Prezentace se nahrává, počkejte prosím

Prezentace se nahrává, počkejte prosím

Operace s vektory 1 Mgr. Martin Krajíc 15.2.2014 matematika 3.ročník analytická geometrie Gymnázium Ivana Olbrachta Semily, Nad Špejcharem 574, příspěvková.

Podobné prezentace


Prezentace na téma: "Operace s vektory 1 Mgr. Martin Krajíc 15.2.2014 matematika 3.ročník analytická geometrie Gymnázium Ivana Olbrachta Semily, Nad Špejcharem 574, příspěvková."— Transkript prezentace:

1 Operace s vektory 1 Mgr. Martin Krajíc matematika 3.ročník analytická geometrie Gymnázium Ivana Olbrachta Semily, Nad Špejcharem 574, příspěvková organizace Nad Špejcharem 574, Semily, Česká republika Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/ Název projektu: Moderní škola

2 Operace s vektory Nulový vektor: je určen nulovou orientovanou úsečkou označujeme o nebo o souřadnice v rovině o = (0, 0) v prostoru o = (0, 0, 0) velikost |o| = 0 (j) Jednotkový vektor: vektor, jehož velikost je rovna číslu jedna např: u = (1, 0), v = (, )

3 Operace s vektory Opačný vektor: opačným vektorem k vektoru u = AB nazýváme vektor u = BA opačný vektor označujeme –u daný vektor a vektor k němu opačný mají opačná znaménka u odpovídajících si souřadnic Př: Napište souřadnice vektoru u = AB a vektoru k němu opačného, jestliže A[1, -1, 2], B[3, 1, 1]. u = AB = B – A = (2, 2, -1) -u = BA = A – B = (-2, -2, 1)

4 Operace s vektory – sčítání Součet vektorů: pro vektory u = AB, v = BC platí: u + v = w = AC jestliže u = (u 1, u 2 ), v = (v 1, v 2 ): u + v = (u 1 + v 1, u 2 + v 2 ) jestliže u = (u 1, u 2, u 3 ), v = (v 1, v 2, v 3 ): u + v = (u 1 + v 1, u 2 + v 2, u 3 + v 3 ) graficky: w = u + vC v A uB

5 Operace s vektory – odčítání Rozdíl vektorů: pro vektory u = AC, v = AB platí: u – v = w = BC jestliže u = (u 1, u 2 ), v = (v 1, v 2 ): u – v = (u 1 – v 1, u 2 – v 2 ) jestliže u = (u 1, u 2, u 3 ), v = (v 1, v 2, v 3 ): u – v = (u 1 – v 1, u 2 – v 2, u 3 – v 3 ) graficky: (w = u – v, neboť po úpravě u = v + w) uCuC w = u – v A vB

6 Operace s vektory – násobení vektoru číslem Násobení vektoru číslem: násobkem nulového vektoru číslem je nulový vektor násobkem nenulového vektoru u = AB reálným číslem k je vektor AC, pro který platí: 1. |AC| = |k|.|AB| 2. pro k ≥ 0 leží bod C na polopřímce AB pro k ˂ 0 leží bod C na opačné polopřímce k polopřímce AB označujeme AC = ku v rovině pro vektor u = (u 1, u 2 ) platí ku = (ku 1, ku 2 ) v prostoru pro vektor u = (u 1, u 2, u 3 )platí ku = (ku 1, ku 2, ku 3 )

7 Operace s vektory – lineární kombinace Lineární kombinace: lineární kombinací jednoho vektoru u je vektor z = ku, kde k je reálné číslo např: z = (-4, 6, 2), u = (2, -3, -1) z = -2.u lineární kombinací dvou vektorů u,v je vektor z = ku + lv, kde k,l jsou reálná čísla např: z = (-2, 5, 23), u = (2, -3, -1), v = (1, -1, 5) z = -3.u + 4v lineární kombinací tří vektorů u,v,w je vektor z = ku + lv + mw, kde k,l,m jsou reálná čísla např: z = (9, -9, -13), u = (2, -3, -1), v = (1, -1, 5), w = (-2, 1, 8) z = 2.u + v – 2w analogicky utvoříme lineární kombinaci pro čtyři a více vektorů

8 Operace s vektory – příklady Př: Dány vektory u = (-4, 6, 2), v = (2, -3, -1). a. Vypočtěte součet u + v: u + v = (-4 + 2, 6 + (– 3), 2 + (– 1)) = (-2, 3, 1) b. Vypočtěte rozdíl u – v: u – v = (-4 – 2, 6 – (– 3), 2 – (– 1)) = (-6, 9, 3) c. Vypočtěte násobek -7u: -7u = (-7.(-4), -7.6, -7.2) = (28, -42, -14) d. Vypočtěte -2u + 3v: -2u + 3v = (-2.(-4) + 3.2, (-3), (-1)) = = (14, -21, -7)

9 Operace s vektory – příklady Př: Zjistěte, zda je vektor w = (5, 2, 5) lineární kombinací vektorů u = (2, 2, 3) a v = (-1, 2, 1). hledáme čísla a,b taková, aby platilo w = au + bv musí platit:(5, 2, 5) = a(2, 2, 3) + b(-1, 2, 1) (5, 2, 5) = (2a, 2a, 3a) + (-1b, 2b, 1b) (5, 2, 5) = (2a -1b, 2a + 2b, 3a + 1b) musí se rovnat odpovídající souřadnice: 1) 5 = 2a -1b2) 2 = 2a + 2b3) 5 = 3a + 1b z prvních dvou rovnic dostaneme: a = 2, b = -1 zkoušku provedeme dosazením do třetí rovnice vektor w je lineární kombinací vektorů u,v a platí w = 2u – 1v

10 Operace s vektory – příklady Př: Zjistěte, zda je vektor w = (3, -1, 1) lineární kombinací vektorů u = (3, 1, 0) a v = (2, 2, -1). hledáme čísla a,b taková, aby platilo w = au + bv musí platit:(3, -1, 1) = a(3, 1, 0) + b (2, 2, -1) (3, -1, 1) = (3a, 1a, 0a) + (2b, 2b, -1b) (3, -1, 1) = (3a + 2b, 1a + 2b, 0a -1b) musí se rovnat odpovídající souřadnice: 1) 3 = 3a + 2b 2) -1 = 1a + 2b 3) 1 = 0a -1b z třetí rovnice dostaneme b = -1, dosazením do druhé a = 1 zkoušku provedeme dosazením do první rovnice: 3 ≠ (-1) vektor w není lineární kombinací vektorů u,v

11 Operace s vektory – samostatná práce Př: Řešte příklady a na závěr doplňte citát (využijte písmen u správných řešení): Jan Masaryk: „Pamatuj si, že dokud budeme generálům platit víc než učitelům, nebude na světě …….“ 1) Dány u = (3, 2, -5), v = (-4, 3, -1). Vypočti w = 2u + 3v. a) M = w = (-6, 13, -13)b) N = w = (-6, 11, 13) 2) Zjistěte, zda je vektor w = (-2, 4, -6) lineární kombinací vektorů u = (1, 3, -2) a v = (2, 1, 1). a) I = neb) Í = ano: w = 2u – 2v 3) Zjistěte, zda je vektor w = (1, 1, 2) lineární kombinací vektorů u = (-1, 0, 1) a v = (2, 2, 3). a)R = neb) C = ano: w = 3u – 5v

12 Operace s vektory – správné řešení Jan Masaryk: „Pamatuj si, že dokud budeme generálům platit víc než učitelům, nebude na světě …….….“ MÍR

13 Operace s vektory – použitá literatura Použitá literatura: KOČANDRLE, Milan a Leo BOČEK. Matematika pro gymnázia: Analytická geometrie. Praha: Prometheus, 2009 SVOBODA, Martin. [online]. [cit ].


Stáhnout ppt "Operace s vektory 1 Mgr. Martin Krajíc 15.2.2014 matematika 3.ročník analytická geometrie Gymnázium Ivana Olbrachta Semily, Nad Špejcharem 574, příspěvková."

Podobné prezentace


Reklamy Google