Prezentace se nahrává, počkejte prosím

Prezentace se nahrává, počkejte prosím

Diferenciální geometrie křivek 2 Způsoby zadání rovinné křivky, polární souřadnice  Parametrické rovnice  Imlicitní rovnice  Explicitní rovnice 

Podobné prezentace


Prezentace na téma: "Diferenciální geometrie křivek 2 Způsoby zadání rovinné křivky, polární souřadnice  Parametrické rovnice  Imlicitní rovnice  Explicitní rovnice "— Transkript prezentace:

1

2 Diferenciální geometrie křivek

3 2 Způsoby zadání rovinné křivky, polární souřadnice  Parametrické rovnice  Imlicitní rovnice  Explicitní rovnice  Kartézské souřadnicePolární souřadnice  x y    x y

4 3 Křivka třídy C n Množinu k  E 3 nazýváme křivkou třídy C n jestliže souřadnice bodů křivky lze vyjádřit zobrazením I  R 3, t  X(t) s vlastnostmi  X(t) je spojitá na intervalu I  X(t) je prostá  X(t) má na intervalu I spojité derivace do n-tého řádu  Vektor derivace X´(t) není nulový. Rovinná křivka Prostorová křivka

5 4 Cykloida  Parametrizace prosté cykloidy úhlem otočení

6 5 Transformace parametru Nechť je funkcí X(t) dána křivka k třídy C n, t  I. Na intervalu J nechť je definována funkce t = f(u) s následujícími vlastnostmi 1.f(u) je prostá na J 2.f(u) zobrazuje J na I 3.f(u) má spojité derivace až do n-tého řádu, pak vektorová funkce Y(u)=X(f(u)) vyjadřuje tutéž křivku jako funkce X(t).

7 6

8 7 Tečna křivky Tečna křivky X(t) v regulárním bodě X(t 0 ): X(t 0 ) X(t) X´(t 0 ) t X(t 0 ) X(t) X(t 0 +h) Př: Tečna grafu funkce y=f(x)v bodě f(x 0 ):

9 8 Tečna křivky Tečna křivky X(t) v regulárním bodě X(t 0 ): Pojem tečny je nezávislý na parametrizaci.

10 9 Šroubovice

11 10 Šroubový pohyb vzniká složením rotace kolem osy o a posunutí ve směru osy o. Šroubovice Šroubovice je dána poloměrem r, parametrem v 0 a osou šroubového pohybu o = z.

12 11 Tečna šroubovice Šroubovice: půdorys tečného vektoru: Spád šroubovice: Šroubovice je křivka konstantního spádu tečný vektor:

13 12 Frenetův doprovodný trojhran  Tečná rovina křivky – každá rovina, která obsahuje tečnu křivky  Normálová rovina křivky – rovina kolmá na tečnu křivky  Oskulační rovina křivky – tečná rovina, určená vektory první a druhé derivace.  Normála křivky – každá přímka, která je kolmá na tečnu křivky a prochází daným bodem.  Hlavní normála – průsečnice oskulační a normálové roviny. Frenetův doprovodný trojhran je tvořen jednotkovými směrovými vektory přímek t, n, b t – tečna n – hlavní normála b – binormála  = (t,n) – oskulační rovina = (b,n) – normálová rovina

14 13 Oskulační rovina šroubovice a plocha tečen šroubovice

15 14 Výpočet Frenetova trojhranu  Jednotkový vektor tečny  Jednotkový vektor binormály  Jednotkový vektor hlavní normály XX

16 15 Inflexní bod Bod X(t 0 ) křivky X(t) se nazývá inflexní bod křivky, jestliže jsou vektory první a druhé derivace lineárně závislé. V inflexním bodě není určen Frenetův doprovodný trojhran.

17 16 Délka oblouku křivky X(t) mezi body X(t a ) a X(t b ) X(t) X(t 0 ) b=X(t n ) X(t 1 ) X(t 2 ) X(t 3 )

18 17 Parametrizace délkou oblouku  Říkáme, že křivka je parametrizovaná obloukem, když její parametr měří délku křivky. X(t)=X(t(l)), kde t = t(l) je funkce inverzní k oblouku křivky l(t) X(1) X(2) X(3)

19 18 Křivost křivky  Křivost křivky je mírou vychýlení křivky od tečny.

20 19 Geometrický význam křivosti  Bod křivky je inflexní právě tehdy, je-li v něm první křivost nulová.  Je-li bod V vrchol křivky, pak v něm má funkce první křivosti extrém.

21 20 Křivka parametrizovaná délkou oblouku  Křivka X(l) je parametrizovaná obloukem právě tehdy, když je v každém bodě vektor X´(l) jednotkový.  Je-li křivka parametrizovaná obloukem, pak je vektor X  (l) směrový vektor hlavní normály. Velikost vektoru X  (l) je křivost k křivky.  Jestliže je křivka X(l) parametrizovaná obloukem, pak pro jednotkové vektory Frenetova doprovodného trojhranu platí:

22 21 Výpočet křivosti křivky 1.Je-li křivka X(l) parametrizovaná obloukem 2.Je-li křivka X(t) dána obecným parametrem 3.Je-li křivka dána jako graf funkce y = f(x) Př: Vypočítejte funkci křivosti paraboly y = x 2

23 22 Parametrizace šroubovice délkou křivky

24 23 Křivost a hlavní normála šroubovice Šroubovice je křivka konstantní křivosti.

25 24  tečna  hlavní normála  binormála Frenetův doprovodný trojhran šroubovice

26 25 Ekvidistanta křivky k  Definice konstrukcí: V regulární bodě rovinné křivky k sestrojíme normálu n a na ni naneseme úsečku, jejíž velikost je rovna distanci d.  Ekvidistanta křivky k je obálka systému kružnic se středem na křivce k a s poloměrem rovným distanci r=d

27 26 Evoluta křivky  Obálka normál dané křivky  Množina středů oskulačních kružnic  Evoluta je množina singulárních bodů ekvidistantních křivek

28 27 Oskulační kružnice křivky  V bodě T=X(t 0 ) sestrojme hlavní normálu křivky. Na hlavní normále sestrojme bod S,  ST  =1/k. Kružnici se středem S a poloměrem r =1/k ležící v oskulační rovině křivky nazýváme oskulační kružnice křivky v bodě T.  Oskulační kružnice a daná křivka mají v bodě T stejnou tečnu a křivost. r =1/k – poloměr křivosti S – střed křivosti Př: Určete oskulační kružnici paraboly 2py = x 2 ve vrcholu V[0,0].

29 28 Oskulační kružnice elipsy

30 29 Oskulační kružnice Archimedovy spirály

31 30 Oskulační kružnice prosté cykloidy

32 31 Dotyk křivek  O dvou křivkách řekneme, že mají v bodě P 0 dotyk n-tého řádu (n+1 bodový), jestliže parametrizace obloukem X(l), Y(s) existují hodnoty parametru s 0, l 0, pro které platí: Dotyk nultého řádu Dotyk 1.řádu Dotyk 2. řádu t n O k

33 32 Dotyk rovinných křivek zadaných explicitně  Jsou-li křivky v rovině dány funkcemi y = f(x), y = g(x) a platí-li pak tyto křivky mají v bodě x 0 dotyk n-tého řádu. Křivka y = f(x) a její Taylorův polynom n-tého stupně mají v bodě x 0 dotyk alespoň n-tého řádu.

34 33 Taylorův rozvoj funkce y=sin(x)

35 34 Taylorův rozvoj kružnice

36 35 Přechodnice  křivky, používané v silniční i železniční dopravě pro napojení přímého úseku a kružnicového oblouku. s anan s anan Spojitý průběh křivosti.  Kubická parabola – užívala se v ČR v železniční dopravě.  Bernoulliova lemniskáta – používala se pro zatáčku menších poloměrů, na železnicích, vodních cestách i tramvajových kolejích.

37 36 Klotoida  Křivost je přímo úměrná délce oblouku k(l) = a.l

38 37 Klotoida

39 38 Klotoida a kubická parabola  Sestrojíme v bodě X(0) = [0,0] Taylorův rozvoj klotoidy stupně 3.

40 39 Blossova přechodnice  Délka přechodnice je stejná jako délka vzestupnice – L.  Křivost zatáčky k(L) je převrácená hodnota poloměru zatáčky r.  Křivost k(l) je kubickou funkcí délky oblouku l.  Křivost je přímo úměrná hodnotě převýšení p(l) vzestupnice.  Celkové převýšení vzestupnice - p n

41 40 Blossova přechodnice  Převýšení je přímo úměrné křivosti  Blossova přechodnice X(l) bude parametrizovaná obloukem l,tj.  Kde  (l) je orientovaný úhel, který svírá tečna Blossovy přechodnice s rovným úsekem.

42 41 Blossova přechodnice  Funkci  (l) určíme ze vzorce pro křivost křivky parametrizované obloukem.  Dosazením  (l) do rovnic pro směrový vektor tečny.

43 42 Blossova přechodnice  Pro odchylku tečny v bodě napojení na zatáčku  (L) platí  Parametrické rovnice - Blossova přechodnice je parametrizovaná délkou l.

44 43 Aproximace Blossovy přechodnice polynomem  Po integraci  Sestrojíme Taylorův rozvoj v bodě l=0.

45 44 Základní vytyčovací parametry  Souřadnice středu kružnicového oblouku  Pro koncový bod přechodnice l=L.  Odchylka tečny přechodnice od přímého úseku


Stáhnout ppt "Diferenciální geometrie křivek 2 Způsoby zadání rovinné křivky, polární souřadnice  Parametrické rovnice  Imlicitní rovnice  Explicitní rovnice "

Podobné prezentace


Reklamy Google