Prezentace se nahrává, počkejte prosím

Prezentace se nahrává, počkejte prosím

Teorie čísel Prvočíslo Eulerova funkce φ(n) První hodnoty funkce φ: 1,1,2,2,4,2,6,3,6,4 Pro a, b nesoudělná φ(ab)= φ(a). φ(b) P prvočíslo: φ(p)=p-1.

Podobné prezentace


Prezentace na téma: "Teorie čísel Prvočíslo Eulerova funkce φ(n) První hodnoty funkce φ: 1,1,2,2,4,2,6,3,6,4 Pro a, b nesoudělná φ(ab)= φ(a). φ(b) P prvočíslo: φ(p)=p-1."— Transkript prezentace:

1 Teorie čísel Prvočíslo Eulerova funkce φ(n) První hodnoty funkce φ: 1,1,2,2,4,2,6,3,6,4 Pro a, b nesoudělná φ(ab)= φ(a). φ(b) P prvočíslo: φ(p)=p-1

2 Vlastnosti prvočísel Binomický koeficient (p nad i) mod p = 0, pro i=1..p-1 (a+b) p mod p=a p +b p Pro c menší než p je c p-1 mod p = c N je součin dvou prvočísel p,q. φ(N)=(p-1)(q-1), c φ(N)-1 mod p = 1 Malá Fermatova věta

3 Distribuce klíčů D-H *1976 Whitfield Diffie *1944 Martin Hellban *1945 Massachusetts Institute of Technology (Boston) Protokol SSL

4 Metoda Diffie Hellman Použiji jednosměrnou funkci f(x)=p x mod q p,q jsou velká prvočísla. Uživatel A zvolí tajný klíč t, uživatel B tajný klíč s. Uživatel A spočítá f(t) = p t mod q = α a pošle Uživatel B spočítá f(s) = p s mod q = β a pošle

5 Metoda Diffie Hellman A spočítá β t mod q = p st mod q = K. B spočítá α s mod q = p ts mod q = K. K se použije jako klíč pro jednorázovou šifru (např. DES)

6 RSA šifra *1977 Ronald Rivest *1947 Adi Shamir *1952 Leonard Adelman *1945 University of Southern California, Los Angeles Protokol PGP

7

8 RSA šifra Dvě prvočísla p,q Šifrovací modul N=p.q Dešifrovací exponent t nesoudělný s N Φ(N)=(p-1).(q-1) s je řešení kongurence s.t mod Φ(N)=1 Veřejný klíč: N,s Tajný klíč: p,q, Φ(N), t

9 RSA šifra Šifrovací zobrazení y=x s mod N Dešifrovací zobrazení x=y t mod N x st mod N = x kΦ(N)+1 mod N = 1 k.x mod N = x

10 Příklad p=7, q=13 N=91, Φ(N)=6.12=72 t=7 s.7 mod 72 = 1, s=31 Veřejný klíč s=31, N=91, y=x 31 mod 91 Tajný klíč t=7, p=7, q=13, Φ(N)=72, x=y 7 mod 91

11 Příklad x=24 y= x 31 mod 91= mod 91 = (24 16 mod 91). (24 8 mod 91). (24 4 mod 91). (24 2 mod 91). (24 1 mod 91) = mod 91= mod 91 = 80 x = 80 7 mod 91= (80 1 mod 91). (80 2 mod 91). (80 4 mod 91) = mod 91 = 24

12 Elektronický podpis X=y t mod N, y =x s mod A y=y st mod N = y

13 Jak vybrat prvočísla p, q Prvočísel je nekonečně mnoho Počet prvočísel menších než n: π(n)≈n/ln(n) Počet 100místných prvočísel: π( )- π(10 99 ) ≈4,3*10 97 ln( ) ≈ 230, každé 230 číslo je prvočíslo

14 Algoritmus pro hledání prvočísla Zvol náhodné číslo n Otestuj, jestli je prvočíslo Pokud ne, polož n:=n+1

15 Test prvočíselnosti Vyzkoušet všechny dělitele – nereálné Malá Fermatova věta, pro c


Stáhnout ppt "Teorie čísel Prvočíslo Eulerova funkce φ(n) První hodnoty funkce φ: 1,1,2,2,4,2,6,3,6,4 Pro a, b nesoudělná φ(ab)= φ(a). φ(b) P prvočíslo: φ(p)=p-1."

Podobné prezentace


Reklamy Google