Prezentace se nahrává, počkejte prosím

Prezentace se nahrává, počkejte prosím

Průběh funkce. Předpokládejme, že velikost populace v čase t  0 lze vyjádřit vztahem Zjistěte průběh velikostí v čase. lokální maximum lokální minimum.

Podobné prezentace


Prezentace na téma: "Průběh funkce. Předpokládejme, že velikost populace v čase t  0 lze vyjádřit vztahem Zjistěte průběh velikostí v čase. lokální maximum lokální minimum."— Transkript prezentace:

1 Průběh funkce. Předpokládejme, že velikost populace v čase t  0 lze vyjádřit vztahem Zjistěte průběh velikostí v čase. lokální maximum lokální minimum

2 Přesněji Nechť existuje interval A  D( f ) a bod a  A, takový, že pro každý bod x  A, x  a platí, že  f ( x ) > f ( a ). Pak f má v a ostré lokální minimum.  f ( x )  f ( a ). Pak f má v a (neostré) lokální minimum.  f ( x ) < f ( a ). Pak f má v a ostré lokální maximum.  f ( x )  f ( a ). Pak f má v a (neostré) lokální maximum. Příklad. A B a b V bodě a má funkce ostré lokální minimum. V bodě b má funkce ostré lokální maximum.

3 Má-li funkce f v bodě a ostré lokální minimum nebo ostré lokální maximum, má v tomto bodě ostrý lokální extrém. Má-li funkce f v bodě a (neostré) lokální minimum nebo (neostré) lokální maximum, má v tomto bodě (neostrý) lokální extrém. lokální maximum lokální minimum Nechť existuje f / ( a ), a  D(f) vlastní a dále nechť:  f / (a) > 0  existuje interval A  D(f) tak, že f je rostoucí v A-{a}.  f / (a) < 0  existuje interval A  D(f) tak,že f je klesající v A-{a}.  Nechť f má v a lokální extrém. Pak f / ( a) = 0.

4 Funkce je v bodě 0 rostoucí, avšak nemá v tomto bodě derivaci. Funkce má v bodě 0 derivaci rovnu 0. Nemá v bodě 0 lokální extrém.

5 Funkce má v bodě 0 lokální minimum. Nemá však v bodě 0 derivaci. Nechť a  D ( f ), f / ( a ) existuje. Pak existuje interval A, (a  A) tak že  f je neklesající nebo rostoucí v A  f / ( a )  0.  f je nerostoucí nebo klesající v A  f / ( a )  0. Nechť a  D ( f ). Pak existují intervaly A 1 = (a 1, a), A 2 = (a, a 2 ), tak že  f / ( x )  0, x  A 1 a současně f / ( x )  0, x  A 2  f má v a lokální minimum. (V případě ostrých nerovností je to ostré lokální minimum.)  f / ( x )  0, x  A 1 a současně f / ( x )  0, x  A 2  f má v a lokální maximum. (V případě ostrých nerovností je to ostré lokální maximum.)  f / ( x ) nemění znaménko A 1  A 2 a současně f / ( a ) = 0  f má v a inflexní bod. (Poslední implikaci nelze obrátit – přesně o inflexním bodě dále.)

6 Příklad. Zjistěte výpočtem průběh velikosti populace v čase t 1.Definiční obor funkce. Pro všechna t  0 je funkce definována. 2.Limity v krajních bodech definičního oboru a v bodech nespojitosti funkce. Funkce je spojitá pro všechna t  0, f ( 0 ) = e Monotonie funkce podle chování 1. derivace. f / ( t ) > 0  t < 2  funkce je rostoucí na (0, 2). f / ( t ) 2  funkce je klesající na (2, +  ). Proto f má v bodě 2 lokální maximum. f ( 2 ) = 12.

7 Červeně vyznačené čáry už máme spočteny. K přesnějšímu průběhu potřebujeme derivace vyšších řádů.

8 Nechť a  D( f ). Nechť existuje interval A  D ( f ), že pro každé x  A existuje f / (x ). Druhá derivace f v bodě a se definuje takto: Analogicky se definují derivace řádu vyššího než 2. Nechť a  D( f ). Nechť existuje f // ( a ).  funkce f je konvexní na nějakém intervalu A, a  A  f // ( a )  0.  funkce f je ryze konvexní na nějakém intervalu A, a  A  f // ( a ) > 0.  funkce f je konkávní na nějakém intervalu A, a  A  f // ( a )  0.  funkce f je ryze konkávní na nějakém intervalu A, a  A  f // ( a ) < 0.  jestliže f / ( a ) = 0 a f // ( a ) > 0, pak f má v bodě a lokální minimum.  jestliže f / ( a ) = 0 a f // ( a ) < 0, pak f má v bodě a lokální maximum Nechť a  D( f ). Nechť existuje existuje f // ( a ). Funkce má v bodě a inflexní bod, jestliže f // ( a ) = 0 a znaménko 2.derivace f v levém okolí a se liší od znaménka 2.derivace f v pravém okolí a. (V inflexním bodě dochází ke změně konvexity a konkávity funkce).

9 Předchozí tvrzení nelze obrátit. Při tom tato funkce má v bodě 0 lokální minimum. konkávní konvexní lokální maximum lokální minimum

10 Příklad - pokračování. Zjistěte výpočtem průběh velikosti populace v čase t 1.Definiční obor funkce. 2.Limity v krajních bodech definičního oboru a v bodech nespojitosti funkce. 3.Monotonie funkce podle chování 1. derivace derivace O znaménku 2. derivace rozhoduje výraz Inflexní body jsou

11 PoznámkaČasto se derivace označují takto:  f / ( x ) = d f / d x  f // ( x ) = d 2 f / d x 2  f n ( x ) = d n f / d x n konkávníkonvexní inflexe

12 Příklad. Vypočítejte průběh funkce 1.Definiční obor funkce. D ( f ) = (- , 0)  (0, +  ) 2.Limity v krajních bodech definičního oboru a v bodech nespojitosti funkce. Funkce není spojitá v bodě 0. Funkce se chová v blízkosti nuly neodlišitelně od funkce 2 / x 2. Funkce 2 / x 2 je v 0 její asymptota. V nekonečnech je asymptotou funkce x / 2. 3.Monotonie funkce podle chování 1. derivace. f / ( x ) > 0  [( x > 0 a x > 2) nebo (x < 0 a x < 2)]  x > 2 nebo x < 0. f / ( x ) < 0  x  (0, 2) v bodě 2 má funkce lokální minimum f (2) = 3/2.

13 4.Průsečík s osami – pokud lze derivace funkce je konvexní na svém definičním oboru. f ( x )

14 Poznámka. Nechť A  D ( f ). min { f ( x ), x  A } = min { lokální extrémy, hranice A } Obdobně pro maximum funkce na množině. Příklad. Najděte minimum a maximum funkce na množině. f ( -2 ) = -1, f ( 2 ) = 3, f ( -1 ) = 3, f ( 1 ) = - 1. Maxima funkce se tedy nabývá v bodech -1 nebo 2, minima v bodech -2 nebo 1.

15 Příklady k procvičení. Vyšetřete průběh funkce


Stáhnout ppt "Průběh funkce. Předpokládejme, že velikost populace v čase t  0 lze vyjádřit vztahem Zjistěte průběh velikostí v čase. lokální maximum lokální minimum."

Podobné prezentace


Reklamy Google