Prezentace se nahrává, počkejte prosím

Prezentace se nahrává, počkejte prosím

CW – 05 TEORIE ROZHODOVACÍCH PROCESŮ Ústav technologie, mechanizace a řízení staveb Fakulta stavební VUT v Brně © Ing. Václav Rada, CSc. 11. PŘEDNÁŠKA.

Podobné prezentace


Prezentace na téma: "CW – 05 TEORIE ROZHODOVACÍCH PROCESŮ Ústav technologie, mechanizace a řízení staveb Fakulta stavební VUT v Brně © Ing. Václav Rada, CSc. 11. PŘEDNÁŠKA."— Transkript prezentace:

1 CW – 05 TEORIE ROZHODOVACÍCH PROCESŮ Ústav technologie, mechanizace a řízení staveb Fakulta stavební VUT v Brně © Ing. Václav Rada, CSc. 11. PŘEDNÁŠKA Březen 2014 Lineární programování - 1

2 Březen 2013 lineárního programování ….. METODY ŘEŠENÍ s úvodem patřícím do oblasti lineárního programování ☺ POKRAČOVÁNÍ

3 Historie lineárního programování se datuje do poválečných let a je spojena hlavně se jmény: George B. Dantzig, který publikoval práci o simplexové metodě v roce 1947, John von Neumann, který vypracoval teorii duality v tomtéž roce, Leonid Kantorovich, ruský matematik, který použil obdobných technik (postupů) v eko- nomice dříve než Datzing. Lineární programování - historie Březen 2009

4 lineární programováníLP V matematice se lineární programování (LP) týká optimalizace lineární cílové funkce, která je subjektem lineárních rovnic a nerovnic. Při řešení rozhodovacích problémů je nezbyt- né respektovat větší či menší počet omezují- cích podmínek a předpokladů a přitom je nez- bytné i tehdy najít nejlepší (pokud možno optimální) řešení. Lineární programování Březen 2010

5 Při reprezentaci optimalizace matematickými formulacemi se používá lineárních matem. rovnic, nerovnic, funkcí, … = lineární modelování, programování nebo lineární optimalizační model. Lineární programování Březen 2013

6 linearity zobrazovaných procesů Varianta řešení rozhodovacích problémů pomocí LP, je jednou z nejoblíbenějších typů optimalizačních úloh. I tyto modely obsahují určitou dávku nepřes- ností vyplývající z nutného předpokladu linearity zobrazovaných procesů. Lineární programování Březen 2014

7 Malé modely lze řešit celkem jednoduše graficky – geometrickou interpretací lineárních nerovnic, pomocí vlastností konvexních množin a grafickým sčítáním vektorů. Lineární programování Březen 2014

8 simplexová metoda Větší a složitější modely - univerzální simplexová metoda založená na Jordanově eliminační metodě pro řešení soustavy lineárních rovnic – byla speciálně vyvinuta pro oblast lineárního programování. Lineární programování Březen 2013

9 Lineární programování (LP) lineárními výrazy Lineární programování (LP) - oblast mate- matického programování zabývající se řešením úloh, které je možné formulovat s pomocí modelů v nichž jsou kriteriální funkce i všechny rovnice a nerovnice podmínek tvořeny lineárními výrazy. Lineární programování Březen 2010

10 Lineární programování – matematický popis Březen 2010 Při sestavování matematického modelu je bezpod- mínečně nutné znát modelovaný systém a mít řešený problém dobře definovaný …. v praxi: - procesy k ovlivňování výsledného efektu (řidi- telné vstupy) - cíl jehož dosažení je potřeba (většinou obsahuje i optimalizační kritéria) - činitelé omezující jakýmkoliv způsobem realizaci těchto procesů a které v rámci řešení daného prob- lému nelze ovlivňovat (neřiditelné vstupy).

11 Lineární programování – matematický popis Březen 2010 Protože jednou z hlavních aplikačních oblastí je ekonomika, předpokládá se obvyklý postup kon- struování matematického modelu na základě zna- lostí ekonomického modelu. Vzhledem k různorodosti reálné praxi nelze sta- novit (poskytnout) jednoznačný, konkrétní a po- drobný obecný postup sestavování matema- tického modelu – pouze doporučení …

12 Lineární programování – matematický popis Březen 2010 … pouze 3 doporučení: - definování rozhodovacích proměnných [zejména všech jejich možných číselných hodnot i mezních – dávají pak výslednou hodnotu kritéria + dtto znalost pro hodnoty kritérií i výsledků s nimiž lze považovat úlohu za vyřešenou -►na počátku řešení jsou ne- známé a proto jsou (každá jedna hodnota) repre- zentovány (jednou) rozhodovací proměnnou u které je znám její reálný (existující a platný) význam i její fyzikální rozměr, počty a hodnoty, atd.] - ……..

13 Lineární programování – matematický popis Březen 2009 …….. - formulování kriteriální (účelové) funkce [je měřít- kem kvality nebo efektivnosti aktuálního řešení – je to funkce závislá na hodnotách definovaných rozho- dovacích proměnných – definice závisí na formulací cílů řešení – při řešení matematického modelu se hledají takové hodnoty pro které proměnné nabývají maximální (zisk, produktivita, počty výrobků, vytíže- nost, objem výroby, atp.) nebo minimální (náklady, počet pracovníků, spotřeba (vyčerpávání) zdroje, atp.) velikosti (hodnoty) – ….

14 Lineární programování – matematický popis Březen 2009 … – kriteriální funkce musí být sestavena tak, aby její hodnota“oceňovala“ každé myslitelné řešení úlohy – tj. dávala pokud možno optimální výsledek (řešení) splňující kriterium] ……… ………

15 Lineární programování – matematický popis Březen formulování všech omezení působících na úlohu [jedná se o správné zformulování všech omezují- cích činitelů ve formě rovnic nebo nerovnic –►čím je hledání řešení omezeno + jak to omezení funguje (které proměnné a jakým způsobem jsou omezeny) – – pokud nejsou formulovány skutečně všechny potřebné (platné, existující, relevantní, …) omezení = řešení je chybné – řešení musí zahrnovat i tzv. vazební podmínky mezi nejrůznějšími proměnnými a musí obsahovat (v neposlední řadě) i „obligátní“ podmínky určující obor hodnot jednotl. proměných.]

16 Lineární programování – matematický popis Březen 2010 Další rozpracované (detailnější) „pomůcky“ vedoucí k úspěšnému sestavení lineárního modelu: - formulování neřiditelných vstupů (koeficienty úlo- hy) – všechny neřiditelné vstupy lze zapsat do ta- bulky – neřiditelné vstupy jsou dány souhrnem všech relevantních číselných údajů z úplného (!) zadání úlohy – jsou to vlastně konstanty vstupující (řešením neovlivnitelně) do řešení a takto musí být respektovány

17 Lineární programování – matematický popis Březen formulování řiditelných vstupů (rozhodovací pro- měné) – pro úspěšnou konstrukci matematického modelu je správné určení rozhodovacích proměn- ných modelu – někdy je určení jednoduché, někdy musí předcházet hluboký rozbor – je mnohdy i zá- ležitostí zkušenostní – i schopností myslet v daných kategoriích –►mohou vznikat různé modely (dokon- ce mohou i správně úlohu popisovat) … proto ná- sleduje příklad popisu

18 Lineární programování – matematický popis Březen 2014 Popis jednoho z mnoha správných přístupů k volbě proměnných lineárního matematického modelu: - především je nutno si uvědomit, že prakticky jedi- ným výstupem modelu je řešení tvořené konkrétní- mi číselnými hodnotami proměnných – proto výsle- dek (vyřešení úlohy) se musí získat z těchto údajů a jejich výstupního řešení -…

19 Lineární programování – matematický popis Březen 2014 … - pro každý číselný údaj musí být definována jedna proměnná, což musí znamenat, že každému pro- cesu je přirazena jedna proměnná označovaná jako strukturní proměnná - hodnotami těchto proměn- ných jsou úrovně jednotlivých procesů

20 Lineární programování – matematický popis Březen cíle prováděné analýzy (kritérium) – ze zadání vyplyne, co je výsledkem (obvykle jím bývá zisk, neboli řešení ekonomické) – v každém případě se hledá funkční závislost vyjadřující tento vztah – bude se maximalizovat nebo minimalizovat ….. Cíl analýzy: nalezení extrému (maxima či minima) lineární funkce označované jako účelová nebo kriteriální funkce.

21 Lineární programování – matematický popis Březen omezující faktory (omezující podmínky) – musí rovněž vyplynout ze zadání úlohy – a jsou to údaje nějakým způsobem omezující množinu řešení – je zde vhodné použít kontrolu rozměrů fyzikálních veličin (fyzikálních jednotek) představujících kon- krétní hodnoty úlohy

22 Lineární programování – matematický popis Březen jednotlivé omezující podmínky (č. 1, č. 2, atd. ) – přesná specifikace omezujících podmínek a jejich hodnoty – obvykle je to třeba nějaké nepřekročitelné maximum

23 Lineární programování – matematický popis Březen obligátní podmínky (podmínky nezápornosti) – logicky je tato podmínka samozřejmá, ale matema- ticky musí být určena (vymezena) a vyloučena.

24 Lineární programování – matematický popis Březen 2010 V následujících slidech je uvedeno zobecnění před- cházejících podmínek a potřeb nezbytných ke sprá- vnému (a vůbec realizovatelnému) řešení v podobě obvyklých matematických vztahů. Prvním krokem je vždy definice proměnných - mate- matický model se vždy skládá z Zobecněný matematický popis: - účelové funkce a - množiny podmínek.

25 Lineární programování – matematický popis Březen 2013 Zobecněný matematický popis vychází z předpo- kladu, že v modelu bude: n … počet definovaných proměnných m … počet potřebných omezení úlohy x j … označení proměnných (j = 1, 2,.. n). K sestavení modelu je potřeba znát hodnoty koeficientů účelové funkce, podmínek a pravých stran rovnice – viz dále.

26 Lineární programování – matematický popis Březen 2013 Model úlohy lineárního matematického programování lze zapsat obecně ve tvaru: maximalizuje se (minimalizuje se) rovnice z = c 1 *x 1 + c 2 *x 2 + … + c n *x n za podmínek ………

27 Lineární programování – matematický popis Březen 2011 Koeficienty: c j … pro j = 1, 2, … n – vystupují u každé proměnné v úče- lové funkci / koeficient účelové funkce a ij … pro i = 1, 2, … m; j = 1, 2, … n – vystupují u každé pro- měnné v podmínkách vyjadřujících vztah mezi j-tou podmínkou a i-tým omezujícím faktorem / koeficient podmínek b i … pro i = 1, 2, … m – vystupují na pravých stranách pod- mínek (= konstantní hodnoty, které v podmínkách stojí samostatně a nejsou svázány pouze s jednou konkrét- ní proměnnou – obvykle jsou to hodnoty vyjadřující výši daného limitujícího faktoru a staví s vpravo od znamén- ka = nebo ≠ / hodnoty pravých stran podmínek

28 Lineární programování – matematický popis Březen 2011 Model úlohy LP … za podmínek daných soustavou rovnic (nebo maticí) a 11 *x 1 + a 12 *x 2 + … + a 1n *x n = b 1 a 21 *x 1 + a 22 *x 2 + … + a 2n *x n = b 2 …………. a m1 *x 1 + a m2 *x 2 + … + a mn *x n = b m pro x j ≥ 0, kde j = 1, 2, … n

29 Lineární programování – matematický popis Březen 2011 … lze zapsat i zjednodušenou (součtovou) formou: maximalizuje se (minimalizuje se) rovnice z = Σ c j * x j - sumace při j = 1, 2, … n za podmínek daných soustavou rovnic (nebo maticí) Σ a ij *x j = b i - sumace při i = 1, 2, … m pro jednotlivé rovnice dané vztahem x j ≥ 0, kde j = 1, 2, … n

30 Lineární programování – matematický popis Březen 2014 … nebo maticovou formou: maximalizuje se (minimalizuje se) rovnice z = c T * x za podmínek daných soustavou rovnic (nebo maticí) A * x = nebo =) b x ≥ 0

31 Lineární programování – matematický popis Březen 2014 … kde značí: x … n - složkový sloupcový vektor rozhodovacích proměnných modelu c T … n - složkový řádkový (transponovaný) vektor koeficientů účelové funkce A … matice koeficientů podmínek rozměru m * n b … m - složkový sloupcový vektor hodnot pravých stran podmínek

32 Lineární programování – vložený (ilustrační) příklad Březen 2014 Balírny a pražírny kávy plánují výrobu dvou směsí, kávy Super a Standard – jako vstup pro výrobu mají tři druhy kávových bobů v množstvích 40, 60 a 25 tun - vyráběné směsi mají mít následující složení v tunách komponent na jednu tunu směsi. Komponenta Super Standard Kapacita K1 0,5 0,25 40 K2 0,5 0,5 60 K3 0,0 0,25 25 Na základě výrobních nákladů a vzhledem k předpokládané ceně byl vykalkulován zisk Kč na tunu směsi Super a Kč na tunu směsi Standard. Management chce naplánovat produkci, aby celkový zisk byl maximální.

33 Lineární programování – vložený (ilustrační) příklad Březen 2014 Převede se ekonomický model na matematický. Každému procesu se přiradí jedna proměnná: Super x 1, Standard x 2 Celkový zisk popisuje účelová funkce z = 20000* x * x 2 jejíž koeficienty jsou ceny. Na výrobu tuny směsi Super se spotřebuje 0,5 tuny komponenty K1, tuna Standard potřebuje 0,25 tuny K1 --- a tedy celková spotřeba komponenty K1 bude0,5*x 1 + 0,25*x 2 <= 40 tj., přitom nesmí převýšit dispo- nibilní kapacitu této komponenty, což je 40 tun. Obdobně další…. Nerovnice jsou matematickým vyjádřením činitelů ekonomického modelu úlohy a označují se jako vlastní omezení úlohy LP. Časté jsou podmínky nezápornosti: x 1 >= 0, x 2 >= 0, které plynou z toho, že všechny proměnné v matematickém modelu mají reálnou ekonomickou interpretaci, takže nemohou nabývat záporných hodnot.

34 Březen 2014 Matematický model: 0,5*x 1 + 0,25*x 2 <= 40, 0,5*x 1 + 0,5 * x 2 <= 60, 0,25*x 2 <= 25, x 1 >= 0, x 2 >= 0 Maticový zápis: Tabulka obsahuje hodnoty proměnných, zbylou kapacitu komponent a hodnotu účelové funkce pro některé možnosti výroby směsí. x 1 x 2 K1 K2 K3 z , − Komentář…. Lineární programování – vložený (ilustrační) příklad

35 Březen 2014 Komentář k výsledku (k tabulce)…. Ad 1. Nic se nevyrábí ani nespotřebovává, nulový zisk. Ad 2. Výroba jen směsi Super (maximální vzhledem k daným kapacitám), zisk 1,6 mil. Ad 3. Maximálně možná výroba jen směsi Standard, zisk 1,4 mil. Ad 4. Výroba obou směsí v poměru 50 na 50, zisk 1,7 mil. Ad 5. Výroba směsí 80 t + 20 t, která by dala zisk 1,88 mil, je nerealizovatelná, neboť vyžaduje 45 tun K1, které nejsou k dispozici. Přípustné řešení úlohy LP je takové řešení, které vyhovuje všem podmínkám (vlastním omezením i nezápornosti). Řešení 1. – 4. jsou přípustná, řešení 5. je nepřípustné. Další postup…. Lineární programování – vložený (ilustrační) příklad

36 Březen 2014 Doplnění a komentář k řešení …. Základní řešení úlohy LP je přípustné základní řešení ekvivalentní soustavy rovnic této úlohy. Ekvivalentní soustava rovnic se získáme úpravou soustavy vlast- ních omezení na soustavu rovnic pomocí přídatných proměnných - to jsou nové nezáporné proměnné, které přičítáme k levé straně nerovnice typu a odečítáme u nerovnic. Aby základní řešení ekvivalentní soustavy rovnic bylo i základním řešením úlohy LP, musí navíc splňovat podmínky nezápornosti. Přídatné proměnné x 3, x 4, x 5. Ekvivalentní soustava rovnic bude mít tvar: 0,5*x 1 + 0,25*x 2 + x 3 = 40 0,5*x 1 + 0,5 *x 2 + x 4 = 60 0,25*x 2 + x 5 = 25 Lineární programování – vložený (ilustrační) příklad

37 Březen 2014 Doplnění a komentář k řešení …. Dohromady je pět základních řešení. 1., 2. a 3. řádek tabulky popisují základní řešení úlohy, která jsou „degenerovaná“ = v praxi bez významu nebo obtížně akceptova- telná (nevyhovují přesně zadání,….). Zbývající nedegenerovaná základní řešení jsou: x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 z Optimální řešení je na 7. řádku tabulky. Maximální zisk 1,92 milionu Kč dosáhne firma při produkci 40 tun směsi Super a 80 tun směsi Standard - přitom zbude 5 tun třetí K3. Protože druhým způsobem řešení je grafický postup, je zde doku- mentována i tato možnost….. i když je popsána až v dalším… Lineární programování – vložený (ilustrační) příklad

38 Březen 2014 Grafické řešení množiny přípustných řešení – je to pětiúhelník: průnik polo- rovin geometricky vyja- dřující význam podmínek. Základní řešení úlohy LP představují vrcholy množi- ny přípustných řešení, kterou obecně je konvexní polyedr (mnohostěn, který s kaž- dými svými dvěma body obsahuje i jejich spojnici). Lineární programování – vložený (ilustrační) příklad

39 Zadání obecné úlohy, s řešením v nalezení bodů: x Є R n (tj. množiny reálných čísel), v nichž nabývá lineární forma n proměnných: L (x) = c T * x = ∑c j x j = c 1 x 1 + c 2 x 2 + … +c n x n pro j = 1 až n Má maximum na množině: S  R n všech bodů x = ( x 1, x 2, …, x n ) T vyhovujících rovnicím a …. Lineární programování – matematický popis Březen 2011

40 …. vyhovujících rovnicím a nerovnicím: ∑ a ij * x j ≤ b i pro sumaci j = 1 až n a pro index i = 1 až p ∑ a ij * x j = b i pro sumaci j = 1 až n a pro index i = p+1 až m x j  0 pro j = 1 až n. Pozn.: na čísla b i, i = 1 až m nejsou kladena žádná omezení – mohou být kladná, záporná nebo nulová - někdy se požaduje nezápornost všech x j, pro j = 1 až n. Lineární programování – matematický popis Březen 2014

41 Protože se s rovnicemi pracuje lépe než s nerovnicemi, lze je na rovnice převést (tzv. kanonický tvar úlohy LP – používají se i názvy normovaný nebo standardní tvar) a platí: ∑ a ij1 * x j1 + ∑ δ ij2 * x n+j2 = b i pro sumaci j 1 = 1 až n, a j 2 = 1 až p a pro index i = 1 až p kde δ ij … je Krocknerův symbol (Krocknerovo delta) – umožňující kratší formáty zápisu – definovaný podmínkami, že pro přirozená i a j bude platit: δ ij = 1, pro i = j δ ij = 0, pro i ≠ j. Lineární programování – matematický popis Březen 2011

42 sumační rovnice Podrobný rozpis sumační rovnice - soustava lineárních rovnic: a 11 * x 1 + a 12 * x 2 + … + a 1n * x n + x n+1 = b 1 a 21 * x 1 + a 22 * x 2 + … + a 2n * x n + x n+2 = b 2 ……………… a p1 * x 1 + a p2 * x 2 + … + a pn * x n + x n+p = b p Nově zavedeným proměnným x n+j pro j = 1 až p se jmenují přídatné proměnné. Lineární programování – matematický popis Březen 2009

43 Zadání - podrobný kanonický tvar jednoduché úlohy LP: a) nalézt body: k x Є R n+p v nichž nabývá lineární forma n + p proměnných: k L ( k x ) = c T * x = ∑c j1 * x j1 + ∑0 * x j2 = c 1 * x c 2 * x 2 +…+ c n * x n + 0 * x n * x n+2 +…+ 0 * x n+p pro sumaci j 1 = 1 až n a pro sumaci j 2 = n + 1 až p Lineární programování – matematický popis Březen 2009

44 b) maximum na množině: k S  R n+p všech bodů k x = ( x 1, x 2, …, x n+p ) T vyhovujících ∑ a ij1 * x j1 + ∑ δ ij2 * x n+j2 = b i pro sumaci j 1 = 1 až n, j 2 = 1 až p a index i = 1 až p ∑ a ij1 * x j1 = bi pro sumaci j 1 = 1 až n a pro index i = p + 1 až m x j  0 pro j = 1 až n + p. V praxi se používá i maticový (respektive maticově – vektorový) zápis. Lineární programování – matematický popis Březen 2009

45 Pojmy: přípustné řešení úlohy LP v obecném a kanonickém tvaru * základní řešení úlohy LP optimální řešení úlohy LP Pojmy: * každý bod množiny S resp. v kanonickém tvaru k S, se nazývá přípustné řešení úlohy LP v obecném a kanonickém tvaru * každý krajní bod množiny S, respektive k S se na- zývá základní řešení úlohy LP (bázové či basické) * každý bod x Є S, respektive k x Є k S v němž nabývá L(x), resp. k L( k x) maxima na množině S, resp. k S se nazývá optimální řešení úlohy LP Lineární programování – matematické definice Březen 2011

46 účelová (cílová nebo kriteriální) funkce * optimální řešení * funkce L(x), resp. k L( k x) se nazývá účelová (cílová nebo kriteriální) funkce * optimální řešení se obvykle označuje „hvězdič- kou“ – tj. x* … nebo se používá označení: arg max L(x) na množině S Lineární programování – matematické definice Březen 2011

47 graficky Pokud se má tato úloha řešit graficky, je nutno provést dva kroky: * velmi přesně nakreslit množinu přípust- ných řešení S * znázornit v grafu danou účelovou funkci – nejjednodušším znázorněním jsou vrstevnice (izočáry), které tvoří soustavu rovnoběžek. Lineární programování – matematický popis Březen 2009

48 Formulace modelu lineár. programování * vektor proměnných Formulace modelu lineár. programování Model LP má svoje pravidla, podle nichž se sestaví a použije - má prvky s mat. popisem: * vektor proměnných sloužící k popisu jed- notlivých složek hledaného rozhodnutí má tvar účelové (kriteriální) funkce x = ( x 1, x 2, x 3,......, x n ) Є R n Lineární programování – matematický popis Březen 2009

49 * účelová (kriteriální) funkce * účelová (kriteriální) funkce popisující cíl (kritérium) hledaného rozhodnutí má tvar z ( x ) = c T * x → MIN nebo MAX omezující podmínky popisující reálná omezení vplývající z konkrétní situace při hledání reál- ných omezení a ….. Lineární programování – matematický popis Březen 2011

50 …. a mají tvar: A * x ≤ nebo = nebo ≥ b pro i = 1, 2,..., m vyjádřená omezení kde: ** c T = (c 1, c 2,... c n ) je vektor sazeb nebo hodnota ocenění proměnných Lineární programování – matematický popis Březen 2009

51 **A = (aij) je matice technicko-ekonomických koeficientů **b = ( b 1, b 2,..., b n ) T je vektor pravých stran soustavy omezujících podmínek Lineární programování – matematický popis Březen 2009

52 **x ≥ 0 je podmínka nezápornosti (což zároveň pre- zentuje reálnost situace i modelu – a simple- xový algoritmus neumí se zápornými hodno- tami počítat) **x j ≥ 0 pro j = ( 0, 1, 2..., n )... je rozpis jednotli- vých podmínek. Lineární programování – matematický popis Březen 2009

53 Cíl modelu LP - Cíl modelu LP - nalézt řešení splňující ome- zující podmínky. Řešení zde nabývá požado- vaného extrému. U lin. modelu jsou omezující podmínky zob- razeny pomocí lin. matem. vztahů (rovnic, nerovnic, funkcí). Při řešení musí - nejprve definovat jednotlivé procesy – vyjádřené pomocí proměnných (ve vhodných jednotkách reálných veličin). Lineární programování – matematický popis Březen 2009

54 Pomocí lineárních rovnic a nerovnic musí být definována jednotlivá omezení. Určí hodnoty technicko-ekonomických koeficientů a jedno- tlivé kapacity, požadavky nebo bilanční nero- vnováhy a poměry. Poslední se opisuje kritérium rozhodnutí po- mocí cenových koeficientů vyjadřujících vý- hodnost nebo nevýhodnost. Lineární programování – matematický popis Březen 2009

55 Přitom nelze říci, že nevýhodné procesy se (zásadně) nebudou realizovat, protože někte- ré procesy s méně výhodným cenovým koe- ficientem v rámci daných omezení k hodnotě kritéria, přispějí v rozhodovacím procesu více než proces s koeficientem výhodnějším. Metoda LP je poměrně jednoduchá, její apli- kovatelnost je složitější, než se na první po- hled zdá – neexistuje univerzální návod. Lineární programování – matematický popis Březen 2009

56 Základní úlohy Základní úlohy vhodné pro LP: * optimalizace výrobní struktury – omeze- ním jsou dané výrobní kapacity a struktura výrobního parku * alokační problémy – rozdělení nebo přiřa- zení zdrojů, optimalizace portfólia, optimali- zace reklamy, volba technologií, atd. Lineární programování – matematický popis Březen 2009

57 * směšovací problémy – nalezení optimál- ního poměru složek ve směsi se zaručenými (optimálními) vlastnostmi * problematika dělení materiálů s minimál- ním odpadem (zbytky) – tzv. řezné nebo dě- licí plány * distribuční problémy – optimalizace dodá- vek odběrateli. Lineární programování – matematický popis Březen 2009

58 Pro úlohy LP s pouze dvěma proměnnými nebo dvěma omezujícími podmínkami, lze použít grafického způsobu řešení. V praxi se moc neužívá, protože se tak jedno- duchá zadání prakticky nevyskytují. Ale případné použití na druhé straně dává velmi dobrý názor na postup a vyhodnocová- ní. Její význam je spíš historický a teoretický. Lineární programování – grafické úlohy Březen 2009

59 prostor řešení Množina přípustných řešení Při grafickém zpracování - prostor řešení je prostor - leží všechna přípustná řešení pro- blému. Musí se vhodným způsobem zobrazit i účelová funkce a její chování. Množina přípustných řešení úlohy LP je pak průnikem poloprostorů představujících jednotlivé omezující podmínky. Lineární programování – grafické úlohy Březen 2009

60 konvexní polyedr polyedrický kužel. Protože poloprostor je konvexní množina, je i jejich průnik konvexní množinou – je-li omezená, nazývá se konvexní polyedr. Je-li neomezená, nazývá se polyedrický kužel. Neomezená konvexní množina vždy obsahu- je alespoň jednu polopřímku – znázorňuje body patřící do daného prostoru. Lineární programování – grafické úlohy Březen 2009

61 Lineární účelová funkce Lineární účelová funkce je znázorněna: * přímkou... pokud je jen jedna proměnná * rovinou... v případě, že existují dvě proměnné * nadrovinou... pokud je více proměn. než dvě. Lze ji také zobrazit s pomocí gradientu, který je vektorem prvních parciálních derivací (je tedy shodný s vektorem cen – tento vektor má směr kolmý na zobrazené přímky. Lineární programování – grafické úlohy Březen 2009

62 Podmínkou řešitelnosti množinu přípustných ře- šení množina je prázdná Podmínkou řešitelnosti lineárních optimali- začních úloh je splnění jednoho z následují- cích vztahů pro množinu přípustných ře- šení: * množina je prázdná – omezující podmínky jsou nekonzistentní a model nemá řešení Lineární programování – grafické úlohy Březen 2009

63 množina je konvexní polyedr množina je neomezená * množina je konvexní polyedr – lineární optimalizační model má optimální řešení * množina je neomezená (je polyedrickým kuželem) – účelová funkce může v jednom směru na množině přípustných řešení nabývat libovolně malých nebo velkých hodnot. Lineární programování – grafické úlohy Březen 2011

64 březen 2014 …..… cw05 – p.11. POKRAČOVÁNÍ PŘÍŠTĚ ……. Informace pokračují ……1… SIMPLEXOVÁ METODA

65 ……… Březen 2014


Stáhnout ppt "CW – 05 TEORIE ROZHODOVACÍCH PROCESŮ Ústav technologie, mechanizace a řízení staveb Fakulta stavební VUT v Brně © Ing. Václav Rada, CSc. 11. PŘEDNÁŠKA."

Podobné prezentace


Reklamy Google