Prezentace se nahrává, počkejte prosím

Prezentace se nahrává, počkejte prosím

1 Číselné posloupnosti. 2 Pojem posloupnosti D: Každé zobrazení N do R nazýváme číselná posloupnost. Zápis: nebo jen  a n  ; a n se nazývá n-tý člen.

Podobné prezentace


Prezentace na téma: "1 Číselné posloupnosti. 2 Pojem posloupnosti D: Každé zobrazení N do R nazýváme číselná posloupnost. Zápis: nebo jen  a n  ; a n se nazývá n-tý člen."— Transkript prezentace:

1 1 Číselné posloupnosti

2 2 Pojem posloupnosti D: Každé zobrazení N do R nazýváme číselná posloupnost. Zápis: nebo jen  a n  ; a n se nazývá n-tý člen posloupnosti. D: Každé zobrazení N do R nazýváme číselná posloupnost. Zápis: nebo jen  a n  ; a n se nazývá n-tý člen posloupnosti. Definici číselné posloupnosti lze založit i na pojmu (reálné) funkce; pak je to funkce definovaná na množině N všech přirozených čísel. Definici číselné posloupnosti lze založit i na pojmu (reálné) funkce; pak je to funkce definovaná na množině N všech přirozených čísel.

3 3 Způsoby zadání posloupnosti Číselná posloupnost bývá zadána několika prvními členy (tak, aby bylo patrné pravidlo, jak vytvářet další členy), n-tým členem nebo rekurentně.

4 4 Úloha Je dána posloupnost Určete její n-tý člen.

5 5 Úloha Příklady číselných posloupností zadaných n-tým členem:  (–1) n  n  Vypočtěte členy a 1, a 2, a 3, a 4.

6 6 Rekurentní definice obsahuje zpravidla 1. člen (nebo několik prvních členů) a pravidlo, jak vytvořit další člen ze členů předcházejících. obsahuje zpravidla 1. člen (nebo několik prvních členů) a pravidlo, jak vytvořit další člen ze členů předcházejících. Rekurentní definice aritmetické posloupnosti: a 1 = a, a n+1 = a n + d. Rekurentní definice aritmetické posloupnosti: a 1 = a, a n+1 = a n + d. Rekurentní definice geometrické posloupnosti: a 1 = a, a n+1 = a n.q (q   0, 1, –1  ). Rekurentní definice geometrické posloupnosti: a 1 = a, a n+1 = a n.q (q   0, 1, –1  ).

7 7 Úloha Posloupnost  a n  je zadána rekurentně takto: a 1 = 1, a n+1 = Vypočtěte první 3 členy posloupnosti.

8 8 Základní vlastnosti číselných posloupností D: Posloupnost se nazývá (shora, zdola) omezená  tuto vlastnost má množina všech jejích členů. D: Posloupnost se nazývá (shora, zdola) omezená  tuto vlastnost má množina všech jejích členů. Např. posloupnost  2n – 1} je zdola omezená, není omezená shora, není omezená. Posloupnost  (–1) n  je omezená shora i zdola, je omezená. Stacionární posloupnost  c} je omezená. Např. posloupnost  2n – 1} je zdola omezená, není omezená shora, není omezená. Posloupnost  (–1) n  je omezená shora i zdola, je omezená. Stacionární posloupnost  c} je omezená.

9 9 D: Posloupnost a se nazývá – rostoucí   n  N platí a n < a n+1 – rostoucí   n  N platí a n < a n+1 – klesající   n  N platí a n  a n+1 – klesající   n  N platí a n  a n+1 – nerostoucí   n  N platí a n  a n+1 – nerostoucí   n  N platí a n  a n+1 – neklesající   n  N platí a n  a n+1 – neklesající   n  N platí a n  a n+1 Společný název pro všechny tyto druhy posloupností: posloupnosti monotonní a pro první dva druhy: posloupnosti ryze monotonní. Společný název pro všechny tyto druhy posloupností: posloupnosti monotonní a pro první dva druhy: posloupnosti ryze monotonní.

10 10 D: Operace s posloupnostmi jsou definovány takto: – násobení reálným číslem c: – násobení reálným číslem c: c  {a n  =  c  a n  ; – aritmetické operace (součet, rozdíl, součin, podíl): – aritmetické operace (součet, rozdíl, součin, podíl):  a n  + {b n  = {a n + b n , {a n  – {b n  = {a n – b n   a n   {b n  = {a n  b n ,  a n  /{b n  = {a n / b n  (pro b n  0); – opačná posloupnost k {a n  je  – a n  ; – opačná posloupnost k {a n  je  – a n  ; – reciproká posloupnost k {a n  je {1/a n  (a n  0). – reciproká posloupnost k {a n  je {1/a n  (a n  0).

11 11 Limita posloupnosti D: Říkáme, že posloupnost {a n  má limitu a   U(a)  n 0  N tak, že  n  N: n  n 0  a n  U(a). D: Říkáme, že posloupnost {a n  má limitu a   U(a)  n 0  N tak, že  n  N: n  n 0  a n  U(a). Je-li a  R, nazývá se a vlastní limita a posloupnost {a n  se nazývá konvergentní Je-li a  R, nazývá se a vlastní limita a posloupnost {a n  se nazývá konvergentní pokud a = ± , nazývá se a nevlastní limita. pokud a = ± , nazývá se a nevlastní limita. Neexistuje-li vlastní limita, nazývá se posloupnost {a n  divergentní. Neexistuje-li vlastní limita, nazývá se posloupnost {a n  divergentní.

12 12 Limita posloupnosti Posloupnost tedy buď konverguje nebo diverguje. V tomto druhém případě buď diverguje k +  nebo k –  nebo osciluje (tj. nemá limitu vlastní ani nevlastní). Posloupnost tedy buď konverguje nebo diverguje. V tomto druhém případě buď diverguje k +  nebo k –  nebo osciluje (tj. nemá limitu vlastní ani nevlastní).

13 13Příklady 1) posloupnost je konvergentní, má limitu 1. 2) stacionární posloupnost  c  je konvergentní a má limitu c. 2) stacionární posloupnost  c  je konvergentní a má limitu c. 3) posloupnost je divergentní, má nevlastní limitu +  4) posloupnost  q n  je pro q  –1 divergentní, nemá limitu (osciluje).

14 14 Věty o limitách Každá posloupnost má nejvýše jednu limitu. Má-li posloupnost {a n  limitu, pak každá posloupnost {b n  vybraná z posloupnosti {a n  má tutéž limitu. Každá konvergentní posloupnost je omezená. Z každé omezené posloupnosti lze vybrat konvergentní podposloupnost.

15 15 Nechť lim an = a, lim bn = b. Pak platí, pokud výrazy na pravých stranách mají v R  smysl: Nechť lim an = a, lim bn = b. Pak platí, pokud výrazy na pravých stranách mají v R  smysl: 1  lim (a n + b n ) = a + b, lim (a n – b n ) = a – b, 2  lim (a n  b n ) = a  b, 3  pro b n  0, b  0 je lim (a n / b n ) = a / b, 4  lim  a n | = |a|.

16 16 Nechť lim a n = a, lim b n = b a pro nekonečně mnoho n platí a n  b n. Pak a  b. Nechť lim a n = a, lim b n = b a pro nekonečně mnoho n platí a n  b n. Pak a  b. Nechť lim a n = a, lim b n = a a nechť pro skoro všechna n je a n  c n  b n. Pak lim c n = a. Nechť lim a n = a, lim b n = a a nechť pro skoro všechna n je a n  c n  b n. Pak lim c n = a.

17 17 Vypočítejte: a)b)c)d)


Stáhnout ppt "1 Číselné posloupnosti. 2 Pojem posloupnosti D: Každé zobrazení N do R nazýváme číselná posloupnost. Zápis: nebo jen  a n  ; a n se nazývá n-tý člen."

Podobné prezentace


Reklamy Google