Prezentace se nahrává, počkejte prosím

Prezentace se nahrává, počkejte prosím

Matematická olympiáda 2009/10 Kategorie B Úlohy 3, 5 a 6.

Podobné prezentace


Prezentace na téma: "Matematická olympiáda 2009/10 Kategorie B Úlohy 3, 5 a 6."— Transkript prezentace:

1 Matematická olympiáda 2009/10 Kategorie B Úlohy 3, 5 a 6

2 3) V rovině je dána usečka AB. Sestrojte rovnoběžnik ABCD, pro jehož středy stran AB, CD, DA označene po řadě K, L, M plati: body A,B, L, D leži na jedne kružnici a rovněž body K, L, D, M leži na jedné kružnici.

3 Načrtneme libovolný rovnoběžník a označíme v něm délky stran: a/2 b b/2 b ABLD je lichoběžník - jedna kružnice prochází body A,B, L, D, musí tedy být rovnoramenný b b Trojúhelník AKD je rovnoramenný

4 a/2 b b/2 b b b Trojúhelník AKM je rovnoramenný KLDM je lichoběžník - jedna kružnice prochází body K, L, D, M, musí tedy být rovnoramenný a/2 Protože KM je střední příčka trojúhelníku ABD, BD = a a

5 Zápis konstrukce: 1) AB; I AB I = a 2) K; K je střed AB 3) k; k = (B, r = a ) 4) o; o je osa AK 5) D; D  o  k 6) Rovnoběžník ABCD VLASTNÍ KONSTRUKCE

6

7 5) Uvnitř kratšího oblouku AB kružnice opsané rovnostrannému trojúhelniku ABC je zvolen bod D. Tětiva CD protíná stranu AB v bodě E. Dokažte, že trojúhelnik se stranami délek |AE|, |BE|, |CE| je podobný trojúhelniku ABD. NÁZORNĚ VIZ ZDE

8 Chceme tedy dokázat, že platí:

9 Sestrojíme zadání úlohy a bodem E vedeme rovnoběžku s BC 120° Podle věty o středových a obvodových úhlech doplníme velikosti úhlů Trojúhelník AEF je rovnostranný, protože všechny jeho úhly mají velikost 60° Potom i úhel u bodu F je 120° 120° Platí: AE = EF, CE = CE, EB = FC (rovnoramenný lichoběžník BCFE) Dokazujeme tedy podobnost trojúhelníků:   Úhly označené  jsou shodné, jsou to oba obvodové úhly v dané kružnici nad AD Trojúhelníky ABD a ECF jsou tedy podobné podle věty uu a platí:

10 6)Reálná čisla a, b mají tuto vlastnost: rovnice x 2 − ax + b − 1 = 0 má v množině reálných čisel dva různé kořeny, jejichž rozdíl je kladným kořenem rovnice x 2 − ax + b + 1 = 0. a) Dokažte nerovnost b > 3. b) Pomoci b vyjádřete kořeny obou rovnic. a = 1, b = -a, c = b - 1 Musí být:

11 Malá odbočka - rozklad kvadratického trojčlenu a kořeny rovnice: Je vidět, že součet kořenů dává (-1). číslo před x - v naší rovnici tedy a: Je vidět, že součin kořenů dává absolutní číslo v naší první rovnici tedy: b - 1 a ve druhé rovnici : b+1

12 Rozdíl kořenů se má rovnat kladnému kořenu rovnice x 2 − ax + b + 1 = 0 a = 1, b = -a, c = b + 1

13 První rovnice má větší kladný kořen x 2 a menší kořen x 1 Druhá rovnice má jeden z kořenů x 2 -x 1 Protože jejich součet je stejně jako u první rovnice a, platí, že druhý kořen je: a - (x 2 -x 1 ) a - (x 2 -x 1 )= a - x 2 +x 1 Doplníme-li rovnost pro součet kořenů z první rovnice, dostaneme: = (x 2 +x 1 )- x 2 +x 1 = 2x 1 Druhá rovnice má jeden z kořenů x 2 -x 1 a druhý tedy 2x 1

14 Použijeme vztah pro součin kořenů : (x 2 -x 1 ).2x 1 =b+1 x 1.. x 2 =b-1 Z druhé rovnice vychází : b = 2x 1 x 2 -2x b = -1+ 2(b-1)-2x 1 2 Dosadíme za x 1 x 2 z prvního vztahu : 2x = 2(b-1)- b b = 2x Je vidět, že b>3, protože 2x 1 2 >0 : Protože, je x 2 -x 1 >0 a b+1>0, musí být kladný i druhý kořen 2x 1

15 b = 2x Z této rovnice dostáváme: A z další rovnice dostáváme: x 1.. x 2 =b-1


Stáhnout ppt "Matematická olympiáda 2009/10 Kategorie B Úlohy 3, 5 a 6."

Podobné prezentace


Reklamy Google