Prezentace se nahrává, počkejte prosím

Prezentace se nahrává, počkejte prosím

Teoretická informatika Tomáš Foltýnek Teorie množin.

Podobné prezentace


Prezentace na téma: "Teoretická informatika Tomáš Foltýnek Teorie množin."— Transkript prezentace:

1 Teoretická informatika Tomáš Foltýnek Teorie množin

2 Teoretická informatika Opakování z minulé přednášky V čem spočívá přímý důkaz? V čem spočívá nepřímý důkaz? V čem spočívá důkaz sporem? V čem spočívá důkaz matematickou indukcí? V čem spočívá konstrukční důkaz? V čem spočívá ryze existenční důkaz? strana 2

3 Teoretická informatika 3 Teorie množin: Osnova Opakování základních pojmů z TZI –Základní množinové operace –Uspořádaná dvojice, kartézský součin –Relace, zobrazení, operace Axiomatická výstavba TM Teorie čísel Nekonečné množiny

4 Teoretická informatika 4 Teorie množin: Literatura J. Rosický: Teorie množin (MU) –http://www.math.muni.cz/~rosicky/lectures/tma.ps, –http://www.math.muni.cz/~rosicky/lectures/tmb.ps J. Rosický: Základy matematiky (MU) –http://www.math.muni.cz/~rosicky/lectures/zm.ps M. Marvan: Algebra I. (SLU) –http://www.math.slu.cz/studmat/Algebra0203z/I- 0mnoziny.pdf V. Novák: Fuzzy množiny a jejich aplikace –SNTL, Praha 1990

5 Teoretická informatika 5 Opakování: Symbolika A, B, C, …množiny a, b, c, …prvky a  Aprvek množiny (  x)  pro libovolné x platí  (  x)  existuje x tak, že platí  (  !x)  existuje právě jedno x tak, že platí  , ,  konjukce, disjunkce, negace ,  implikace, ekvivalence ,  sumace, multiplikace

6 Teoretická informatika Opakování: Pojem podmnožina O množinách A a B říkáme, že A je podmnožina množiny B (též vztah inkluze; píšeme A  B), jestliže libovolný prvek množiny A je prvkem množiny B –(A  B)  (  x)((x  A)  (x  B)) Zřejmě lze nalézt uspořádání A  A reflexivita A  B  B  C  A  C tranzitivita A  B  B  A  A = B antisymetrie 6

7 Teoretická informatika 7 Opakování: Základní operace Sjednocení množin A a B A  B = { x | x  A  x  B } Průnik množin A a B A  B = { x | x  A  x  B } Rozdíl množin A a B A − B = { x | x  A  x  B }

8 Teoretická informatika 8 Opakování: Množinové zákony I. Prázdná množina  (  A)(   A) Disjunkce množin A a B A  B =  Komutativní zákony A  B = B  A A  B = B  A

9 Teoretická informatika 9 Opakování: Množinové zákony II. Asociativní zákony A  (B  C) = (A  B)  C A  (B  C) = (A  B)  C Idempotentní zákony A  A = AA  A = A Distributivní zákony A  (B  C) = (A  B)  (A  C) A  (B  C) = (A  B)  (A  C)

10 Teoretická informatika 10 Opakování: Množinové zákony III. Doplněk (komplement) množiny A’ M = M − A pokud A  M Zákony jednotky A  M = MA  M = A A   = AA   =  Zákony negace A  A’ M = MA  A’ M =  M’ M =  ’ = M

11 Teoretická informatika 11 Opakování: Množinové zákony IV. de Morganovy zákony (A  B)’ M = A’ M  B’ M (A  B)’ M = A’ M  B’ M cvičení (ukažte, že platí): A − (B  C) = (A − B)  (A − C) A − (B  C) = (A − B)  (A − C)

12 Teoretická informatika 12 Opakování: Kartézský součin I. Jsou dány množiny A,B. Jejich kartézským součinem A  B rozumíme množinu A  B = {(a,b)| a  A, b  B} Základní vlastnosti –A  B  B  A –|A| = m, |B| = n, pak |A  B| = m*n –Platí distributivní zákony A  (B  C) = (A  B)  (A  C) A  (B  C) = (A  B)  (A  C) …a stejně tak i kartézské násobení zprava důkaz jako cvičení

13 Teoretická informatika 13 Opakování: Kartézský součin II. Kartézská mocnina –A 1 = A –A n = A n-1  A Kartézský součin více množin –A 1  A 2  …  A n = {(a 1, a 2, …, a n )| a i  A i  i  {1, 2, …, n}} –Značení –Zřejmě platí

14 Teoretická informatika 14 Opakování: Relace (Binární) relací rozumíme libovolnou podmnožinu kartézského součinu dvou množin   A  B Pro prvky a  A a b  B takové, že (a,b)  budeme binární relaci zapisovat pomocí označení a  b Lze zobecnit pro libovolnou n-ární relaci (včetně unární   A) Význačné relace –identita id A id A (a) = a –inverzní relace  -1 b  -1 a  a  b

15 Teoretická informatika 15 Opakování: Skládání relací Mějme   A  B a   B  C Definujeme  ◦  (  po  – skládání)  ◦  = {(a,c) |  b  B: (a  b  b  c)} Pro skládání relací lze ukázat asociativitu a zejména rovnosti –  ◦ id A =  – id B ◦  =  – (  ◦  ) -1 =  -1 ◦  -1

16 Teoretická informatika 16 Opakování: Relace na množině O relaci na množině mluvíme, když A = B –(tedy   A  A) Význačné vlastnosti –reflexivní: id A   (  a  A) (a  a) –symetrická:  -1  (  a,b  A) (a  b  b  a) –tranzitivní:  ◦  (  a,b,c  A) (a  b  b  c  a  c) –antisymetrická:  - 1  id A (  a,b  A) (a  b  b  a  a=b) –asymetrická:  -1 =  (  a,b  A) (a  b   b  a) Ekvivalence –reflexivní –symetrická –tranzitivní Uspořádání –reflexivní –antisymetrická –tranzitivní

17 Teoretická informatika Opakování: Zobrazení Zobrazení f: A  B je předpis přiřazující každému prvku z množiny A prvek množiny B –Množinu všech zobrazení A  B značíme B A Zobrazení f: A  B je relace R f  A  B taková, že pro libovolné a  A existuje právě jedno b  B Surjekce: zobrazení množiny A na množinu B –(  b  B)(  a  A tak, že f(a) = b) Injekce: zobrazení prosté –(  a 1,a 2  A)(f(a 1 ) = f(a 2 )  a 1 = a 2 ) Bijekce: párování 1:1 –současně surjekce i injekce (prosté i na) 17

18 Teoretická informatika 18 Množiny – základ matematiky Množiny jsou abstraktní formalismus Jejich praktické využití je ve všech ostatních formalismech Celá matematika se dá vyjádřit množinovou symbolikou –Ukážeme si množinovou reprezentaci čísel a později zavedeme také algebru nad množinami

19 Teoretická informatika 19 Axiomatická výstavba TM Axiomaticky budovaná teorie je čistě syntaktická záležitost Zavedeme primitivní pojmy (bezobsažné) –V TM množina, prvek, patřit,… Popíšeme základní vlastnosti primitivních pojmů pomocí axiomů –Základní a priori pravdivá tvrzení, která se nedokazují

20 Teoretická informatika 20 Axiom extensionality Dvě množiny jsou stejné, právě když mají stejné prvky Pro názornost lze rozlišovat velikost označení symbolů (a  A), ale není to nutné (  X,Y)(X = Y  (  z)(z  X  z  Y))

21 Teoretická informatika 21 Axiom dvojice Umožňuje konstrukci nových množin Z množin A, B lze zkonstruovat množinu {A, B} Definice přirozených čísel –0 = , 1 = {  }, 2 = { , {  }}, … –n = {0, 1, … n-1}

22 Teoretická informatika 22 Axiom nekonečna Existuje množina, která obsahuje prázdnou množinu a pro každý svůj prvek x také sjednocení x a {x}. –existuje nekonečná množina –existuje množina přirozených čísel (  X)(  X  (Y  X  Y  {Y}  X)) Pomocí axiomu dvojice můžeme nadefinovat všechna přirozená čísla jako množiny Množinu všech nezáporných celých čísel nadefinujeme pomocí axiomu nekonečna jako ω = { 0, 1, 2, , n,  }

23 Teoretická informatika 23 Axiom vyčlenění/vydělení/výběru Umožní konstruovat množiny pomocí množinových vlastností  (x) jako { a  A |  (x) platí } Tímto způsobem lze konstruovat –PrůnikA  B = { a  A | a  B } –RozdílA − B = { a  A | a  B } Konstruujeme množinu indexem  A i = { a | a  A i pro  i  I } i  Ii  I

24 Teoretická informatika 24 Russelův paradox? V naivní teorii množin jsme definovali množinu pomocí jejich prvků jako { a |  (x) platí } Srovnejme s axiomem vyčlenění { a  A |  (x) platí } Právě zápis a  A nám umožní tvrdit, že a jsou pouze prvky množiny, tudíž ne množiny stejné mohutnosti jako A

25 Teoretická informatika 25 Axiom sjednocení Umožní zavedení sjednocení, konstruuje se pomocí indexu  A i = { a | a  A i pokud  i  I } Zejména běžné značení získáme pro dvojprvkovou indexovou množinu i  Ii  I

26 Teoretická informatika Kartézský součin Uspořádanou dvojici (a,b) definujeme jako množinu (a,b) = {{a},{a,b}} Lze ověřit ekvivalenci (rovnost) na uspořádaných množinách (složky) Kartézský součin definujeme jako A  B = { (a,b) | a  A  b  B } Pro KS platí distributivní zákony se sjednocením a průnikem (ne komut.) 26

27 Teoretická informatika 27 Axiom množiny podmnožin Pro každou množinu A lze utvořit množinu všech podmnožin P(A) = { X | X  A } Počet všech podmnožin |P(A)| = 2 |A| Odvození kartézského součinu: Pomocí množiny všech podmnožin lze definovat kartézský součin užitím axiomu vyčlenění na P(P(A  B))

28 Teoretická informatika 28 Axiom nahrazení Umožní zavedení zobrazení Je-li F(x,y) formule jazyka teorie množin, která je zobrazením (tj. F(x,y)  F(x,z)  y = z), pak pro každou množinu A existuje množina B obsahující právě všechny obrazy prvků z A v zobrazení F(x,y). (  x,y,z)((F(x,y)  F(x,z)  y=z)  (  A)(  B)(  w)(w  B  (  v)(v  A  F(v,w))))

29 Teoretická informatika 29 Axiom regularity (fundovanosti) Každá neprázdná množina A obsahuje alespoň jeden prvek B, který je s A disjunktní. (  A)(A   (  B)(B  A  B  A =  )) Tento axiom není (na rozdíl od ostatních) konstrukční, ale zabraňuje existenci „ošklivých množin“ –Např. M  M, A  B  B  A

30 Teoretická informatika 30 Fuzzy množiny Souvisí s vícehodnotovou logikou V klasické TM určitý objekt buďto je, nebo není prvkem určité množiny Reálná skutečnost –prvky množin „mladí muži“ nebo „krásné ženy“ rozhodně nejsou exaktně určitelné Příslušnost do fuzzy množiny je u každého prvku dána stupněm příslušnosti (reálné číslo od 0 do 1)


Stáhnout ppt "Teoretická informatika Tomáš Foltýnek Teorie množin."

Podobné prezentace


Reklamy Google