Prezentace se nahrává, počkejte prosím

Prezentace se nahrává, počkejte prosím

2. Vybrané základní pojmy matematické statistiky 2.1. Náhodný jev, pravděpodobnost Příklad: kostka {V E }  {., :, :., ::, :.:, :::} vážení {V E }  {

Podobné prezentace


Prezentace na téma: "2. Vybrané základní pojmy matematické statistiky 2.1. Náhodný jev, pravděpodobnost Příklad: kostka {V E }  {., :, :., ::, :.:, :::} vážení {V E }  {"— Transkript prezentace:

1 2. Vybrané základní pojmy matematické statistiky 2.1. Náhodný jev, pravděpodobnost Příklad: kostka {V E }  {., :, :., ::, :.:, :::} vážení {V E }  { (hmotnosti) } Náhodný jev A na experimentu E ( A E ): je zadán pravidlem, které určuje, zda jev nastal, či nenastal A(E) - je určen množinou pozitivních výsledků Výsledek experimentu v  {V E } Experiment (E) - je definován předpisem, který specifikuje množinu možných výsledků {V E }.

2 Příklad: Experiment E  házení kostkou Jevy: A E  {.,:, :.}, B E  {::, :.:,:::} Náhodná proměnná x na experimentu E ( x E ) ): je určena pravidlem, které výsledku experimentu přiřazuje číslo jako hodnotu náhodné proměnné Příklad: 1) 1)E  házení kostkou x  n  počtu bodů, diskretní náhodná proměnná x  {1,2,...,6} 2) 2)E  vážení x  m  hmotnost (SI), spojitá náhodná proměnná x  {0,  } Speciálně: náhodný výběr (N) - experiment, jehož množina výsledků je konečná a realisace žádného z nich není upřednostněna Příklad: házení kostkou E  N x N  {1,2,...,6}

3 Definice:  nastane alespoň jeden z jevů A i, E  nastane každý z jevů A i E  jevy vzájemně disjunktní Nechť A i, E jsou jevy na experimentu E potom: 1) jev non A E  jev A nenastane 2) jev 3) jev Speciálně: (  - prázdná množina výsledků)

4 Definice pravděpodobnosti (teorie míry): Na experimentu E nechť jsou dále zadány jevy A E a B E svými množinami výsledků - {V A }, {V B }; {V A },{V B }  {V E }. Definujeme: pravděpodobnost jevů A, B jako míru podmnožin {V(A)},{V(B)} následujícími pravidly: 1) P A,B  0 2) P V = 1 3) p(A  B)  p A + p B  p(A  B) Nechť je experiment E zadán množinou - {V E }.

5 Příklad experiment (E)  házení kostkou  náhodný výběr {x N }  {1,2,..,6}, nechť jevy A i  {i }, i = 1,...,6, potom A  A i  {1,..,6}  {V N } p A = 1 =, zároveň p Ai = p; (i,k = 1,..,6) Potom 1= = = 6 p  p = 1/ 6 ; Pro náhodný výběr platí: kde n A je počet prvků množiny {V A } a n je počet prvků množiny {V N } – redukovaná velikost podmnožiny.

6 Jev opačný: Nechť: A  {V A }, nonA  {V nonA } {V A }  {V nonA }  {V E }, {V A }  {V nonA }   Potom: p(A  nonA) = p A + p nonA = 1 a tedy:p nonA = 1 – p A Spojení experimentů: Definice: Experiment E, který je spojením experimentů E i, (i = 1,..,n) má za množinu výsledků kartézský součin množin {V E i }, kde {V E i } jsou množiny výsledků experimentů E i. E  E 1. E 2. E 3... E n, {V E }  {V E1 }x{V E2 }x{V E3 }x.....x{V En } E  E 1. E 2. E 3... E n, {V E }  {V E1 }x{V E2 }x{V E3 }x.....x{V En } Příklad: Současné házení dvěma kostkami N 1  {1,2,...,6}, N 2  {1,2,...,6} E  N 1. N 2, {V E }  {(1,1), (1,2),.., (1,6), (2,1), (2,2),.., (6,6)}, n E = 36

7 Definice:Experimenty jsou nezávislé, pokud provedení jednoho nezávisí na provedení druhého. Pravděpodobnosti jevů na nezávislých experimentech jsou pak také nezávislé Náhodný jev na spojení experimentů: Definice: náhodný jev na spojení experimentů je definován množinou výsledků: {V A }  {V A1 }x {V A2 }x {V A3 }x...x {V An } Nezávislé jevy: Definice: jevy jsou nezávislé, jsou-li definovány na nezávislých experimentech Pro náhodný jev na spojení nezávislých experimentů platí Nezávislé experimenty:

8 Příklad: házení dvěma kostkami - i = 2 jev A 1 na N 1 : {V A1 }  {1, 2}, p A1 = 2 / 6 jev A 2 na N 2 : {V A2 }  {3, 4, 6}, p A2 = 3 / 6 A = A 1. A 2, {V A }  {V A1 } x {V A2 } {V N1.N2 } má 36 prvků, {V A } má 6 prvků p A = 6 / 36 = p A1. p A2  jevy nezávislé Opakování experimentu: Označme:E n  (E.E... E) n, n-krát opakovaný experiment E a dále:{V E } množinu výsledků experimentu E Potom: E n  {{V E } x {V E ) x....x {V E } n

9 Jev na opakování experimentu: Je-li definován jev A E  {V A }, potom:A E  {{V A } x {V A } x...x {V A }} n, Alternativní definice pravděpodobnosti: - využitím pojmu relativní četnosti při nezávislém opakování experimentu. Není omezena na experimenty typu náhodný výběr. Relativní četnost jevu A: Jako pravděpodobnost jevu A potom označíme: Příklad užití: integrace metodou Monte-Carlo

10 2.2. Rozdělení pravděpodobnosti Definice: Rozdělením pravděpodobnosti nazýváme funkci, která hodnotám náhodné proměnné přiřazuje jejich pravděpodobnost a) diskrétní náhodná proměnná a) diskrétní náhodná proměnná Rovnoměrné rozdělení: Mějme experiment typu náhodný výběr s množinou výsledků {V}  {v 1,v 2,...v n } Dále mějme na tomto experimentu jevy A i  {v i }, i=(1,....,n) Potom rovnoměrné rozdělení pravděpodobnosti je dáno podmínkou, p Ai = p, pro všechna i = (1,..,n). Užitím normovací podmínky:

11 Binomické rozdělení: Mějme experiment typu náhodný výběr - definujme na něm jev s pravděpodobností p. - jaká je pravděpodobnost P(k), že při N-násobném nezávislém opakování experimentu nastane jev s pravděpodobností p právě k-krát, k = (0,1,2,...,N)? k - diskrétní náhodná proměnná, p, N parametry. P(k) = C(k) p k (1-p) N-k Normovací podmínka: Z toho:

12 Poissonovo rozdělení: Rozdělení pravděpodobnosti počtu výskytů náhodného jevu v určitém intervalu (časovém, prostorovém) Příklad: počet emisí  -kvant v časovém intervalu (0,t) počet překlepů na stránce textu Předpoklady pro odvození rozdělení: i) realisace náhodného jevu jsou navzájem nezávislé‚ ii) pravděpodobnost realisace jevu v malém intervalu je úměrná velikosti tohoto intervalu: P(t,t+dt) = .dt tohoto intervalu: P(t,t+dt) = .dt iii) pravděpodobnost současné realisace (též místně) dvou jevů je nulová.

13 b) spojitá náhodná proměnná b) spojitá náhodná proměnná množina možných výsledků experimentu je spojitá – interval, plocha, objem Definice: pravděpodobnost výskytu náhodné proměnné v intervalu (x, x+dx) je úměrná velikosti intervalu dx : p(x) - hustota (rozdělení) pravděpodobnosti. Normování:

14 Rovnoměrné rozdělení: Mějme spojitou náhodnou proměnnou v jednorozměrném intervalu. Užitím normovací podmínky: Dostaneme: Je-li: hovoříme o rovnoměrném rozdělení

15 Cauchyho rozdělení: Mějme náhodnou proměnnou   s rovnoměrným rozdělením. Příklad: rovnoměrně se otáčející, náhodně střílející dělo x  0 Jaké je rozdělení zásahů v cílové rovině v jednotkové vzdálenosti? Pravděpodobnost výstřelu v intervalu je dána funkcí: p(  ) = konst.

16 Transformace proměnných (viz obr.): Cauchyho rozdělení: Potom Seminární úloha 2.1.: Seminární úloha 2.1.: Nalezněte funkci popisující rozdělení pravděpodobnosti výskytu matematického kyvadla v intervalu v aproximaci malého rozkmitu. Návod: uvažte souvislost mezi pohybem koncového bodu matematického kyvadla a rovnoměrným pohybem po kružnici o poloměru A. a tedy:

17 Normální (Gaussovo) rozdělení: Definice: Nechť je dána spojitá náhodná proměnná x v intervalu x  (- , +  ). Normálním rozdělením nazýváme funkci ve tvaru:  střední hodnota  2 disperse (variance, rozptyl)  standartní odchylka.  =0 Seminární úloha 2.2.: Dokažte, že Normální rozdělení má v bodech x =    inflexní body.

18 Charakteristiky rozdělení a P(-a,+a) P(-a,+a) 2 2 2 2  3    /3 2  /

19 2.3. Střední hodnota, momenty náhodné veličiny Definice: mějme spojitou náhodnou proměnnou x na intervalu mějme spojitou náhodnou proměnnou x na intervalu s rozdělením pravděpodobnosti p(x). Obdobně pro diskrétní náhodnou proměnnou k platí: Dále platí: Potom střední hodnota  x  Potom střední hodnota  x  je definována vztahem: pro funkci h(x) náhodné proměnné x na intervalu je: a obdobně:

20 mějme spojitou náhodnou veličinu x na intervalu V. Definice: Pro diskrétní náhodnou veličinu analogicky: Příklad: n = 1, Potom n-tým momentem náhodné veličiny x nazýváme veličinu: Definice: mějme spojitou náhodnou veličinu x na intervalu V. Potom n-tým centrálním momentem náhodné veličiny nazýváme výrazy náhodné veličiny nazýváme výrazy: Pro diskrétní náhodnou veličinu analogicky:

21 n = 2, Příklad: Dále platí: Definice: asymetrií rozdělení nazýváme veličinu: Příklad: Asymetrie rozdělení symetrického kolem střední hodnoty je nula (plyne přímo z definice třetího centrálního momentu).

22 Příklad: střední hodnota Binomického rozdělení:

23 Seminární úloha 2.5.: Dokažte, že pro Normální rozdělení platí: a) = , b) D x =  2, c)  = 0 Návod: užijte vztahy: Seminární úloha 2.3.: Dokažte, že pro Binomické rozdělení platí: D k = N.p.(1-p) a  k 3c = N.p.(1-p).(1-2p) Poznámka: pro p = 1/2 je  k 3c = 0 a rozdělení je symetrické kolem střední hodnoty. Seminární úloha 2.4.: Dokažte, že pro Poissonovo rozdělení platí: a) = , b) D k = , c)  =  -1/2

24 2.4 Rozdělení pravděpodobnosti více náhodných veličin Definice: Mějme dvě spojité náhodné proměnné x, y definované na intervalech V x, V y, s rozdělení pravděpodobnosti p(x) a q(y). Pravděpodobnost, že x  (x,x+dx) a zároveň y  (y,y+dy ) je dána rozdělením  (x,y ) ve tvaru: V případě nezávislých veličin je zřejmě:

25 Definice: mějme spojité náhodné veličiny x, y, na intervalech V x, V y se středními hodnotami  x,  y. Potom kovariance C x,y je dána vztahem: Dále vypočítáme: Příklad: Definice: korelačním koeficientem dvou náhodných veličin, nazýváme veličinu:

26 Příklad: najděte hodnotu korelačního koeficientu, jsou-li veličiny x, y : a)lineárně závislé ( y = ax+b ) b) nezávislé Řešení:a) b)

27 Střední hodnota součtu náhodnýchveličin: Střední hodnota součtu náhodných veličin: Mějme náhodné veličiny xi, i=1,2,....., a jejich součet: potom: Příklad: střední hodnota aritmetického průměru – Jde-li o stejné veličiny:

28 Střední hodnot součinu náhodných veličin: Mějme náhodné veličiny x i, i=1,2,.....,n a jejich součin: Potom: Střední hodnot součinu nezávislých veličin: Potom:

29 Disperse součtu náhodných veličin: Mějme náhodné veličiny x i, i=1,2,.... Označme: Potom:

30 Jsou –li veličiny x i jsou nezávislé (pro všechna i), tedy C xi,xj = 0 pro všechna (i,j= 1,2,..), potom: Disperse lineární kombinace náhodných veličin: Nechť: potom: v případě lineárně nezávislých veličin: Příklad: Stanovte dispersi aritmetického průměru n nezávislých opakování téže veličiny o střední hodnotě  x a dispersi D x.

31 2.5. Centrální limitní věta Nechť je náhodná veličina x popsána rozdělením p(x) se střední hodnotou  x a konečnou dispersí D x, Na typu rozdělení p(x) nezáleží !!! potom se rozdělení pravděpodobnosti: s rostoucím n blíží k Normálnímu rozdělení N(x): aritmetického průměru n hodnot veličiny x: se střední hodnotou: a dispersí:

32 Seminární úloha 2.7.: Seminární úloha 2.7.: Vypočítejte střední hodnotu a dispersi rovnoměrného, spojitého rozdělení v intervalu. Seminární úloha 2.6.: Dokažte, že při „náhodné procházce“ (random walk) platí pro střední hodnotu čtverce vzdálenosti uražené po N krocích:, Návod: užijte Binomického rozdělení a definice střední hodnoty. kde L je velikost jediného kroku. (random walk - pohyb po krocích  L se stejnou pravděpodobností p=1/2) Seminární úloha 2.8.: Seminární úloha 2.8.: Vypočítejte střední hodnotu a dispersi rovnoměrného diskrétního rozdělení veličiny k v intervalu k .


Stáhnout ppt "2. Vybrané základní pojmy matematické statistiky 2.1. Náhodný jev, pravděpodobnost Příklad: kostka {V E }  {., :, :., ::, :.:, :::} vážení {V E }  {"

Podobné prezentace


Reklamy Google