Prezentace se nahrává, počkejte prosím

Prezentace se nahrává, počkejte prosím

Doc. Josef Kolář (ČVUT)Prohledávání grafůGRA, LS 2010/11, Lekce 4 1 / 15Doc. Josef Kolář (ČVUT)Planarita a toky v sítíchGRA, LS 2013/14, Lekce 9 1 / 10.

Podobné prezentace


Prezentace na téma: "Doc. Josef Kolář (ČVUT)Prohledávání grafůGRA, LS 2010/11, Lekce 4 1 / 15Doc. Josef Kolář (ČVUT)Planarita a toky v sítíchGRA, LS 2013/14, Lekce 9 1 / 10."— Transkript prezentace:

1 Doc. Josef Kolář (ČVUT)Prohledávání grafůGRA, LS 2010/11, Lekce 4 1 / 15Doc. Josef Kolář (ČVUT)Planarita a toky v sítíchGRA, LS 2013/14, Lekce 9 1 / 10 PLANARITA A TOKY V SÍTÍCH Doc. RNDr. Josef Kolář, CSc. Katedra teoretické informatiky, FIT České vysoké učení technické v Praze BI-GRA, LS 2013/2014, Lekce 9 https://edux.fit.cvut.cz/courses/BI-GRA Doc. Josef Kolář (ČVUT)Planarita a toky v sítích

2 Doc. Josef Kolář (ČVUT)Prohledávání grafůGRA, LS 2010/11, Lekce 4 2 / 15Doc. Josef Kolář (ČVUT)Planarita a toky v sítíchGRA, LS 2013/14, Lekce 9 2 / 10 Separabilita a planarita Seznámíme se s následujícími pojmy: hranový řez artikulace neseparabilní graf planární graf Eulerova formule základní neplanární grafy homeomorfismus Skripta odst. 3.3, str. 58 – 63

3 Doc. Josef Kolář (ČVUT)Prohledávání grafůGRA, LS 2010/11, Lekce 4 3 / 15Doc. Josef Kolář (ČVUT)Planarita a toky v sítíchGRA, LS 2013/14, Lekce 9 3 / 10 Hranový řez... minimální S  H: h(G - S) = h(G) - 1 Artikulace grafu... u  U: G - {u} má více komponent než G G G-{S i } u S1S1 S2S2 S3S3 S4S4 S5S5 Separabilita a planarita Jak rozdělit graf na dvě části odebráním hran?

4 Doc. Josef Kolář (ČVUT)Prohledávání grafůGRA, LS 2010/11, Lekce 4 4 / 15Doc. Josef Kolář (ČVUT)Planarita a toky v sítíchGRA, LS 2013/14, Lekce 9 4 / 10 Množina hran incidujících s uzlem u souvislého grafu je jeho hranovým řezem, právě když u není artikulací. Hranový řez obsahuje alespoň jednu větev každé kostry. ? Hranové řezy stromů, kružnic, E-grafů... ? Vlastnosti hranových řezů a artikulací

5 Doc. Josef Kolář (ČVUT)Prohledávání grafůGRA, LS 2010/11, Lekce 4 5 / 15Doc. Josef Kolář (ČVUT)Planarita a toky v sítíchGRA, LS 2013/14, Lekce 9 5 / 10 Začneme rozkladem U = U 1  U 2 takovým, že podgrafy indukované množinami uzlů U 1 a U 2 jsou souvislé. H = H(U 1 x U 1 )  H(U 2 x U 2 )  H(U 1 x U 2 ) Fundamentální soustava hranových řezů / kružnic Neseparabilní graf: pro  G 1  G : G 1 obsahuje aspoň dva uzly  mají G 1 a G-G 1 alespoň dva uzly společné Jak hledat hranové řezy?

6 Doc. Josef Kolář (ČVUT)Prohledávání grafůGRA, LS 2010/11, Lekce 4 6 / 15Doc. Josef Kolář (ČVUT)Planarita a toky v sítíchGRA, LS 2013/14, Lekce 9 6 / 10 Planární grafy Planární graf... lze nakreslit v rovině bez křížení hran ? Je K 4 planární ? ? a co K 5 ? ? a K 3,3 ?

7 Doc. Josef Kolář (ČVUT)Prohledávání grafůGRA, LS 2010/11, Lekce 4 7 / 15Doc. Josef Kolář (ČVUT)Planarita a toky v sítíchGRA, LS 2013/14, Lekce 9 7 / 10 V: Nechť G =  H,U,  je (souvislý) planární graf. Potom platí |H| - |U| + 2 = r (Eulerova formule) kde r je počet stěn grafu G (včetně vnější). Jinak řečeno: r =  (G)+1 O2O2 O3O3 O4O4 O6O6 O5O5 O1O1 O8O8 O7O7 Důkaz: indukcí podle r |H| = 19 |U| = 13 r = 8 8 = Eulerova formule

8 Doc. Josef Kolář (ČVUT)Prohledávání grafůGRA, LS 2010/11, Lekce 4 8 / 15Doc. Josef Kolář (ČVUT)Planarita a toky v sítíchGRA, LS 2013/14, Lekce 9 8 / 10 Důsledek: Je-li každá stěna planárního grafu ohraničena kružnicí o k hranách, pak |H| = k. (|U|-2) / (k-2) D: r=|H|-|U|+2, r.k = k.|H|-k.|U|+2k = 2.|H|  k.(|U|-2) = |H|.(k-2) Takže: |H|  3. (|U| - 2)(pro k=3) |H|  2. (|U| - 2)pokud G neobsahuje K 3  planární grafy jsou řídké! K 5 a K 3,3 jsou neplanární (základní neplanární grafy) Vlastnosti planárních grafů

9 Doc. Josef Kolář (ČVUT)Prohledávání grafůGRA, LS 2010/11, Lekce 4 9 / 15Doc. Josef Kolář (ČVUT)Planarita a toky v sítíchGRA, LS 2013/14, Lekce 9 9 / 10 V: (Kuratowski) Graf G je planární  neobsahuje podgraf homeomorfní s K 5 a K 3,3. Homeomorfismus G 1 ~ G 2... jsou izomorfní nebo se jimi stanou po provedení půlení hran v jednom nebo obou Kuratowského věta

10 Doc. Josef Kolář (ČVUT)Prohledávání grafůGRA, LS 2010/11, Lekce 4 10 / 15Doc. Josef Kolář (ČVUT)Planarita a toky v sítíchGRA, LS 2013/14, Lekce 9 10 / 10 Kontrolní otázky 8.8Charakterizujte neorientovaný graf, jehož každý uzel stupně většího než 1 je jeho artikulací. 8.9Charakterizujte neorientovaný graf, jehož každý hranový řez je tvořen pouze jednou hranou. 8.10Dokažte, že každý hranový řez má s každou kostrou grafu alespoň jednu společnou hranu. 8.11Jak se mohou změnit hodnoty charakteristických čísel hodnost h(G), cyklomatické číslo  (G), nezávislost  (G), dominance  (G) a chromatické číslo  (G) pokud v grafu G provedeme rozpůlení jedné hrany? 8.12Nalezněte neorientovaný graf s co nejmenším počtem hran, který je neplanární a má průměr roven Mějme dvojici homeomorfních grafů G1 a G2. Existuje nějaký vztah mezi jejich hodnostmi h(G1) a h(G2) nebo jejich cyklomatickými čísly  (G1) a  (G2)? 8.14Určete všechny neizomorfní faktory úplného grafu s pěti uzly K 5, které mají tři nebo čtyři hrany a neobsahují žádnou kružnici. Tyto faktory rozdělte do skupin vzájemně homeomorfních grafů Nechť T1 a T2 jsou dva homeomorfní neorientované stromy. Co bude platit pro soubory stupňů těchto dvou stromů?


Stáhnout ppt "Doc. Josef Kolář (ČVUT)Prohledávání grafůGRA, LS 2010/11, Lekce 4 1 / 15Doc. Josef Kolář (ČVUT)Planarita a toky v sítíchGRA, LS 2013/14, Lekce 9 1 / 10."

Podobné prezentace


Reklamy Google