Kendalova klasifikace SHO

Prezentace na téma: "Kendalova klasifikace SHO"— Transkript prezentace:

1 Kendalova klasifikace SHO
Systém M/M/1

2 Klasifikace systémů hromadné obsluhy
X/Y/s X … typ vstupního procesu - M Poissonovský proces - D Deterministický proces - U (C) Rovnoměrné rozdělení - G Obecné ( jiné, než zde výslovně uvedené) rozdělení

3 Klasifikace systémů hromadné obsluhy
X/Y/s Y … rozděleníé veličiny doba obsluhy M Normální rozdělení - D Pevná doba obsluhy - U (C) Rovnoměrné rozdělení - G Obecné ( jiné, než zde výslovně uvedené) rozdělení

4 Klasifikace systémů hromadné obsluhy
X/Y/s S >= 1 počet kanálů obsluhy

5 Rozšířená klasifikace SHO
X/Y/s/C/F/V C disciplína čekání (FIFO, LIFO, RANDOM, PRIORITY()) F omezení délky fronty (číslo, nebo ∞) V omezení vstupu (velikosti populace) (číslo, nebo ∞)

6 Vstupní parametry modelů
 … intenzita vstupu (průměrný počet požadavků, které do systému vstoupí za jednotku času)  … intenzita obsluhy (průměrný počet požadavků, které je kanál schopen obsloužit za jednotku času)  … =  /  intenzita provozu

7 Vypočtené parametry modelu
pn … pravděpodobnost, že v systému je právě n zákazníků … průměrný počet zákazníků v systému … průměrná délka fronty … průměrná doba setrvání zákazníka v systému … průměrná doba čekání … průměrný počet obsazených kanálů (= průměrný počet zákazníků v obsluze)

8 Model M/M/1 Respektive M/M/1/FIFO/∞/∞

9 Lze reprezentovat Markovovským řetězcem
Stavy 0, 1, …, n, … (v systému je právě n zákazníků 1-(λ+μ)dt 1-(λ+μ)dt 1-(λ+μ)dt 1-λdt λdt λdt λdt λdt … 3 1 2 μdt μdt μdt μdt

10 Pokud existuje ustálený režim systému, musí platit
0 = -λp0 + μp1 0 = λp0 – (λ+μ)p1 + μp2 ….. 0 = λpn-1 – (λ+μ)pn + μpn+1 p1 + p2 + … + pn + … = 1 A tedy pn = (1-ρ)ρn

11 Průměrný počet zákazníků v systému
= 0p0 + 1.p1 +2.p2 + …+ n.pn + … = = (1-ρ).∑n. ρn = ρ/(1- ρ)

12 Průměrný počet zákazníků ve frontě
= - ρ = ρ/(1- ρ) - ρ = ρ2/(1- ρ)

13 Průměrná doba strávená v systému
= /λ = ρ/λ.(1-ρ) = 1/μ.(1-ρ) = 1/(μ-λ)

14 Průměrná doba strávená ve frontě
= - 1/μ = 1/(λ-μ) -1/μ = ρ/(μ-λ)

15 Shrnutí vzorců pro systém M/M/1
Pro ρ >= 1 je systém nestabilní Pro ρ < 1 platí průměrný počet jednotek v systému ρ/(1- ρ) průměrný počet jednotek ve frontě ρ2/(1- ρ) průměrný počet jednotek v obsluze ρ průměrná doba strávená v systému 1/(μ-λ) průměrná doba strávená ve frontě ρ/(μ-λ) průměrná doba strávená v obsluze 1/μ pravděpodobnost, že jednotka bude čekat ve frontě déle, než t ρ. e –(μ-λ)t

16 Příklady