapsat rovnicí) 2)empirické (grafické) – vrstevnice topografické plochy(nelze je popsat rovnicí)

7 7 Definice (pro rovinné i prostorové křivky): Sečna s je přímka procházející dvěma různými body A, T křivky k. Tečna t v bodě T je limitní poloha sečny AT pro A → T. Asymptota je vlastní tečna v nevlastním bodě křivky. Regulární bod křivky je takový bod, v němž existuje jediná tečna, v ostatních případech je bod singulární. Normála n křivky k v bodě T je přímka kolmá k tečně v regulárním bodě T.

8 8 Rovinné křivky: Rovinná matematická křivka má parametrické rovnice: x = x(t), y = y(t), t I, I R, např. kružnice: x = r.cos(t), y = r.sin(t), Kde t je parametr z intervalu. Vyloučením parametru t dostaneme explicitní rovnici křivky y = f(x) nebo implicitní F(x,y) = 0.

9 9 Dělení křivek podle tvaru rovnic: algebraické: např. transcendentní, např. Stupeň algebraické křivky je nejvyšší exponent n = i+k v rovnici algebraické křivky.

10 10 Rektifikace (rozvinutí) oblouku křivky znamená sestrojení úsečky stejné délky jako je délka rektifikovaného oblouku – např. Kochaňskeho rektifikace neboKochaňskeho rektifikace nebo Sobotkova rektifikace oblouku kružnice.Sobotkova rektifikace oblouku kružnice.

11 11

12 12

13 13 Prostorové křivky jsou ty křivky, jejichž body neleží v jedné rovině. Parametrické rovnice v pravoúhlé souřadnicové soustavě jsou ve tvaru: x = x(t), y = y(t), z = z(t), t I, I náleží R

14 14 Prostorovou křivku lze také vyjádřit jako průsek tvou ploch: f(x,y,z) = 0 a g(x,y,z) = 0 např. Vivianiho křivka je průnikem válcové a kulové plochy.

15 15 Definice: (v následujících definicích je T bodem prostorové křivky) Tečná rovina v bodě T je každá rovina procházející tečnou t v bodě T křivky (tvoří svazek tečných rovin s osou t). Oskulační rovina v bodě T je limitní poloha tečné roviny pro A → T, kde A je bod křivky k a roviny. Normálová rovina v bodě T křivky k je kolmá k tečně a prochází bodem T. Normálou nazveme každou přímku normálové roviny, která prochází bodem T. Hlavní normála n je normála ležící v oskulační rovině. Binormála b je normála kolmá k oskulační rovině. Rektifikační rovina je určená tečnou t a binormálou b v bodě T.

16 16 Oskulační, normálová a rektifikační rovina jsou tedy navzájem kolmé roviny a tvoří Frenetův (průvodní nebo také doprovodný) trojhran křivky k v bodě T:

17 17 Definice: Řídící kuželová plocha tečen je tvořena tečnami t‘ vedenými voleným bodem V rovnoběžně se všemi tečnami křivky. Sklon křivky v bodě T je odchylka tečny t v bodě T prostorové křivky od průmětny. Spádem křivky v bodě T rozumíme tg. Křivka konstantního spádu má pro všechny body T křivky k konstantní tg a její řídící kuželová plocha je proto rotační.

18 18 Šroubovice je dráha bodu, který je podroben šroubovému pohybu. Šroubový pohyb je složený ze dvou rovnoměrných pohybů: a)rotačního kolem přímky o – osy šroubového pohybu a b)posunutí ve směru osy o. Podle orientace rozlišujeme šroubový pohyb levotočivý nebo pravotočivý (viz. obrázek).

19 19 Průmět šroubovice v Mongeově promítání Př. V Mongeově promítání sestrojte průmět průmět části šroubovice, kterou vytváří bod A při pravotočivém šroubovém pohybu určeném osou o ┴ π, mezi body A a B. [ A (-3; 4; 0), B(-3; 4; 9), o 1 (0; 4) ]

20 20

21 21 Vlastnosti šroubovice: Šroubovice je křivka konstantního spádu. Řídící (směrová) plocha tečen je rotační kuželová plocha s vrcholem V, výškou v 0 (redukovaná výška závitu) a poloměrem podstavy r.

22 22 Příklad: Sestrojte Frenetův trojhran pravotočivé šroubovice dané osou o a redukovanou výškou závitu v 0 v jejím bodě M.Frenetův trojhran

23 23 Příklad V Mongeově promítání zobrazte jeden závit šroubovice, která je dána osou ošroubovice kolmou k půdorysně a tečnou t = MN. [ o 1 (0;4), M(-1;7;1), N(-9;0;7) ]

24 24 Šroubovice v kolmé axonometrii


Stáhnout ppt "6.přednáška Křivky - vytvoření, rozdělení, tečna. Šroubovice."

Podobné prezentace


Reklamy Google